Exercices | Terminale Bac Pro ICCER (Grpt 1) – Puissance P, S, Q, cos φ, compensation
En électricité, on distingue trois types de puissances :
Formules essentielles :
Un technicien chauffagiste installe un radiateur électrique dans un vestiaire. Le radiateur est branché sur une prise monophasée 230 V et absorbe un courant de 8 A. C'est un récepteur purement résistif : \(\cos\varphi = 1\).
1. Compléter le calcul de la puissance apparente :
\(S = U \times I = 230 \times \boxed{\phantom{0000}} = \boxed{\phantom{0000}}\ \text{VA}\)
2. Compléter le calcul de la puissance active :
\(P = U \times I \times \cos\varphi = 230 \times 8 \times \boxed{\phantom{00}} = \boxed{\phantom{0000}}\ \text{W}\)
3. Comparer \(P\) et \(S\). Cocher la bonne réponse :
4. Que vaut la puissance réactive \(Q\) pour un récepteur purement résistif ? (Rappel : \(\sin\varphi = 0\) quand \(\cos\varphi = 1\))
1. \(S = U \times I = 230 \times 8 = \mathbf{1\,840\ VA}\)
2. \(P = 230 \times 8 \times 1 = \mathbf{1\,840\ W}\)
3. \(P = S\) (bonne réponse : la deuxième case). Pour un récepteur purement résistif, toute la puissance apparente est convertie en puissance utile.
4. \(Q = U \times I \times \sin\varphi = 230 \times 8 \times 0 = \mathbf{0\ var}\). La puissance réactive est nulle.
Un installateur thermique relève les données de trois appareils monophasés branchés sur le réseau 230 V. Compléter le tableau ci-dessous.
Formules : \(S = U \times I\) | \(P = U \times I \times \cos\varphi\) | \(Q = U \times I \times \sin\varphi\)
| Appareil | \(U\) (V) | \(I\) (A) | \(\cos\varphi\) | \(\sin\varphi\) | \(S\) (VA) | \(P\) (W) | \(Q\) (var) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Convecteur | 230 | 6,5 | 1 | 0 | … | … | … |
| Circulateur | 230 | 0,9 | 0,65 | 0,76 | … | … | … |
| Ventilateur VMC | 230 | 1,2 | 0,80 | 0,60 | … | … | … |
| Appareil | \(S\) (VA) | \(P\) (W) | \(Q\) (var) |
|---|---|---|---|
| Convecteur | \(230 \times 6{,}5 = \mathbf{1\,495}\) | \(1\,495 \times 1 = \mathbf{1\,495}\) | \(1\,495 \times 0 = \mathbf{0}\) |
| Circulateur | \(230 \times 0{,}9 = \mathbf{207}\) | \(207 \times 0{,}65 = \mathbf{134{,}6}\) | \(207 \times 0{,}76 = \mathbf{157{,}3}\) |
| Ventilateur VMC | \(230 \times 1{,}2 = \mathbf{276}\) | \(276 \times 0{,}80 = \mathbf{220{,}8}\) | \(276 \times 0{,}60 = \mathbf{165{,}6}\) |
On remarque que pour le convecteur (\(\cos\varphi = 1\)), \(P = S\) et \(Q = 0\). Pour les moteurs (\(\cos\varphi < 1\)), \(P < S\) et \(Q \neq 0\).
Un récepteur présente : \(P = 2\,400\ \text{W}\) et \(Q = 1\,800\ \text{var}\).
On rappelle : \(S^2 = P^2 + Q^2\) donc \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\).
1. Compléter le calcul étape par étape :
\(P^2 = 2\,400^2 = \boxed{\phantom{00000000}}\)
\(Q^2 = 1\,800^2 = \boxed{\phantom{00000000}}\)
\(P^2 + Q^2 = \boxed{\phantom{00000000}}\)
\(S = \sqrt{\phantom{00000000}} = \boxed{\phantom{0000}}\ \text{VA}\)
2. Calculer le facteur de puissance : \(\cos\varphi = \dfrac{P}{S} = \dfrac{2\,400}{\boxed{\phantom{000}}} = \boxed{\phantom{000}}\)
3. Ce facteur de puissance est-il bon ? Cocher :
1.
\(P^2 = 2\,400^2 = \mathbf{5\,760\,000}\)
\(Q^2 = 1\,800^2 = \mathbf{3\,240\,000}\)
\(P^2 + Q^2 = 5\,760\,000 + 3\,240\,000 = \mathbf{9\,000\,000}\)
\(S = \sqrt{9\,000\,000} = \mathbf{3\,000\ VA = 3\ kVA}\)
2. \(\cos\varphi = \dfrac{2\,400}{3\,000} = \mathbf{0{,}8}\)
3. Non, il est inférieur à 0,93. Ce facteur de puissance est typique d'une installation comportant des moteurs, mais il n'est pas suffisant pour satisfaire les exigences du fournisseur d'électricité.
Un plombier chauffagiste installe un sèche-serviettes électrique dans une salle de bain. L'appareil a une puissance de \(P = 750\ \text{W} = 0{,}75\ \text{kW}\). Il fonctionne 4 heures par jour pendant 200 jours par an. Le prix du kWh est de 0,2276 €.
Formule : Énergie (kWh) = Puissance (kW) × temps (h)
1. Calculer la durée totale de fonctionnement par an :
\(t_{\text{total}} = 4 \times \boxed{\phantom{000}} = \boxed{\phantom{000}}\ \text{h}\)
2. Calculer l'énergie consommée sur un an :
\(W = P \times t = 0{,}75 \times \boxed{\phantom{000}} = \boxed{\phantom{000}}\ \text{kWh}\)
3. Calculer le coût annuel :
\(\text{Coût} = W \times \text{prix} = \boxed{\phantom{000}} \times 0{,}2276 = \boxed{\phantom{000}}\ €\)
1. \(t_{\text{total}} = 4 \times 200 = \mathbf{800\ h}\)
2. \(W = 0{,}75 \times 800 = \mathbf{600\ kWh}\)
3. \(\text{Coût} = 600 \times 0{,}2276 = \mathbf{136{,}56\ €}\)
La plaque signalétique d'un circulateur de chauffage central indique : 230 V – 0,45 A – 70 W.
