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Chapitre 1 – Évaluer la puissance consommée

Terminale Bac Pro ICCER (Grpt 1)  |  Physique – Électricité  |  Régime sinusoïdal monophasé

Objectifs du chapitre

Situation professionnelle — Dimensionnement d'une installation de climatisation

Un technicien chauffagiste doit choisir le disjoncteur et le câble d'alimentation d'un climatiseur réversible installé dans un local commercial. La plaque signalétique indique U = 230 V, I = 13 A et P = 2 200 W. Il constate que 230 × 13 = 2 990 VA ≠ 2 200 W et cherche à comprendre cet écart avant de dimensionner l'installation.

Technicien :Julien, technicien chauffagiste (2ᵉ année de Bac Pro) Entreprise :Thermipro SARL — installation de systèmes de climatisation et de pompes à chaleur Mission :Julien doit choisir le disjoncteur et la section du câble d'alimentation pour un climatiseur réversible à installer dans un local commercial de 80 m². Plaque signalétique :Alimentation 230 V / 50 Hz — Courant absorbé I = 13 A — Puissance absorbée P = 2 200 W
Questions de Julien :
  1. Pourquoi 230 × 13 = 2 990 VA ≠ 2 200 W ? Qu'est-ce qui explique cet écart ?
  2. Quel est le facteur de puissance cos φ de cet appareil et que signifie-t-il ?
  3. Quel disjoncteur choisir et quel câble utiliser pour l'alimentation ?
  4. Quel sera le coût mensuel d'électricité (fonctionnement 8 h/j, 22 jours/mois, tarif 0,22 €/kWh) ?

Ces questions trouveront une réponse complète au fil de ce chapitre.

Introduction – Pourquoi ce n'est pas si simple ?

En installation de chauffage et de climatisation, vous devez choisir des disjoncteurs, des câbles, et estimer la consommation d'énergie. On pourrait croire qu'il suffit de multiplier la tension par le courant. En courant alternatif, c'est plus subtil.

Situation professionnelle Métier
Vous installez un climatiseur réversible. La plaque signalétique indique : Calcul naïf : \(230 \times 13 = 2\,990 \text{ VA}\)... mais la plaque indique 2 200 W.
Pourquoi cet écart ? Parce que le compresseur est une charge inductive : le courant est décalé dans le temps par rapport à la tension.
Ce décalage s'appelle le déphasage, et son cosinus est le facteur de puissance : ici \(\cos\varphi = \frac{2200}{2990} \approx 0{,}74\).

1. Courant alternatif sinusoïdal – rappels

Définition
Le courant du réseau électrique français est un courant alternatif sinusoïdal : son intensité varie périodiquement et change de sens selon une loi sinusoïdale.
\[ T = \frac{1}{f} \qquad \Leftrightarrow \qquad f = \frac{1}{T} \] T en secondes (s)  |  f en hertz (Hz)
Application

Le réseau électrique français a une fréquence f = 50 Hz. Calculer la période T de ce signal alternatif.

Valeurs efficaces
Les grandeurs efficaces (U pour la tension, I pour l'intensité) sont les valeurs mesurées par les multimètres et pinces ampèremétriques en régime alternatif.
La valeur maximale (amplitude) vaut : \(U_{max} = U\sqrt{2} \approx 1{,}41 \times U\).
Exemple : réseau 230 V \(\Rightarrow\) \(U_{max} = 230 \times \sqrt{2} \approx 325 \text{ V}\).

Courbes sinusoïdales u(t) et i(t)

t (ms) u, i 10 20 30 40 Δt u(t) — tension i(t) — courant

Le courant i(t) est en retard sur la tension u(t) d'un temps Δt (déphasage typique d'un compresseur ou d'un moteur).

2. Déphasage φ entre u(t) et i(t)

Définition – déphasage
En régime sinusoïdal, lorsqu'on applique une tension u(t) à un dipôle inductif (moteur, compresseur, bobine), il apparaît un décalage temporel Δt entre les deux signaux.
Ce décalage est caractérisé par l'angle φ (phi), appelé déphasage, exprimé en radians.
\[ \varphi = \frac{\Delta t}{T} \times 2\pi \] φ en radians (rad)  |  Δt et T dans la même unité (s ou ms)
Application

À l'oscilloscope, un technicien chauffagiste mesure sur une pompe à chaleur : T = 20 ms et Δt = 3 ms entre les maxima de u(t) et i(t). Calculer le déphasage φ en radians et en degrés.

