Combinatoire et dénombrement

À quoi ça sert ? En combinatoire, on compte les façons de choisir et d'arranger des éléments. Cette simulation propose 4 outils : factorielle, permutations (\(n!\)), arrangements (\(A_n^k\)), combinaisons (\(C_n^k\)) et le triangle de Pascal. Choisis n et k, et observe les résultats avec les étapes de calcul.

\( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1 \)

Le nombre de permutations de \( n \) éléments distincts. Exemple : ranger 5 livres sur une étagère = \(5! = 120\) façons.

n =

\( A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1) \)

Le nombre de k-arrangements de n éléments : on choisit k éléments parmi n en tenant compte de l'ordre. Exemple : podium des 3 premiers parmi 8 athlètes = \(A_8^3 = 336\) façons.

n = k =

\( C_n^k = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} \)

Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n : on choisit k éléments sans tenir compte de l'ordre. Exemple : choisir 5 cartes parmi 32 pour une main de poker = \(C_{32}^5 = 201\,376\) mains possibles.

n = k =

💡 À retenir : \(C_n^k = C_n^{n-k}\) (symétrie). Choisir 5 cartes parmi 32 revient à choisir les 27 qu'on ne prend pas.

Le triangle de Pascal donne tous les coefficients binomiaux. Chaque cellule = somme des deux du dessus. Cliquez sur une cellule pour voir \(C_n^k\) en surbrillance.

Nombre de lignes :

Cliquez sur une cellule pour la sélectionner.

💡 Relation de Pascal : \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k\). C'est ce qui permet de construire le triangle ligne par ligne, sans calcul de factorielle.