1. Compléter le calcul de la puissance apparente :
\(S = U \times I = 230 \times \boxed{\phantom{000}} = \boxed{\phantom{000}}\ \text{VA}\)
2. La puissance active indiquée est \(P = 70\ \text{W}\). Le facteur de puissance vaut :
\(\cos\varphi = \dfrac{P}{S} = \dfrac{70}{\boxed{\phantom{000}}} = \boxed{\phantom{000}}\)
3. Compléter le calcul de la puissance réactive :
\(Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{0000}}^2 - 70^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{0000}} - 4\,900} = \boxed{\phantom{000}}\ \text{var}\)
4. Ce circulateur consomme-t-il beaucoup de puissance réactive ? Cocher :
1. \(S = 230 \times 0{,}45 = \mathbf{103{,}5\ VA}\)
2. \(\cos\varphi = \dfrac{70}{103{,}5} \approx \mathbf{0{,}68}\)
3. \(Q = \sqrt{103{,}5^2 - 70^2} = \sqrt{10\,712 - 4\,900} = \sqrt{5\,812} \approx \mathbf{76{,}2\ var}\)
4. Oui, \(Q \approx 76\ \text{var}\) est du même ordre que \(P = 70\ \text{W}\). Le circulateur, qui contient un moteur, a un \(\cos\varphi\) assez faible (0,68).
Pour chaque affirmation, cocher Vrai ou Faux :
| Affirmation | Vrai | Faux |
|---|---|---|
| La puissance active \(P\) s'exprime en watts (W). | ☐ | ☐ |
| La puissance apparente \(S\) s'exprime en watts (W). | ☐ | ☐ |
| Pour un récepteur purement résistif, \(\cos\varphi = 0\). | ☐ | ☐ |
| \(S\) est toujours supérieure ou égale à \(P\). | ☐ | ☐ |
| Un condensateur peut améliorer le facteur de puissance. | ☐ | ☐ |
| La puissance réactive \(Q\) s'exprime en VA. | ☐ | ☐ |
| Affirmation | Réponse |
|---|---|
| La puissance active \(P\) s'exprime en watts (W). | Vrai |
| La puissance apparente \(S\) s'exprime en watts (W). | Faux – \(S\) s'exprime en voltampères (VA). |
| Pour un récepteur purement résistif, \(\cos\varphi = 0\). | Faux – \(\cos\varphi = 1\) pour un récepteur résistif pur. |
| \(S\) est toujours supérieure ou égale à \(P\). | Vrai – car \(\cos\varphi \leq 1\). |
| Un condensateur peut améliorer le facteur de puissance. | Vrai – il fournit de l'énergie réactive et réduit \(Q\). |
| La puissance réactive \(Q\) s'exprime en VA. | Faux – \(Q\) s'exprime en var (voltampères réactifs). |
Un chauffe-eau électrique a une puissance de \(P = 2\,400\ \text{W}\). Il est branché en monophasé 230 V. C'est un appareil résistif (\(\cos\varphi = 1\)).
Rappel : \(P = U \times I \times \cos\varphi\), donc \(I = \dfrac{P}{U \times \cos\varphi}\)
1. Compléter le calcul du courant :
\(I = \dfrac{2\,400}{230 \times \boxed{\phantom{0}}} = \dfrac{2\,400}{\boxed{\phantom{000}}} = \boxed{\phantom{000}}\ \text{A}\)
2. Le disjoncteur du circuit est de 16 A. Le chauffe-eau peut-il fonctionner sans déclencher le disjoncteur ? Cocher :
1. \(I = \dfrac{2\,400}{230 \times 1} = \dfrac{2\,400}{230} \approx \mathbf{10{,}4\ A}\)
2. Oui, car \(I \approx 10{,}4\ \text{A} < 16\ \text{A}\). Le chauffe-eau peut fonctionner sans déclencher le disjoncteur.
Relier chaque grandeur à son unité et à sa signification :
| Grandeur | Unité | Signification |
|---|---|---|
| \(P\) = puissance … | … (W / VA / var) | … (utile / totale / stockée) |
| \(S\) = puissance … | … (W / VA / var) | … (utile / totale / stockée) |
| \(Q\) = puissance … | … (W / VA / var) | … (utile / totale / stockée) |
| Grandeur | Unité | Signification |
|---|---|---|
| \(P\) = puissance active | W (watt) | Énergie utile (effet thermique, mécanique…) |
| \(S\) = puissance apparente | VA (voltampère) | Puissance totale fournie par la source |
| \(Q\) = puissance réactive | var (voltampère réactif) | Énergie stockée puis restituée (bobines, condensateurs) |
Un moteur de VMC (Ventilation Mécanique Contrôlée) fonctionne en monophasé 230 V. Il absorbe un courant de \(I = 0{,}8\ \text{A}\) avec un facteur de puissance \(\cos\varphi = 0{,}72\).
1. Compléter le calcul de \(S\) :
\(S = U \times I = 230 \times \boxed{\phantom{00}} = \boxed{\phantom{000}}\ \text{VA}\)
2. Compléter le calcul de \(P\) :
\(P = S \times \cos\varphi = \boxed{\phantom{000}} \times 0{,}72 = \boxed{\phantom{000}}\ \text{W}\)
3. La puissance réactive se calcule avec \(\sin\varphi\). Sachant que \(\cos\varphi = 0{,}72\), on trouve \(\sin\varphi \approx 0{,}694\). Compléter :
\(Q = S \times \sin\varphi = \boxed{\phantom{000}} \times 0{,}694 = \boxed{\phantom{000}}\ \text{var}\)
1. \(S = 230 \times 0{,}8 = \mathbf{184\ VA}\)
2. \(P = 184 \times 0{,}72 = \mathbf{132{,}5\ W}\)
3. \(Q = 184 \times 0{,}694 = \mathbf{127{,}7\ var}\)
Deux appareils sont branchés sur le réseau 230 V monophasé :
1. Calculer \(S\) pour chaque appareil. Que remarquez-vous ?
2. Calculer \(P\) pour chaque appareil.
3. Lequel consomme le plus de puissance utile ? Lequel a la puissance réactive la plus élevée ?
1. \(S_A = S_B = 230 \times 4 = \mathbf{920\ VA}\). Les deux appareils ont la même puissance apparente car ils absorbent le même courant sous la même tension.
2. \(P_A = 920 \times 1 = \mathbf{920\ W}\) ; \(P_B = 920 \times 0{,}75 = \mathbf{690\ W}\)
3. Le grille-pain (A) consomme plus de puissance utile (920 W contre 690 W). La perceuse (B) a une puissance réactive non nulle : \(Q_B = 920 \times \sin\varphi = 920 \times 0{,}661 \approx 608\ \text{var}\), tandis que \(Q_A = 0\). À courant égal, l'appareil inductif convertit moins d'énergie en travail utile.