Exemple – Calcul du déphasage
À l'oscilloscope on mesure T = 20 ms et Δt = 5 ms pour un compresseur de PAC : \[ \varphi = \frac{5}{20} \times 2\pi = 0{,}25 \times 6{,}283 \approx \mathbf{1{,}57 \text{ rad}} \approx 90° \]
Pour un Δt = 2,5 ms : \[ \varphi = \frac{2{,}5}{20} \times 2\pi \approx \mathbf{0{,}785 \text{ rad}} \approx 45° \]
Attention
Le déphasage φ est compris entre 0 et π/2 radians (0° à 90°) pour les dipôles inductifs réels.
Ne pas confondre Δt (décalage temporel en ms) et φ (angle en radians ou degrés).

3. Les trois puissances en régime sinusoïdal

3.1 Puissance instantanée p(t)

Puissance instantanée
La puissance instantanée est le produit de la tension instantanée par l'intensité instantanée : \[ p(t) = u(t) \times i(t) \] Elle varie en permanence et peut être positive ou négative selon le signe du déphasage.
Interprétation physique
La valeur moyenne de p(t) sur une période est la puissance active P.

3.2 Puissance active P

Puissance active (ou puissance utile)
La puissance active P est la puissance réellement transformée en travail utile (chaleur, mouvement, lumière...). C'est la valeur indiquée sur les factures d'énergie et dans les fiches techniques.
\[ \boxed{P = U \cdot I \cdot \cos\varphi} \] P en watts (W)  |  U en volts (V)  |  I en ampères (A)  |  cos φ sans unité
Application

Un climatiseur est alimenté sous U = 230 V, il absorbe I = 12 A, et son facteur de puissance est cos φ = 0,80. Calculer sa puissance active P.

3.3 Puissance apparente S

Puissance apparente
La puissance apparente S est la puissance que le réseau doit fournir, tenant compte du courant réel circulant dans les conducteurs (même la partie "inutile" due au déphasage).
\[ \boxed{S = U \cdot I} \] S en voltampères (VA)  |  U en volts (V)  |  I en ampères (A)

3.4 Puissance réactive Q

Puissance réactive
La puissance réactive Q représente l'énergie échangée (sans être consommée) entre la source et les éléments inductifs ou capacitifs du circuit (bobines, condensateurs). Elle ne produit pas de travail utile mais circule dans les câbles et les génère des pertes supplémentaires.
\[ \boxed{Q = U \cdot I \cdot \sin\varphi} \] Q en voltampères réactifs (VAR)  |  sin φ sans unité

4. Facteur de puissance – cos φ

Facteur de puissance
Le facteur de puissance est le cosinus du déphasage φ entre la tension et le courant. Il indique quelle fraction de la puissance apparente est réellement utile.
\[ \boxed{\cos\varphi = \frac{P}{S}} \] cos φ est sans unité  |  compris entre 0 (totalement inductif) et 1 (résistif pur)
Application

Un installateur thermique relève sur un wattmètre : P = 1 800 W, S = 2 250 VA. Calculer le facteur de puissance cos φ de l'équipement.

Valeurs typiques pour les équipements d'installation thermique
ÉquipementTypecos φ typiqueRemarque
Radiateur électriqueRésistif1,00Idéal — pas de déphasage
Chauffe-eau électriqueRésistif0,98–1,00Quasi-résistif
Ventilateur CTAInductif0,80–0,90Moteur asynchrone
Pompe à chaleurInductif0,75–0,85Compresseur hermétique
Climatiseur fixeInductif0,70–0,80Compresseur scroll
VMC double fluxInductif0,85–0,92Moteur EC souvent meilleur
Attention aux erreurs fréquentes

5. Triangle des puissances

Les trois puissances P, Q et S sont liées par la relation de Pythagore. On les représente dans un triangle rectangle appelé triangle des puissances.

\[ \boxed{S^2 = P^2 + Q^2} \] Relation de Pythagore appliquée aux trois puissances
Application

Un compresseur de PAC a une puissance active P = 2 400 W et une puissance réactive Q = 1 800 VAR. Calculer la puissance apparente S, puis le facteur de puissance cos φ.

