Fiche – Suites numériques

Chapitre 1 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Une suite \(u\) associe à chaque rang \(n\) un terme \(u(n)\). Deux modes : formule explicite ou récurrence.
Arithmétique : on ajoute \(r\) (variation absolue constante) ⇒ points alignés.
Géométrique : on multiplie par \(q\) (variation relative constante) ⇒ points courbés.
Différence constante ⇒ arithmétique ; quotient constant ⇒ géométrique.
Sens de variation donné par le signe de \(r\) (arithmétique) ou par la position de \(q\) par rapport à \(1\) (géométrique).

Définitions clés

Définition

Suite numérique : fonction qui, à chaque entier \(n\) (le rang), associe un réel \(u(n)\). Le terme \(u(0)\) est le terme initial.

Définition

Formule explicite : \(u(n)\) donné directement en fonction de \(n\). Récurrence : terme initial + règle de passage \(u(n+1)=\dots\)

Définition

Suite arithmétique de raison \(r\) : \(u(n+1)=u(n)+r\). Suite géométrique de raison \(q\) (\(q\gt 0\)) : \(u(n+1)=q\,u(n)\).

Définition

Nuage de points : représentation d'une suite par les points \((n\,;\,u(n))\), non reliés (points isolés).

À connaître par cœur

Terme de rang \(n\) \[\text{Arithmétique :}\quad u(n) = u(0) + n\,r\] \[\text{Géométrique :}\quad u(n) = u(0) \times q^{\,n}\]

Pourcentage ↔ raison (géométrique) \[\text{Augmentation de } t\,\% : \quad q = 1 + \tfrac{t}{100}\] \[\text{Diminution de } t\,\% : \quad q = 1 - \tfrac{t}{100}\]

Sens de variation

Arithmétique : croissante si \(r\gt 0\) ; décroissante si \(r\lt 0\) ; constante si \(r=0\).
Géométrique (termes \(\gt 0\)) : croissante si \(q\gt 1\) ; décroissante si \(0\lt q\lt 1\) ; constante si \(q=1\).
En général : étudier le signe de \(u(n+1)-u(n)\).

Méthode — Reconnaître la nature d'une suite

Méthode

Calculer \(u(n+1)-u(n)\) : si c'est constant ⇒ arithmétique, raison = ce résultat.
Sinon, calculer \(\dfrac{u(n+1)}{u(n)}\) : si c'est constant ⇒ géométrique, raison = ce résultat.
Vérifier que le résultat ne dépend pas de \(n\) avant de conclure.

Méthode — Passer d'une situation concrète à une suite

Repérer le terme initial \(u(0)\).
On ajoute un montant fixe → arithmétique.
On multiplie par un coefficient (pourcentage) → géométrique.
Écrire la récurrence, puis la formule explicite.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre le rang \(n\) et le terme \(u(n)\).

✅ \(u(3)\) est la valeur, pas le nombre \(3\).

❌ Confondre variation absolue et variation relative.

✅ Ajouter \(50\) € (arithmétique) ≠ augmenter de \(5\,\%\) (géométrique).

❌ Confondre coefficient multiplicateur et pourcentage.

✅ \(+3\,\%\) donne \(q=1{,}03\), pas \(0{,}03\) ni \(3\).

❌ Relier les points du nuage.

✅ Une suite se représente par des points isolés.

Exemple rapide

Exemple — une population qui augmente de \(2\,\%\)/an

Population initiale \(u(0)=8000\), \(+2\,\%\) par an.

Coefficient : \(q=1{,}02\) ⇒ suite géométrique.
Récurrence : \(u(n+1)=1{,}02\,u(n)\).
Explicite : \(u(n)=8000\times 1{,}02^{\,n}\).
Dans \(10\) ans : \(u(10)=8000\times 1{,}02^{10}\approx 9752\) habitants.