Une résistance chauffante est alimentée sous 230 V monophasé. Elle absorbe un courant de 8 A. C'est un récepteur purement résistif : \(\cos\varphi = 1\).
1. Rappeler la formule de la puissance active en monophasé.
2. Calculer la puissance active \(P\) absorbée.
3. Calculer la puissance apparente \(S = U \cdot I\).
4. Comparer \(P\) et \(S\) : que conclure pour un récepteur purement résistif ?
1. \(P = U \cdot I \cdot \cos\varphi\)
2. \(P = 230 \times 8 \times 1 = \mathbf{1\,840\ W = 1{,}84\ kW}\)
3. \(S = U \cdot I = 230 \times 8 = \mathbf{1\,840\ VA}\)
4. \(P = S\) quand \(\cos\varphi = 1\). Pour un récepteur purement résistif, toute la puissance apparente est convertie en puissance utile. La puissance réactive est nulle (\(Q = 0\)).
Un récepteur a les caractéristiques suivantes : \(P = 4{,}5\ \text{kW}\), \(\cos\varphi = 0{,}9\).
1. Convertir \(P\) en watts.
2. Calculer \(S\) en kVA à partir de \(S = P / \cos\varphi\).
3. Calculer \(\sin\varphi\) (sachant \(\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1\)), puis calculer \(Q\) en kvar.
1. \(P = 4{,}5\ \text{kW} = \mathbf{4\,500\ W}\)
2. \(S = \dfrac{P}{\cos\varphi} = \dfrac{4{,}5}{0{,}9} = \mathbf{5\ kVA}\)
3. \(\sin\varphi = \sqrt{1 - \cos^2\varphi} = \sqrt{1 - 0{,}81} = \sqrt{0{,}19} \approx 0{,}436\)
\(Q = S \times \sin\varphi = 5 \times 0{,}436 \approx \mathbf{2{,}18\ kvar}\)
Vérification : \(\sqrt{4{,}5^2 + 2{,}18^2} = \sqrt{20{,}25 + 4{,}75} = \sqrt{25} = 5\ \text{kVA}\) ✓
Un radiateur électrique monophasé fonctionne sous \(U = 230\ \text{V}\). Sa puissance nominale est \(P = 2\,000\ \text{W}\) et \(\cos\varphi = 1\).
1. Calculer l'intensité \(I\) absorbée par le radiateur.
2. Calculer la puissance apparente \(S\).
3. Calculer l'énergie consommée en 3 heures de fonctionnement (en Wh puis en kWh).
4. Quel est le coût de fonctionnement sur 3 h si le kWh coûte 0,25 € ?
1. \(I = \dfrac{P}{U \cdot \cos\varphi} = \dfrac{2\,000}{230 \times 1} \approx \mathbf{8{,}70\ A}\)
2. \(S = U \cdot I = 230 \times 8{,}70 \approx \mathbf{2\,000\ VA}\) (égal à \(P\) car \(\cos\varphi = 1\))
3. \(W = P \times t = 2\,000 \times 3 = \mathbf{6\,000\ Wh = 6\ kWh}\)
4. \(\text{Coût} = 6 \times 0{,}25 = \mathbf{1{,}50\ €}\)
Un moteur triphasé est alimenté sous \(U = 400\ \text{V}\). Sa puissance active absorbée est \(P = 5\ \text{kW}\), son facteur de puissance \(\cos\varphi = 0{,}8\) et son rendement \(\eta = 0{,}85\).
1. Rappeler la formule de la puissance active triphasée.
2. Calculer le courant de ligne \(I\) absorbé par le moteur.
3. Calculer la puissance mécanique utile \(P_{\text{utile}} = \eta \times P\).
1. \(P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos\varphi\)
2. \(I = \dfrac{P}{\sqrt{3} \cdot U \cdot \cos\varphi} = \dfrac{5\,000}{\sqrt{3} \times 400 \times 0{,}8} = \dfrac{5\,000}{554{,}3} \approx \mathbf{9{,}02\ A}\)
3. \(P_{\text{utile}} = \eta \times P = 0{,}85 \times 5\,000 = \mathbf{4\,250\ W = 4{,}25\ kW}\)
Les pertes dans le moteur sont : \(P_{\text{pertes}} = 5\,000 - 4\,250 = 750\ \text{W}\), dissipées sous forme de chaleur.
Une installation 230 V monophasé fournit une puissance active de \(P = 3\ \text{kW}\). On compare deux situations : \(\cos\varphi_1 = 0{,}7\) (sans compensation) et \(\cos\varphi_2 = 0{,}95\) (avec condensateur de compensation).
1. Calculer le courant \(I_1\) pour \(\cos\varphi_1 = 0{,}7\).
2. Calculer le courant \(I_2\) pour \(\cos\varphi_2 = 0{,}95\).
3. Calculer les puissances apparentes \(S_1\) et \(S_2\) correspondantes.
4. Conclure sur l'intérêt d'améliorer le facteur de puissance.
1. \(I_1 = \dfrac{P}{U \cdot \cos\varphi_1} = \dfrac{3\,000}{230 \times 0{,}7} = \dfrac{3\,000}{161} \approx \mathbf{18{,}6\ A}\)
2. \(I_2 = \dfrac{P}{U \cdot \cos\varphi_2} = \dfrac{3\,000}{230 \times 0{,}95} = \dfrac{3\,000}{218{,}5} \approx \mathbf{13{,}7\ A}\)
3. \(S_1 = U \cdot I_1 = 230 \times 18{,}6 \approx \mathbf{4\,278\ VA \approx 4{,}3\ kVA}\)
\(S_2 = U \cdot I_2 = 230 \times 13{,}7 \approx \mathbf{3\,151\ VA \approx 3{,}15\ kVA}\)
4. Améliorer \(\cos\varphi\) de 0,7 à 0,95 réduit le courant de 18,6 A à 13,7 A (réduction de 26 %). La puissance active consommée reste identique (\(P = 3\ \text{kW}\)), mais les câbles, disjoncteurs et compteurs sont moins sollicités. Les pertes Joule en ligne (\(P_{\text{pertes}} = R \cdot I^2\)) sont également réduites.
Un technicien CVC installe une pompe à chaleur triphasée. Les données de la plaque signalétique sont : \(U = 400\ \text{V}\), puissance électrique absorbée \(P = 3{,}5\ \text{kW}\), \(\cos\varphi = 0{,}82\).