φ P (W) Q (VAR) S (VA) S² = P² + Q² cos φ = P/S sin φ = Q/S tan φ = Q/P

P = puissance active (côté adjacent)  |  Q = puissance réactive (côté opposé)  |  S = puissance apparente (hypoténuse)

À retenir
Formules clés du triangle des puissances :

6. Exemples détaillés

Exemple 1 – Machine à bois (moteur asynchrone)
Données : U = 230 V, I = 8,5 A, cos φ = 0,80
  1. Puissance apparente : \[ S = U \times I = 230 \times 8{,}5 = \mathbf{1\,955 \text{ VA}} \]
  2. Puissance active : \[ P = U \times I \times \cos\varphi = 230 \times 8{,}5 \times 0{,}80 = \mathbf{1\,564 \text{ W}} \]
  3. Puissance réactive : \[ Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{1955^2 - 1564^2} = \sqrt{3\,822\,025 - 2\,446\,096} \approx \mathbf{1\,173 \text{ VAR}} \] Ou bien : \(Q = U \times I \times \sin\varphi\). On calcule d'abord \(\sin\varphi = \sqrt{1 - 0{,}80^2} = 0{,}60\), donc \(Q = 230 \times 8{,}5 \times 0{,}60 = \mathbf{1\,173 \text{ VAR}}\).
1 564 W
Puissance active P
1 173 VAR
Puissance réactive Q
1 955 VA
Puissance apparente S
Exemple 2 – Climatiseur réversible TICCER
Données : U = 230 V, I = 13 A, cos φ = 0,75
  1. Puissance apparente : \[ S = 230 \times 13 = \mathbf{2\,990 \text{ VA}} \]
  2. Puissance active : \[ P = 230 \times 13 \times 0{,}75 = \mathbf{2\,242{,}5 \text{ W} \approx 2{,}24 \text{ kW}} \]
  3. Angle φ : \[ \cos\varphi = 0{,}75 \Rightarrow \varphi = \arccos(0{,}75) \approx 41{,}4° \]
  4. Puissance réactive : \[ \sin(41{,}4°) \approx 0{,}661 \Rightarrow Q = 230 \times 13 \times 0{,}661 \approx \mathbf{1\,977 \text{ VAR}} \]
  5. Vérification Pythagore : \[ \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{2242{,}5^2 + 1977^2} \approx \sqrt{5\,028\,806 + 3\,908\,529} \approx 2\,990 \text{ VA} \checkmark \]
2 243 W
Puissance active P
1 977 VAR
Puissance réactive Q
2 990 VA
Puissance apparente S

Conclusion : Sur les 2 990 VA que le réseau fournit, seulement 2 243 W sont réellement convertis en froid ou en chaleur. Les 1 977 VAR « oscillent » dans les câbles sans produire de travail utile.

Exemple 3 – Compensation par condensateur TICCER
Situation : Un compresseur de PAC : P = 3 500 W, cos φinitial = 0,70. On souhaite relever le facteur de puissance à cos φfinal = 0,95.
  1. Courant initial : \[ S_1 = \frac{P}{\cos\varphi_1} = \frac{3500}{0{,}70} = 5\,000 \text{ VA} \Rightarrow I_1 = \frac{S_1}{U} = \frac{5000}{230} \approx \mathbf{21{,}7 \text{ A}} \]
  2. Puissance réactive initiale : \[ \sin\varphi_1 = \sqrt{1 - 0{,}70^2} \approx 0{,}714 \Rightarrow Q_1 = 3500 \times \frac{0{,}714}{0{,}70} = \mathbf{3\,570 \text{ VAR}} \]
  3. Puissance réactive finale souhaitée : \[ \tan\varphi_2 = \frac{\sqrt{1-0{,}95^2}}{0{,}95} \approx 0{,}329 \Rightarrow Q_2 = P \times \tan\varphi_2 = 3500 \times 0{,}329 \approx \mathbf{1\,151 \text{ VAR}} \]
  4. Puissance réactive du condensateur : \[ Q_C = Q_1 - Q_2 = 3570 - 1151 \approx \mathbf{2\,419 \text{ VAR}} \]
  5. Courant après compensation : \[ S_2 = \frac{P}{\cos\varphi_2} = \frac{3500}{0{,}95} \approx 3\,684 \text{ VA} \Rightarrow I_2 = \frac{3684}{230} \approx \mathbf{16{,}0 \text{ A}} \] Le courant est réduit de 21,7 A à 16,0 A, soit une réduction de 26 % !

