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Simulation · Calculer

Jusqu'où voit-on ? — Horizon et Pythagore

Debout sur la plage, tu vois la mer jusqu'à 4,7 km ; en haut d'une grue de 60 m, jusqu'à 27,7 km. Entre ton œil, l'horizon et le centre de la Terre, il y a un triangle rectangle — et le théorème de Pythagore donne la distance. Monte l'observateur et regarde l'horizon reculer.

Réglages

Hauteur de l'œil h

60,0 m
Six repères de chantier et de ville — ou le curseur, au demi-mètre près.

L'astre sous tes pieds

Même triangle, autre rayon : sur la Lune, l'horizon est deux fois plus proche.

Le triangle rectangle — à l'horizon, pas à l'œil

Schéma sans échelle : l'œil au sommet d'un mât, le point d'horizon sur le cercle terrestre, le centre de la Terre. Le triangle est rectangle au point d'horizon, car le rayon est perpendiculaire à la tangente. œil h = 60 m horizon centre de la Terre d = 27,7 km R + h R surface (mer ou plaine)
d = √((R + h)² − R²) d ≈ 27,7 km

Schéma sans échelle — la hauteur est très exagérée. À l'échelle, le dessin serait plat : sur 30 km, le sol ne « descend » que d'environ 70 m sous la ligne de visée. L'angle droit est au point d'horizon : le rayon de la Terre y est perpendiculaire à la ligne de visée, qui rase la surface (une tangente). À l'œil, l'angle n'est pas droit — il vaut 89,7° pour h = 100 m.

Huit hauteurs, huit horizons

Sur Terre (R = 6 371 km). La distance grandit comme √h : pour voir 2 fois plus loin, il faut monter 4 fois plus haut.
Situationhd à l'horizon
Le raccourci du géomètre. Comme h² est minuscule devant 2Rh, d ≈ √(2Rh) — et sur Terre cela donne d ≈ 3,57 × √h (d en km, h en m). L'écart avec le calcul exact reste sous 4 m jusqu'à h = 100 m. Vérifie-le sur le détail du calcul.

Critiquer le résultat

La lumière triche un peu. L'air dévie légèrement les rayons vers le bas : on voit en réalité environ 8 % plus loin que la géométrie pure. C'est la ligne « avec réfraction » sous le résultat — et c'est pour cela qu'un phare annoncé à 20 milles reste visible un peu au-delà du calcul.

Le modèle suppose une Terre lisse. Une vague, une dune ou un immeuble entre toi et l'horizon raccourcit la vue ; une montagne lointaine, plus haute que la ligne de visée, reste visible bien au-delà de d.

Avant de calculer, estime. Debout, 4,7 km : est-ce plausible ? C'est l'ordre de grandeur d'une heure de marche — et c'est bien pourquoi, depuis la plage, on ne voit jamais la côte d'en face à 30 km.

Prolongement : sur un chantier avec une nacelle ou un point haut sécurisé, estimer d'abord la distance de l'horizon, puis la calculer avec d ≈ 3,57 × √h et comparer à la carte. Même triangle pour régler la portée d'une antenne ou d'un émetteur : deux mâts de 20 m se « voient » à 2 × 16 = 32 km.