1. Rappeler la formule de la puissance active triphasée.
2. Calculer le courant de ligne \(I\) absorbé par la pompe à chaleur.
3. Choisir le calibre du disjoncteur de protection parmi : 10 A / 16 A / 20 A / 25 A. Justifier le choix.
1. \(P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos\varphi\)
2. \(I = \dfrac{P}{\sqrt{3} \cdot U \cdot \cos\varphi} = \dfrac{3\,500}{\sqrt{3} \times 400 \times 0{,}82} = \dfrac{3\,500}{568{,}2} \approx \mathbf{6{,}16\ A}\)
3. Le courant nominal est d'environ 6,2 A. On choisit le calibre immédiatement supérieur : 10 A.
En pratique, le technicien doit aussi vérifier le courant de démarrage du compresseur (pouvant atteindre 3 à 6 fois \(I_n\)). Si les appels de courant au démarrage provoquent des déclenchements intempestifs, on peut opter pour un disjoncteur 16 A avec courbe de déclenchement type D (adapté aux moteurs).
Un local technique comporte trois appareils monophasés 230 V :
| Appareil | \(P\) (W) | \(\cos\varphi\) |
|---|---|---|
| Chaudière murale | 120 | 0,85 |
| Circulateur | 65 | 0,65 |
| Éclairage LED | 40 | 0,95 |
1. Calculer la puissance apparente \(S\) de chaque appareil.
2. Calculer le courant \(I\) absorbé par chaque appareil.
3. Calculer le courant total \(I_T\) si tous les appareils fonctionnent simultanément. Quel disjoncteur choisir (6 A / 10 A / 16 A) ?
1.
Chaudière : \(S_1 = \dfrac{120}{0{,}85} \approx \mathbf{141{,}2\ VA}\)
Circulateur : \(S_2 = \dfrac{65}{0{,}65} = \mathbf{100\ VA}\)
Éclairage : \(S_3 = \dfrac{40}{0{,}95} \approx \mathbf{42{,}1\ VA}\)
2.
\(I_1 = \dfrac{141{,}2}{230} \approx \mathbf{0{,}61\ A}\) ; \(I_2 = \dfrac{100}{230} \approx \mathbf{0{,}43\ A}\) ; \(I_3 = \dfrac{42{,}1}{230} \approx \mathbf{0{,}18\ A}\)
3. \(I_T \approx 0{,}61 + 0{,}43 + 0{,}18 = \mathbf{1{,}22\ A}\). Un disjoncteur 6 A convient largement.
Un câble de résistance \(R = 0{,}5\ \Omega\) alimente un moteur monophasé 230 V. Le moteur absorbe \(P = 2\,000\ \text{W}\) avec \(\cos\varphi = 0{,}8\).
1. Calculer le courant \(I\) absorbé par le moteur.
2. Calculer les pertes Joule dans le câble : \(P_J = R \times I^2\).
3. Si on compense le facteur de puissance à \(\cos\varphi = 0{,}95\), calculer le nouveau courant \(I'\) et les nouvelles pertes \(P_J'\).
4. Calculer le pourcentage de réduction des pertes.
1. \(I = \dfrac{P}{U \times \cos\varphi} = \dfrac{2\,000}{230 \times 0{,}8} = \dfrac{2\,000}{184} \approx \mathbf{10{,}87\ A}\)
2. \(P_J = 0{,}5 \times 10{,}87^2 = 0{,}5 \times 118{,}2 \approx \mathbf{59{,}1\ W}\)
3. \(I' = \dfrac{2\,000}{230 \times 0{,}95} = \dfrac{2\,000}{218{,}5} \approx \mathbf{9{,}15\ A}\)
\(P_J' = 0{,}5 \times 9{,}15^2 = 0{,}5 \times 83{,}7 \approx \mathbf{41{,}9\ W}\)
4. Réduction : \(\dfrac{59{,}1 - 41{,}9}{59{,}1} \times 100 \approx \mathbf{29{,}1\ \%}\). La compensation réduit les pertes de près de 30 %.
La facture d'électricité d'un atelier de maintenance indique : puissance souscrite \(S = 36\ \text{kVA}\), consommation mensuelle \(W = 4\,200\ \text{kWh}\), facteur de puissance relevé \(\cos\varphi = 0{,}78\).
1. Calculer la puissance active maximale disponible : \(P_{\max} = S \times \cos\varphi\).
2. Calculer la puissance réactive correspondante : \(Q = \sqrt{S^2 - P_{\max}^2}\).
3. Le fournisseur applique une pénalité de 5 % sur la facture si \(\cos\varphi < 0{,}9\). L'atelier paie-t-il une pénalité ? Si le kWh coûte 0,18 €, quel est le surcoût mensuel ?
1. \(P_{\max} = 36 \times 0{,}78 = \mathbf{28{,}08\ kW}\)
2. \(Q = \sqrt{36^2 - 28{,}08^2} = \sqrt{1\,296 - 788{,}5} = \sqrt{507{,}5} \approx \mathbf{22{,}5\ kvar}\)
3. Oui, \(\cos\varphi = 0{,}78 < 0{,}9\), l'atelier paie une pénalité. Facture de base : \(4\,200 \times 0{,}18 = 756\ €\). Pénalité : \(756 \times 0{,}05 = \mathbf{37{,}80\ €}\) de surcoût mensuel.
Un climatiseur monophasé 230 V a les caractéristiques : \(P = 1\,800\ \text{W}\) et \(\cos\varphi = 0{,}85\).
1. Calculer la puissance apparente \(S\).
2. Calculer \(\sin\varphi\) puis la puissance réactive \(Q\).
3. Vérifier que \(S^2 = P^2 + Q^2\).
4. Tracer le triangle des puissances à l'échelle (1 cm = 500 unités).
1. \(S = \dfrac{P}{\cos\varphi} = \dfrac{1\,800}{0{,}85} \approx \mathbf{2\,118\ VA}\)
2. \(\sin\varphi = \sqrt{1 - 0{,}85^2} = \sqrt{1 - 0{,}7225} = \sqrt{0{,}2775} \approx 0{,}527\)
\(Q = S \times \sin\varphi = 2\,118 \times 0{,}527 \approx \mathbf{1\,116\ var}\)
3. \(P^2 + Q^2 = 1\,800^2 + 1\,116^2 = 3\,240\,000 + 1\,245\,456 = 4\,485\,456\)
\(S^2 = 2\,118^2 = 4\,485\,924\) ✓ (l'écart est dû aux arrondis)
4. Triangle rectangle : côté horizontal \(P = 3{,}6\ \text{cm}\), côté vertical \(Q = 2{,}2\ \text{cm}\), hypoténuse \(S = 4{,}2\ \text{cm}\).