7. Visualisation interactive des courbes u(t), i(t) et p(t)

Faites varier le déphasage φ avec le curseur pour observer l'effet sur la puissance instantanée p(t) et la puissance active P.

30° 0.866
—
P active (W)
U=230V, I=10A
—
Q réactive (VAR)
—
S apparente (VA)

8. Triangle des puissances — animation interactive

Faites varier φ pour observer comment les trois puissances évoluent. Quand φ augmente, P diminue et Q augmente, mais S reste constante (le courant ne change pas).

37°
—
P (W)
U=230V, I=10A
—
Q (VAR)
—
S (VA)

9. Applications concrètes en installation thermique

9.1 Dimensionner un disjoncteur

Méthode
Le disjoncteur se calibre sur l'intensité maximale, qui dépend de S (pas de P) :
  1. Calculer S = U × I (ou S = P / cos φ si on connaît P et cos φ)
  2. Calculer I = S / U
  3. Choisir un disjoncteur de calibre supérieur normalisé : 10 A, 16 A, 20 A, 25 A, 32 A, 40 A...
Application – PAC air/air 3,5 kW TICCER
PAC : P = 1 400 W (puissance électrique absorbée), cos φ = 0,80, U = 230 V \[ S = \frac{P}{\cos\varphi} = \frac{1400}{0{,}80} = 1\,750 \text{ VA} \] \[ I = \frac{S}{U} = \frac{1750}{230} \approx 7{,}6 \text{ A} \] On choisit un disjoncteur 16 A (calibre normalisé supérieur à 7,6 A, avec marge).

9.2 Calculer une facture d'énergie

Méthode
La facture EDF est calculée sur l'énergie active consommée en kilowattheures (kWh) : \[ W = P \times t \quad \text{(en Wh ou kWh)} \]
Application – Climatiseur sur 8h TICCER
Climatiseur : P = 2 242 W, fonctionnement 8 h/j, tarif EDF = 0,20 €/kWh \[ W = \frac{2242}{1000} \times 8 = 17{,}9 \text{ kWh} \] \[ \text{Coût} = 17{,}9 \times 0{,}20 = \mathbf{3{,}58 \text{ €/jour}} \] Sur 30 jours : \(3{,}58 \times 30 \approx \mathbf{107 \text{ €/mois}}\)

9.3 Choisir un câble

Méthode
La section du câble se choisit en fonction du courant I (calculé à partir de S) et de la longueur du câble (chute de tension). Ces valeurs dépendent aussi du mode de pose (encastré, chemin de câbles...).

10. Tableau récapitulatif des formules

GrandeurSymboleUnitéFormule principale
PériodeTseconde (s) \(T = \dfrac{1}{f}\)
Fréquencefhertz (Hz) \(f = \dfrac{1}{T}\)
Déphasageφradian (rad) \(\varphi = \dfrac{\Delta t}{T} \times 2\pi\)
Puissance instantanéep(t)watt (W) \(p(t) = u(t) \times i(t)\)
Puissance activePwatt (W) \(P = U \cdot I \cdot \cos\varphi\)
Puissance apparenteSvoltampère (VA) \(S = U \cdot I\)
Puissance réactiveQvoltampère réactif (VAR) \(Q = U \cdot I \cdot \sin\varphi\)
Triangle des puissances—— \(S^2 = P^2 + Q^2\)
Facteur de puissancecos φsans unité \(\cos\varphi = \dfrac{P}{S}\)
Énergie consomméeWwatt·heure (Wh) \(W = P \times t\)

