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Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Soit \(u\) définie par \(u(n) = 5 - 2n\).
1. Calculer \(u(0)\), \(u(1)\) et \(u(4)\).
2. Montrer que \(u\) est arithmétique et donner sa raison.
3. En déduire son sens de variation.
1. \(u(0)=5\) ; \(u(1)=3\) ; \(u(4)=5-8=-3\).
2. \(u(n+1)-u(n)=\big(5-2(n+1)\big)-\big(5-2n\big)=-2\), constante : \(u\) est arithmétique de raison \(r=-2\).
3. \(r\lt 0\) ⇒ suite décroissante.
Une suite \(w\) vérifie \(w(0)=2\) et \(w(n+1)=3\,w(n)\).
1. Calculer \(w(1)\), \(w(2)\) et \(w(3)\).
2. Quelle est la nature de \(w\) ? Donner l'expression de \(w(n)\).
1. \(w(1)=6\) ; \(w(2)=18\) ; \(w(3)=54\).
2. On multiplie par \(3\) à chaque étape : suite géométrique de raison \(3\). Donc \(w(n)=2\times 3^{\,n}\).
On considère \(u(n)=n^2+1\) : \(u(0)=1\), \(u(1)=2\), \(u(2)=5\), \(u(3)=10\).
1. Calculer les différences successives \(u(1)-u(0)\), \(u(2)-u(1)\), \(u(3)-u(2)\). La suite est-elle arithmétique ?
2. Calculer les quotients \(\frac{u(1)}{u(0)}\), \(\frac{u(2)}{u(1)}\). La suite est-elle géométrique ?
1. Différences : \(1,\,3,\,5\) → non constantes ⇒ pas arithmétique.
2. Quotients : \(2\) puis \(2{,}5\) → non constants ⇒ pas géométrique. La suite n'est ni l'une ni l'autre.
Une voiture achetée \(20\,000\) € perd \(12\,\%\) de sa valeur chaque année. On note \(v(n)\) sa valeur au bout de \(n\) années.
1. Justifier que \(v\) est géométrique et donner \(v(0)\) et la raison \(q\).
2. Donner l'expression de \(v(n)\).
3. Calculer la valeur au bout de \(4\) ans (arrondir à l'euro).
1. On multiplie chaque année par \(q=1-0{,}12=0{,}88\) : suite géométrique, \(v(0)=20\,000\).
2. \(v(n)=20\,000\times 0{,}88^{\,n}\).
3. \(v(4)=20\,000\times 0{,}88^{4}\approx 11\,996\) €.
On donne le programme suivant :
def mystere(N):
u = 100
for n in range(N):
u = u + 7
return u1. Que renvoie mystere(3) ?
2. Quelle suite ce programme calcule-t-il ? Donner sa nature et son terme explicite \(u(n)\).
1. \(u : 100 \to 107 \to 114 \to 121\), donc mystere(3) renvoie 121.
2. Suite arithmétique de premier terme \(u(0)=100\) et de raison \(7\) : \(u(n)=100+7n\).
Une commune compte \(8000\) habitants et gagne \(2\,\%\) d'habitants par an. On note \(u(n)\) la population au bout de \(n\) années.
1. Donner \(u(0)\) et le coefficient multiplicateur \(q\).
2. Écrire la relation de récurrence, puis l'expression explicite de \(u(n)\).
3. Estimer la population dans \(10\) ans (arrondir à l'unité).
1. \(u(0)=8000\) ; \(q=1+0{,}02=1{,}02\).
2. \(u(n+1)=1{,}02\times u(n)\) et \(u(n)=8000\times 1{,}02^{\,n}\).
3. \(u(10)=8000\times 1{,}02^{10}\approx 9752\) habitants.
Pour chacune des suites, préciser sa nature, sa raison et son sens de variation.
1. \(u(n)=4+6n\).
2. \(v(n)=100\times 0{,}5^{\,n}\).
3. \(w(n)=50-4n\).
1. Arithmétique, \(r=6\gt 0\) ⇒ croissante.
2. Géométrique, \(q=0{,}5\) avec \(0\lt q\lt 1\) et termes \(\gt 0\) ⇒ décroissante.
3. Arithmétique, \(r=-4\lt 0\) ⇒ décroissante.
Deux offres pour un abonnement, le mois \(n\) (en €) :
1. Donner la nature de chaque suite (raison à l'appui).
2. Calculer le coût au mois \(n=5\) pour chaque offre.
3. À l'aide d'un tableur ou de Python, dire à partir de quel mois l'offre B devient plus chère que l'offre A.
1. A est arithmétique de raison \(r=3\) ; B est géométrique de raison \(q=1{,}1\).
2. \(u(5)=15+15=30\) € ; \(v(5)=10\times 1{,}1^{5}\approx 16{,}11\) €.
3. En calculant les termes successifs, \(v(n)\) dépasse \(u(n)\) à partir du mois \(n=15\) environ : la croissance exponentielle finit par l'emporter sur la croissance linéaire.