Un installateur thermique raccorde un compresseur de climatisation triphasé : \(U = 400\ \text{V}\), \(P = 7{,}5\ \text{kW}\), \(\cos\varphi = 0{,}82\).
1. Calculer le courant de ligne \(I\) absorbé.
2. La norme impose un courant maximal de 18 A pour un câble de section 2,5 mm². Ce câble convient-il ?
3. Le compresseur a un rendement \(\eta = 0{,}88\). Calculer la puissance frigorifique utile.
1. \(I = \dfrac{P}{\sqrt{3} \times U \times \cos\varphi} = \dfrac{7\,500}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}82} = \dfrac{7\,500}{568{,}1} \approx \mathbf{13{,}2\ A}\)
2. \(I = 13{,}2\ \text{A} < 18\ \text{A}\) : oui, le câble de 2,5 mm² convient.
3. \(P_{\text{utile}} = \eta \times P = 0{,}88 \times 7\,500 = \mathbf{6\,600\ W = 6{,}6\ kW}\)
Un technicien chauffagiste compare deux solutions pour chauffer un bureau de 15 m² :
Prix du kWh : 0,2276 €. Saison de chauffe : 150 jours.
1. Calculer l'énergie consommée par an pour chaque solution (en kWh).
2. Calculer le coût annuel pour chaque solution.
3. Calculer l'économie réalisée avec le panneau rayonnant.
4. Calculer le courant absorbé par chaque appareil. Quel calibre de disjoncteur prévoir pour chacun ?
1.
Convecteur : \(W_1 = 1{,}5 \times 8 \times 150 = \mathbf{1\,800\ kWh}\)
Panneau : \(W_2 = 1{,}2 \times 6 \times 150 = \mathbf{1\,080\ kWh}\)
2.
Convecteur : \(1\,800 \times 0{,}2276 = \mathbf{409{,}68\ €}\)
Panneau : \(1\,080 \times 0{,}2276 = \mathbf{245{,}81\ €}\)
3. Économie : \(409{,}68 - 245{,}81 = \mathbf{163{,}87\ €}\) par an.
4. \(I_1 = \dfrac{1\,500}{230} \approx 6{,}5\ \text{A}\) → disjoncteur 10 A. \(I_2 = \dfrac{1\,200}{230} \approx 5{,}2\ \text{A}\) → disjoncteur 10 A.
Une installation triphasée 400 V comporte trois récepteurs :
| Récepteur | Puissance active \(P\) | \(\cos\varphi\) |
|---|---|---|
| Résistance chauffante | 1 kW | 1 |
| Moteur de ventilation | 2 kW | 0,8 |
| Compresseur frigorifique | 3 kW | 0,7 |
1. Calculer \(P_{\text{totale}}\).
2. Calculer les puissances réactives \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) de chaque récepteur (utiliser \(\tan\varphi = Q/P\)).
3. Calculer \(Q_{\text{totale}} = Q_1 + Q_2 + Q_3\).
4. Calculer \(S_{\text{totale}} = \sqrt{P_{\text{totale}}^2 + Q_{\text{totale}}^2}\) puis \(\cos\varphi_{\text{global}}\).
5. Le fournisseur d'énergie exige \(\cos\varphi \geq 0{,}93\). Calculer la puissance réactive du condensateur à installer pour atteindre cette valeur.
1. \(P_{\text{totale}} = 1 + 2 + 3 = \mathbf{6\ kW}\)
2. Pour chaque récepteur, \(Q = P \times \tan\varphi\) :
\(\cos\varphi_1 = 1 \Rightarrow \tan\varphi_1 = 0 \Rightarrow Q_1 = 1 \times 0 = \mathbf{0\ kvar}\)
\(\cos\varphi_2 = 0{,}8 \Rightarrow \sin\varphi_2 = 0{,}6 \Rightarrow \tan\varphi_2 = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75 \Rightarrow Q_2 = 2 \times 0{,}75 = \mathbf{1{,}5\ kvar}\)
\(\cos\varphi_3 = 0{,}7 \Rightarrow \sin\varphi_3 = \sqrt{1-0{,}49} \approx 0{,}714 \Rightarrow \tan\varphi_3 \approx \dfrac{0{,}714}{0{,}7} \approx 1{,}020 \Rightarrow Q_3 = 3 \times 1{,}020 \approx \mathbf{3{,}06\ kvar}\)
3. \(Q_{\text{totale}} = 0 + 1{,}5 + 3{,}06 = \mathbf{4{,}56\ kvar}\)
4. \(S_{\text{totale}} = \sqrt{6^2 + 4{,}56^2} = \sqrt{36 + 20{,}79} = \sqrt{56{,}79} \approx \mathbf{7{,}54\ kVA}\)
\(\cos\varphi_{\text{global}} = \dfrac{P_{\text{totale}}}{S_{\text{totale}}} = \dfrac{6}{7{,}54} \approx \mathbf{0{,}80}\)
5. On souhaite \(\cos\varphi_2 = 0{,}93\), donc \(\tan\varphi_2 = \dfrac{\sqrt{1 - 0{,}93^2}}{0{,}93} = \dfrac{0{,}3676}{0{,}93} \approx 0{,}395\).
\(Q_C = P \times (\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2) = 6 \times \left(\dfrac{4{,}56}{6} - 0{,}395\right) = 6 \times (0{,}760 - 0{,}395) = 6 \times 0{,}365 \approx \mathbf{2{,}19\ kvar}\)
Il faut installer un condensateur de 2,19 kvar pour relever le facteur de puissance de 0,80 à 0,93.
Un technicien de maintenance énergétique effectue un audit sur une chaufferie collective alimentée en triphasé 400 V. L'installation comporte : un brûleur (\(P_1 = 1{,}5\ \text{kW}\), \(\cos\varphi_1 = 0{,}85\)), deux circulateurs (\(P_2 = 2 \times 0{,}4 = 0{,}8\ \text{kW}\), \(\cos\varphi_2 = 0{,}65\)) et un système de régulation (\(P_3 = 0{,}2\ \text{kW}\), \(\cos\varphi_3 = 1\)).
1. Calculer la puissance active totale \(P_T\) de l'installation.
2. Calculer la puissance réactive de chaque poste, puis la puissance réactive totale \(Q_T\).
3. En déduire la puissance apparente \(S_T\) et le facteur de puissance global \(\cos\varphi_{\text{global}}\).
4. Calculer le courant de ligne \(I\) absorbé par l'ensemble de l'installation.
5. Le gestionnaire du réseau exige \(\cos\varphi \geq 0{,}93\). Calculer la puissance réactive \(Q_C\) du condensateur à installer. En déduire la nouvelle puissance apparente \(S_T'\) et le nouveau courant \(I'\).