11. Mini-exercices

Exercice 1 – Pompe à chaleur
Une pompe à chaleur est alimentée sous U = 230 V et absorbe un courant I = 15 A. Son facteur de puissance est cos φ = 0,78.
  1. Calculer la puissance apparente S.
  2. Calculer la puissance active P.
  3. Calculer la puissance réactive Q (en utilisant S² = P² + Q²).
  4. Quel disjoncteur choisir (calibres normalisés : 10, 16, 20, 25, 32 A) ?
Voir la correction
1. Puissance apparente :
\(S = U \times I = 230 \times 15 = \mathbf{3\,450 \text{ VA}}\)

2. Puissance active :
\(P = S \times \cos\varphi = 3450 \times 0{,}78 = \mathbf{2\,691 \text{ W}}\)

3. Puissance réactive :
\(Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{3450^2 - 2691^2} = \sqrt{11\,902\,500 - 7\,241\,481} = \sqrt{4\,661\,019} \approx \mathbf{2\,159 \text{ VAR}}\)

4. Disjoncteur :
I = 15 A → le calibre supérieur normalisé est 20 A. (On ne choisit pas 16 A car le courant est exactement 15 A et le disjoncteur doit supporter les pointes de démarrage.)
Exercice 2 – Chauffe-eau solaire avec appoint électrique
Un chauffe-eau solaire thermodynamique a une résistance d'appoint de 1 800 W (résistive, cos φ = 1) et un compresseur de 350 W avec cos φ = 0,80, alimentés sous 230 V.
  1. Calculer le courant absorbé par la résistance seule.
  2. Calculer le courant absorbé par le compresseur.
  3. Calculer la puissance apparente totale (en supposant qu'ils fonctionnent simultanément).
  4. Quel disjoncteur prévoir pour l'ensemble ?
Voir la correction
1. Courant résistance (cos φ = 1) :
\(S_R = \frac{P_R}{\cos\varphi} = \frac{1800}{1} = 1800 \text{ VA}\)
\(I_R = \frac{S_R}{U} = \frac{1800}{230} \approx \mathbf{7{,}8 \text{ A}}\)

2. Courant compresseur (cos φ = 0,80) :
\(S_C = \frac{350}{0{,}80} = 437{,}5 \text{ VA}\)
\(I_C = \frac{437{,}5}{230} \approx \mathbf{1{,}9 \text{ A}}\)

3. En première approximation (addition des courants) :
\(I_{total} \approx 7{,}8 + 1{,}9 = 9{,}7 \text{ A}\)
\(S_{total} \approx 230 \times 9{,}7 \approx \mathbf{2\,231 \text{ VA}}\)
Note : en réalité les courants ne s'additionnent exactement que s'ils sont en phase, ce qui est approximatif ici.

4. Disjoncteur :
I ≈ 9,7 A → on choisit un disjoncteur 16 A.
Exercice 3 – Mesure à l'oscilloscope
À l'oscilloscope, on observe les courbes u(t) et i(t) d'un moteur de ventilateur CTA :
  1. Calculer le déphasage φ en radians, puis en degrés.
  2. Calculer cos φ.
  3. Calculer P, S et Q.
Voir la correction
1. Déphasage :
\(\varphi = \frac{\Delta t}{T} \times 2\pi = \frac{4}{20} \times 2\pi = 0{,}2 \times 6{,}283 \approx \mathbf{1{,}257 \text{ rad}}\)
En degrés : \(\varphi = \frac{4}{20} \times 360° = \mathbf{72°}\)

2. Facteur de puissance :
\(\cos(72°) \approx \mathbf{0{,}309}\)
Ce facteur de puissance est très mauvais pour un ventilateur ! En pratique les moteurs modernes ont cos φ > 0,80.

3. Puissances :
\(S = 230 \times 3{,}5 = \mathbf{805 \text{ VA}}\)
\(P = 805 \times 0{,}309 \approx \mathbf{249 \text{ W}}\)
\(\sin(72°) \approx 0{,}951 \Rightarrow Q = 805 \times 0{,}951 \approx \mathbf{765 \text{ VAR}}\)
Vérification : \(\sqrt{249^2 + 765^2} = \sqrt{62001 + 585225} = \sqrt{647226} \approx 805 \text{ VA }\checkmark\)
Exercice 4 – Facture d'énergie et compensation TICCER
Un local commercial est équipé d'une climatisation (P = 4 500 W, cos φ = 0,72) alimentée sous 230 V.
  1. Calculer le courant absorbé et la puissance apparente.
  2. Calculer l'énergie consommée en kWh sur un mois (22 jours ouvrés × 9 h/jour).
  3. Calculer le coût mensuel au tarif de 0,22 €/kWh.
  4. Après installation d'une batterie de condensateurs, cos φ passe à 0,96. Calculer le nouveau courant. Quelle économie cela représente-t-il sur les pertes dans les câbles (qui sont proportionnelles à I²) ?
Voir la correction
1. Courant et puissance apparente :
\(S_1 = \frac{P}{\cos\varphi_1} = \frac{4500}{0{,}72} = 6\,250 \text{ VA}\)
\(I_1 = \frac{6250}{230} \approx \mathbf{27{,}2 \text{ A}}\)

2. Énergie consommée :
\(t = 22 \times 9 = 198 \text{ h}\)
\(W = P \times t = 4{,}5 \text{ kW} \times 198 \text{ h} = \mathbf{891 \text{ kWh}}\)

3. Coût mensuel :
\(\text{Coût} = 891 \times 0{,}22 = \mathbf{196 \text{ €/mois}}\)

4. Après compensation (cos φ₂ = 0,96) :
\(S_2 = \frac{4500}{0{,}96} = 4\,688 \text{ VA}\)
\(I_2 = \frac{4688}{230} \approx \mathbf{20{,}4 \text{ A}}\)
Réduction du courant : \(\frac{27{,}2 - 20{,}4}{27{,}2} \times 100 \approx 25\%\)
Réduction des pertes Joule (∝ I²) : \(1 - \left(\frac{20{,}4}{27{,}2}\right)^2 = 1 - 0{,}562 \approx \mathbf{44\%}\)
La compensation réduit les pertes dans les câbles de près de 44% !
Bilan — Ce qu'il faut retenir
Formules essentielles
  • \(P = U \cdot I \cdot \cos\varphi\)  (W)
  • \(S = U \cdot I\)  (VA)
  • \(Q = U \cdot I \cdot \sin\varphi\)  (VAR)
  • \(S^2 = P^2 + Q^2\)
  • \(\cos\varphi = P / S\)
  • \(\varphi = \dfrac{\Delta t}{T} \times 2\pi\)
En pratique — Installation thermique
  • Disjoncteur → calculer I = S / U
  • Facture → utiliser P en kWh
  • Câbles → section selon intensité I
  • Mauvais cos φ → courant plus fort → câbles surchauffés
  • Condensateurs → relèvent cos φ → réduisent I
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Erreurs fréquentes

❌
Confondre P (W) et S (VA)
La puissance active P et la puissance apparente S ont des unités différentes (W ≠ VA). On ne peut pas les additionner ni les confondre. Toujours indiquer l'unité pour lever l'ambiguïté.
Conseil : P se mesure avec un wattmètre, S = U × I se calcule.
❌
Dimensionner un disjoncteur sur P au lieu de I
Le disjoncteur se calibre sur le courant I (calculé à partir de S), pas sur la puissance active P. Un cos φ faible signifie que I est élevé même si P est modeste.
Conseil : toujours calculer I = S/U avant de choisir le calibre du disjoncteur.
❌
Croire que la facture EDF est basée sur S
Le fournisseur d'électricité facture l'énergie active W = P × t (en kWh), pas la puissance apparente. Mais un cos φ trop faible peut entraîner des pénalités tarifaires pour les installations industrielles.
Conseil : distinguer facturation (P) et dimensionnement (S et I).
❌
Oublier de convertir les unités de temps
Dans W = P × t, P doit être en kW et t en heures pour obtenir des kWh. Passer d'abord de W à kW (÷ 1000) et de minutes/jours en heures.
Conseil : vérifier les unités à chaque étape avant de calculer.
❌
Confondre déphasage Δt et angle φ
Δt est un décalage temporel (en ms), φ est un angle (en radians ou degrés). La relation est φ = (Δt/T) × 2π. Ne pas substituer l'un à l'autre dans les formules de puissance.
Conseil : toujours calculer φ avant de calculer cos φ à partir de Δt.

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