6. Calculer le pourcentage de réduction du courant obtenu grâce à la compensation. Expliquer l'intérêt économique pour l'exploitant.
1. \(P_T = 1{,}5 + 0{,}8 + 0{,}2 = \mathbf{2{,}5\ kW}\)
2.
Brûleur : \(\tan\varphi_1 = \dfrac{\sqrt{1-0{,}85^2}}{0{,}85} = \dfrac{0{,}527}{0{,}85} \approx 0{,}620 \Rightarrow Q_1 = 1{,}5 \times 0{,}620 \approx \mathbf{0{,}930\ kvar}\)
Circulateurs : \(\tan\varphi_2 = \dfrac{\sqrt{1-0{,}65^2}}{0{,}65} = \dfrac{0{,}760}{0{,}65} \approx 1{,}169 \Rightarrow Q_2 = 0{,}8 \times 1{,}169 \approx \mathbf{0{,}935\ kvar}\)
Régulation : \(\cos\varphi_3 = 1 \Rightarrow Q_3 = \mathbf{0\ kvar}\)
\(Q_T = 0{,}930 + 0{,}935 + 0 = \mathbf{1{,}865\ kvar}\)
3. \(S_T = \sqrt{2{,}5^2 + 1{,}865^2} = \sqrt{6{,}25 + 3{,}478} = \sqrt{9{,}728} \approx \mathbf{3{,}12\ kVA}\)
\(\cos\varphi_{\text{global}} = \dfrac{2{,}5}{3{,}12} \approx \mathbf{0{,}801}\)
4. \(I = \dfrac{S_T}{\sqrt{3} \times U} = \dfrac{3\,120}{\sqrt{3} \times 400} = \dfrac{3\,120}{692{,}8} \approx \mathbf{4{,}50\ A}\)
5. \(\tan\varphi_{\text{cible}} = \dfrac{\sqrt{1-0{,}93^2}}{0{,}93} \approx 0{,}395\)
\(Q_C = P_T \times (\tan\varphi_{\text{actuel}} - \tan\varphi_{\text{cible}}) = 2{,}5 \times \left(\dfrac{1{,}865}{2{,}5} - 0{,}395\right) = 2{,}5 \times (0{,}746 - 0{,}395) = 2{,}5 \times 0{,}351 \approx \mathbf{0{,}878\ kvar}\)
\(Q_T' = 1{,}865 - 0{,}878 = 0{,}987\ \text{kvar}\)
\(S_T' = \sqrt{2{,}5^2 + 0{,}987^2} = \sqrt{6{,}25 + 0{,}974} = \sqrt{7{,}224} \approx \mathbf{2{,}69\ kVA}\)
\(I' = \dfrac{2\,690}{\sqrt{3} \times 400} \approx \mathbf{3{,}88\ A}\)
6. Réduction : \(\dfrac{4{,}50 - 3{,}88}{4{,}50} \times 100 \approx \mathbf{13{,}8\ \%}\)
Intérêt économique : la réduction du courant diminue les pertes Joule dans les câbles (\(P_J = R \times I^2\)), permet d'utiliser des sections de câbles plus faibles, et évite les pénalités facturées par le fournisseur d'énergie pour un \(\cos\varphi\) insuffisant.
Un technicien en énergies renouvelables compare deux solutions pour chauffer un logement :
Prix du kWh : 0,2276 €.
1. Calculer l'énergie électrique consommée par an pour chaque solution (en kWh).
2. Calculer le coût annuel de fonctionnement pour chaque solution.
3. Calculer la puissance thermique restituée par la pompe à chaleur. Cette puissance est-elle suffisante pour remplacer les convecteurs ?
4. Calculer le courant absorbé par chaque solution (monophasé 230 V). Quelle conséquence sur le dimensionnement du tableau électrique ?
5. Calculer la puissance apparente et la puissance réactive de la solution B. Discuter de l'impact sur l'installation électrique.
1. Durée annuelle : \(t = 10 \times 180 = 1\,800\ \text{h}\)
Solution A : \(W_A = 6 \times 1\,800 = \mathbf{10\,800\ kWh}\)
Solution B : \(W_B = 2{,}2 \times 1\,800 = \mathbf{3\,960\ kWh}\)
2. Solution A : \(\text{Coût}_A = 10\,800 \times 0{,}2276 = \mathbf{2\,458{,}08\ €}\)
Solution B : \(\text{Coût}_B = 3\,960 \times 0{,}2276 = \mathbf{901{,}30\ €}\)
Économie annuelle : \(2\,458{,}08 - 901{,}30 = \mathbf{1\,556{,}78\ €}\)
3. Le COP (Coefficient de Performance) vaut 3 : la PAC restitue 3 fois plus d'énergie thermique qu'elle ne consomme d'énergie électrique.
\(P_{\text{thermique}} = \text{COP} \times P_B = 3 \times 2{,}2 = \mathbf{6{,}6\ kW}\)
La PAC restitue 6,6 kW thermiques, ce qui est supérieur aux 6 kW des convecteurs. Elle est donc suffisante.
4. Solution A : \(I_A = \dfrac{P_A}{U \times \cos\varphi_A} = \dfrac{6\,000}{230 \times 1} \approx \mathbf{26{,}1\ A}\)
Solution B : \(I_B = \dfrac{P_B}{U \times \cos\varphi_B} = \dfrac{2\,200}{230 \times 0{,}82} \approx \mathbf{11{,}7\ A}\)
La PAC nécessite un disjoncteur de 16 A contre 32 A pour les convecteurs. Le tableau électrique est moins sollicité.
5. \(S_B = \dfrac{P_B}{\cos\varphi_B} = \dfrac{2{,}2}{0{,}82} \approx \mathbf{2{,}68\ kVA}\)
\(\sin\varphi_B = \sqrt{1 - 0{,}82^2} = \sqrt{0{,}3276} \approx 0{,}572\)
\(Q_B = S_B \times \sin\varphi_B = 2{,}68 \times 0{,}572 \approx \mathbf{1{,}53\ kvar}\)
La PAC génère de la puissance réactive (1,53 kvar) contrairement aux convecteurs. Si l'installation comporte d'autres moteurs, le \(\cos\varphi\) global peut se dégrader et nécessiter une compensation par condensateur. Malgré cela, l'économie de 1 557 €/an justifie largement l'investissement dans la PAC.
Un atelier de maintenance énergétique est alimenté en triphasé 400 V. L'installation comporte :
1. Calculer \(P_T\), \(Q_T\) et \(S_T\) de l'installation.
2. Calculer le \(\cos\varphi\) global et le courant de ligne.
3. Le fournisseur exige \(\cos\varphi \geq 0{,}93\). Calculer la puissance réactive \(Q_C\) de la batterie de condensateurs à installer.
4. Calculer le nouveau courant de ligne après compensation. En déduire l'économie sur la section des câbles (normatif : 1,5 mm² pour 10 A, 2,5 mm² pour 20 A, 4 mm² pour 25 A, 6 mm² pour 32 A).
1. \(P_T = 6 + 2 + 4 = \mathbf{12\ kW}\)
\(\tan\varphi_1 = \dfrac{\sqrt{1-0{,}72^2}}{0{,}72} = \dfrac{0{,}694}{0{,}72} = 0{,}964 \Rightarrow Q_1 = 6 \times 0{,}964 = 5{,}78\ \text{kvar}\)
\(\tan\varphi_2 = \dfrac{\sqrt{1-0{,}60^2}}{0{,}60} = \dfrac{0{,}8}{0{,}6} = 1{,}333 \Rightarrow Q_2 = 2 \times 1{,}333 = 2{,}67\ \text{kvar}\)
\(Q_3 = 0\ \text{kvar}\)
\(Q_T = 5{,}78 + 2{,}67 + 0 = \mathbf{8{,}45\ kvar}\)
\(S_T = \sqrt{12^2 + 8{,}45^2} = \sqrt{144 + 71{,}4} = \sqrt{215{,}4} \approx \mathbf{14{,}68\ kVA}\)
2. \(\cos\varphi_{\text{global}} = \dfrac{12}{14{,}68} \approx \mathbf{0{,}817}\)
\(I = \dfrac{14\,680}{\sqrt{3} \times 400} = \dfrac{14\,680}{692{,}8} \approx \mathbf{21{,}2\ A}\)
3. \(\tan\varphi_{\text{cible}} = \dfrac{\sqrt{1-0{,}93^2}}{0{,}93} \approx 0{,}395\)
\(Q_C = P_T \times (\tan\varphi_{\text{actuel}} - \tan\varphi_{\text{cible}}) = 12 \times (0{,}704 - 0{,}395) = 12 \times 0{,}309 \approx \mathbf{3{,}71\ kvar}\)
4. \(Q_T' = 8{,}45 - 3{,}71 = 4{,}74\ \text{kvar}\). \(S_T' = \sqrt{12^2 + 4{,}74^2} = \sqrt{144 + 22{,}5} = \sqrt{166{,}5} \approx 12{,}9\ \text{kVA}\).
\(I' = \dfrac{12\,900}{692{,}8} \approx \mathbf{18{,}6\ A}\). Réduction de 21,2 A à 18,6 A. Avant compensation : câble 4 mm² (25 A). Après : câble 2,5 mm² (20 A) suffit. Économie sur le câblage.
Un technicien climatisation intervient sur un groupe froid industriel triphasé 400 V. Les mesures donnent : \(I = 25\ \text{A}\), \(\cos\varphi = 0{,}75\), rendement du compresseur \(\eta = 0{,}90\), COP frigorifique = 2,8.
1. Calculer la puissance apparente \(S\), la puissance active \(P\) et la puissance réactive \(Q\).
2. Calculer la puissance mécanique utile du compresseur.
3. Calculer la puissance frigorifique produite (puissance thermique extraite du local).
4. Le groupe fonctionne 12 h/jour pendant 120 jours/an. Calculer l'énergie consommée et le coût annuel (kWh à 0,18 €).
5. On propose de remplacer ce groupe par un modèle de même puissance avec \(\cos\varphi = 0{,}92\) et COP = 3,5. Calculer les nouvelles valeurs de \(I\), \(Q\) et le coût annuel. Conclure.
1. \(S = \sqrt{3} \times 400 \times 25 = 692{,}8 \times 25 = \mathbf{17{,}32\ kVA}\)
\(P = S \times \cos\varphi = 17{,}32 \times 0{,}75 = \mathbf{12{,}99\ kW}\)
\(Q = S \times \sin\varphi = 17{,}32 \times 0{,}661 = \mathbf{11{,}45\ kvar}\)
2. \(P_{\text{méca}} = \eta \times P = 0{,}90 \times 12{,}99 = \mathbf{11{,}69\ kW}\)
3. \(P_{\text{frigo}} = \text{COP} \times P = 2{,}8 \times 12{,}99 = \mathbf{36{,}4\ kW}\)
4. \(W = 12{,}99 \times 12 \times 120 = \mathbf{18\,706\ kWh}\). Coût : \(18\,706 \times 0{,}18 = \mathbf{3\,367\ €}\)
5. Même \(P_{\text{frigo}} = 36{,}4\ \text{kW}\), donc \(P' = \dfrac{36{,}4}{3{,}5} = 10{,}4\ \text{kW}\).
\(I' = \dfrac{10\,400}{\sqrt{3} \times 400 \times 0{,}92} = \dfrac{10\,400}{637{,}4} \approx \mathbf{16{,}3\ A}\)
\(Q' = \dfrac{10{,}4}{0{,}92} \times \sin(\arccos(0{,}92)) = 11{,}3 \times 0{,}392 = \mathbf{4{,}43\ kvar}\)
Coût : \(10{,}4 \times 12 \times 120 \times 0{,}18 = \mathbf{2\,696\ €}\). Économie annuelle : \(3\,367 - 2\,696 = \mathbf{671\ €}\). Le nouveau groupe réduit le courant de 34 %, la puissance réactive de 61 % et le coût de 20 %.
Un ingénieur thermicien dimensionne le transformateur pour un immeuble de bureaux. L'installation triphasée 400 V comporte :
| Poste | \(P\) (kW) | \(\cos\varphi\) |
|---|---|---|
| Climatisation (3 groupes) | 3 × 8 = 24 | 0,78 |
| Éclairage | 10 | 0,92 |
| Informatique | 6 | 0,98 |
| Ascenseur | 15 | 0,70 |
Coefficient de simultanéité : 0,8.
1. Calculer \(P_T\) et \(Q_T\) de l'installation.
2. Appliquer le coefficient de simultanéité pour obtenir \(P_{\text{dim}}\) et \(Q_{\text{dim}}\).
3. Calculer \(S_{\text{dim}}\). Choisir le transformateur parmi les puissances normalisées : 50 / 63 / 80 / 100 kVA.
4. Quel serait le transformateur nécessaire si on compensait le facteur de puissance à 0,95 ?
1. \(P_T = 24 + 10 + 6 + 15 = \mathbf{55\ kW}\)
\(Q_1 = 24 \times \tan(\arccos(0{,}78)) = 24 \times 0{,}802 = 19{,}25\)
\(Q_2 = 10 \times 0{,}426 = 4{,}26\) ; \(Q_3 = 6 \times 0{,}203 = 1{,}22\) ; \(Q_4 = 15 \times 1{,}020 = 15{,}31\)
\(Q_T = 19{,}25 + 4{,}26 + 1{,}22 + 15{,}31 = \mathbf{40{,}04\ kvar}\)
2. \(P_{\text{dim}} = 55 \times 0{,}8 = \mathbf{44\ kW}\) ; \(Q_{\text{dim}} = 40{,}04 \times 0{,}8 = \mathbf{32{,}03\ kvar}\)
3. \(S_{\text{dim}} = \sqrt{44^2 + 32{,}03^2} = \sqrt{1\,936 + 1\,026} = \sqrt{2\,962} \approx \mathbf{54{,}4\ kVA}\). On choisit le transformateur 63 kVA.
4. Avec \(\cos\varphi = 0{,}95\) : \(S' = \dfrac{44}{0{,}95} \approx 46{,}3\ \text{kVA}\). Un transformateur 50 kVA suffirait. La compensation permet de réduire d'un cran la puissance du transformateur, soit une économie significative à l'achat et à l'exploitation.
Un technicien de maintenance énergétique relève la puissance active d'une installation sur une journée :
| Tranche horaire | \(P\) (kW) | \(\cos\varphi\) |
|---|---|---|
| 0 h – 6 h (nuit) | 5 | 0,95 |
| 6 h – 8 h (démarrage) | 18 | 0,70 |
| 8 h – 12 h (plein régime) | 30 | 0,78 |
| 12 h – 14 h (pause) | 8 | 0,90 |
| 14 h – 18 h (plein régime) | 28 | 0,78 |
| 18 h – 24 h (soirée) | 10 | 0,92 |
1. Calculer l'énergie totale consommée sur 24 h (en kWh).
2. Calculer la puissance apparente maximale \(S_{\max}\) et le courant maximal (triphasé 400 V).
3. À quelle tranche horaire le \(\cos\varphi\) est-il le plus faible ? Proposer une explication.
4. Calculer la puissance réactive pendant la tranche 8 h – 12 h. Quelle puissance de condensateur permettrait de relever le \(\cos\varphi\) à 0,93 sur cette tranche ?
1. \(W = 5 \times 6 + 18 \times 2 + 30 \times 4 + 8 \times 2 + 28 \times 4 + 10 \times 6\)
\(W = 30 + 36 + 120 + 16 + 112 + 60 = \mathbf{374\ kWh}\)
2. \(S_{\max} = \dfrac{P_{\max}}{\cos\varphi} = \dfrac{30}{0{,}78} \approx 38{,}5\ \text{kVA}\). \(I_{\max} = \dfrac{38\,500}{692{,}8} \approx \mathbf{55{,}6\ A}\)
3. Tranche 6 h – 8 h (\(\cos\varphi = 0{,}70\)). Au démarrage, les moteurs (compresseurs, ventilateurs) appellent un fort courant réactif pour magnétiser les bobines. Le \(\cos\varphi\) se dégrade.
4. \(Q_{8\text{-}12} = P \times \tan\varphi = 30 \times \dfrac{\sqrt{1-0{,}78^2}}{0{,}78} = 30 \times 0{,}802 = \mathbf{24{,}1\ kvar}\)
\(Q_C = 30 \times (0{,}802 - 0{,}395) = 30 \times 0{,}407 = \mathbf{12{,}2\ kvar}\)
Un conducteur de travaux doit compenser le facteur de puissance d'une installation triphasée 400 V comportant deux moteurs :
Objectif : \(\cos\varphi \geq 0{,}93\). Prix d'un condensateur : 15 €/kvar.
Solution A – Compensation individuelle :
1. Calculer \(Q_{C1}\) et \(Q_{C2}\) nécessaires pour compenser chaque moteur individuellement à \(\cos\varphi = 0{,}93\).
2. Calculer la puissance totale de condensateurs \(Q_{C,A} = Q_{C1} + Q_{C2}\) et son coût.
Solution B – Compensation globale :
3. Calculer \(P_T\), \(Q_T\) puis \(\cos\varphi_{\text{global}}\) quand les deux moteurs fonctionnent.
4. Calculer \(Q_{C,B}\) pour compenser globalement à 0,93 et son coût.
5. Comparer les deux solutions. Quels sont les avantages et inconvénients de chacune ?
1. \(\tan(\arccos(0{,}72)) = 0{,}964\) ; \(\tan(\arccos(0{,}93)) = 0{,}395\)
\(Q_{C1} = 11 \times (0{,}964 - 0{,}395) = 11 \times 0{,}569 = \mathbf{6{,}26\ kvar}\)
\(\tan(\arccos(0{,}68)) = 1{,}078\)
\(Q_{C2} = 5{,}5 \times (1{,}078 - 0{,}395) = 5{,}5 \times 0{,}683 = \mathbf{3{,}76\ kvar}\)
2. \(Q_{C,A} = 6{,}26 + 3{,}76 = \mathbf{10{,}02\ kvar}\). Coût : \(10{,}02 \times 15 = \mathbf{150{,}30\ €}\)
3. \(P_T = 11 + 5{,}5 = 16{,}5\ \text{kW}\)
\(Q_1 = 11 \times 0{,}964 = 10{,}60\ \text{kvar}\) ; \(Q_2 = 5{,}5 \times 1{,}078 = 5{,}93\ \text{kvar}\)
\(Q_T = 10{,}60 + 5{,}93 = 16{,}53\ \text{kvar}\)
\(\cos\varphi_{\text{global}} = \dfrac{16{,}5}{\sqrt{16{,}5^2 + 16{,}53^2}} = \dfrac{16{,}5}{23{,}36} \approx \mathbf{0{,}706}\)
4. \(Q_{C,B} = 16{,}5 \times \left(\dfrac{16{,}53}{16{,}5} - 0{,}395\right) = 16{,}5 \times (1{,}002 - 0{,}395) = 16{,}5 \times 0{,}607 = \mathbf{10{,}02\ kvar}\). Coût : \(10{,}02 \times 15 = \mathbf{150{,}30\ €}\)
5. Les deux solutions coûtent le même prix en condensateurs (10 kvar au total). Cependant :