Devoir surveillé – Chapitre 9 — Sujet B

1. Le système est le centre de l'outil, assimilé à un point matériel. Le référentiel est le référentiel lunaire : le sol de la Lune et la caméra fixe, supposé galiléen pendant la durée du lancer. (0,5 pt système, 0,5 pt référentiel)

2. Un carreau représente \(0{,}40\) m sur les deux axes.
\(M_2\,(1{,}60\ ;\ 2{,}80)\) m ; \(M_3\,(2{,}40\ ;\ 3{,}60)\) m ; \(M_4\,(3{,}20\ ;\ 4{,}00)\) m. (0,5 pt par point)

3. La méthode centrée utilise les points qui encadrent \(M_3\), soit \(M_2\) et \(M_4\), séparés de \(2\tau = 1{,}0\) s :
\(v_{x,3}=\dfrac{x_4-x_2}{2\tau}=\dfrac{3{,}20-1{,}60}{1{,}0}=1{,}6\) m·s\(^{-1}\) ;
\(v_{y,3}=\dfrac{y_4-y_2}{2\tau}=\dfrac{4{,}00-2{,}80}{1{,}0}=1{,}2\) m·s\(^{-1}\).
D'où \(v_3=\sqrt{1{,}6^2+1{,}2^2}=\sqrt{2{,}56+1{,}44}=\sqrt{4{,}00}=2{,}0\) m·s\(^{-1}\). (0,5 pt méthode, 1 pt coordonnées, 0,5 pt norme)

4. À l'échelle demandée, \(1{,}6\) m·s\(^{-1}\) occupe \(2\) carreaux et \(1{,}2\) m·s\(^{-1}\) occupe \(1{,}5\) carreau. Le vecteur part de \(M_3\), avance de 2 carreaux vers la droite et de 1,5 carreau vers le haut. On vérifie qu'il est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement. (0,5 pt origine en \(M_3\), 1 pt tracé à l'échelle)

5. Il faut d'abord les vitesses aux points voisins :
\(v_{y,2}=\dfrac{y_3-y_1}{2\tau}=\dfrac{3{,}60-1{,}60}{1{,}0}=2{,}0\) m·s\(^{-1}\) et \(v_{y,4}=\dfrac{y_5-y_3}{2\tau}=\dfrac{4{,}00-3{,}60}{1{,}0}=0{,}4\) m·s\(^{-1}\) ; la coordonnée \(v_x\) vaut \(1{,}6\) m·s\(^{-1}\) en tout point.
Puis \(a_{x,3}=\dfrac{1{,}6-1{,}6}{1{,}0}=0\) et \(a_{y,3}=\dfrac{v_{y,4}-v_{y,2}}{2\tau}=\dfrac{0{,}4-2{,}0}{1{,}0}=-1{,}6\) m·s\(^{-2}\).
Donc \(\vec a_3\,(0\ ;\ -1{,}6)\) m·s\(^{-2}\) : le vecteur est vertical, dirigé vers le bas, de valeur \(1{,}6\) m·s\(^{-2}\).
Écart relatif avec \(g_{\text{L}}=1{,}62\) m·s\(^{-2}\) : \(\dfrac{|1{,}60-1{,}62|}{1{,}62}\approx1{,}2\ \%\). L'accord est excellent : la simulation reproduit bien une chute libre lunaire, et l'écart s'explique par l'arrondi des positions au demi-carreau. (1 pt vitesses voisines, 1 pt coordonnées de \(\vec a_3\), 0,5 pt écart et commentaire)

6. Sur Terre, l'accélération serait \(g_{\text{T}}=9{,}81\) m·s\(^{-2}\), soit \(\dfrac{9{,}81}{1{,}62}\approx6\) fois plus grande. Le pointage donne \(1{,}6\) m·s\(^{-2}\) : la simulation est bien lunaire. Concrètement, un outil lancé avec la même vitesse initiale reste en l'air six fois plus longtemps sur la Lune et va six fois plus loin — c'est ce qui rendait les gestes des astronautes si déroutants. (0,5 pt rapport chiffré, 0,5 pt conclusion)

7. Non. À l'air libre, la plume subirait une force de frottement de l'air non négligeable devant son poids, alors que celle subie par le marteau resterait négligeable : la plume tomberait beaucoup plus lentement. L'expérience ne réussit sur la Lune que parce qu'il n'y a pratiquement pas d'atmosphère. (0,5 pt)

1. La trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse est constante : le mouvement est circulaire uniforme. Le vecteur vitesse n'est pas constant : sa valeur ne change pas, mais sa direction change en permanence puisqu'il reste tangent au cercle. Un vecteur n'est constant que si sa direction, son sens et sa valeur le sont tous les trois. (0,5 pt nom, 1 pt justification)

2. Le satellite parcourt la circonférence \(2\pi r\) pendant la durée \(T_{\text{s}}\) :
\(v=\dfrac{2\pi r}{T_{\text{s}}}=\dfrac{2\pi\times4{,}2164\times10^{7}}{8{,}6164\times10^{4}}=\dfrac{2{,}6492\times10^{8}}{8{,}6164\times10^{4}}\approx3{,}07\times10^{3}\) m·s\(^{-1}\), soit environ \(3{,}07\) km·s\(^{-1}\) ou \(11\,100\) km·h\(^{-1}\). (0,5 pt expression, 1 pt calcul, 0,5 pt unité et chiffres significatifs)

3. \(a=\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{(3{,}07\times10^{3})^2}{4{,}2164\times10^{7}}=\dfrac{9{,}42\times10^{6}}{4{,}2164\times10^{7}}\approx0{,}224\) m·s\(^{-2}\).
Le vecteur est radial et centripète : dirigé de \(S\) vers le centre \(T\) de la Terre. (1 pt calcul, 0,5 pt direction, 0,5 pt sens)

4. \(\dfrac{a}{g_{\text{T}}}=\dfrac{0{,}224}{9{,}81}\approx0{,}023\), soit environ \(2{,}3\ \%\) : l'accélération du satellite vaut à peine plus de deux centièmes de celle d'un objet en chute libre au sol. C'est cohérent : le satellite est à environ \(36\,000\) km d'altitude, six fois et demie plus loin du centre de la Terre qu'un objet posé au sol, et l'attraction terrestre y est donc bien plus faible. (1 pt rapport chiffré, 0,5 pt commentaire)

5. \(a_t=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\approx\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{3{,}10\times10^{3}-3{,}07\times10^{3}}{600}=\dfrac{30}{600}=0{,}050\) m·s\(^{-2}\), dirigée dans le sens du mouvement puisque la vitesse augmente. (0,5 pt expression, 1 pt calcul et sens)

6. Au début de la manœuvre, \(a_n=\dfrac{v^2}{r}=0{,}224\) m·s\(^{-2}\) — la valeur de la partie A. Les deux composantes étant perpendiculaires :
\(a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}=\sqrt{0{,}050^2+0{,}224^2}=\sqrt{0{,}0025+0{,}0502}=\sqrt{0{,}0527}\approx0{,}230\) m·s\(^{-2}\).
Non, le vecteur n'est plus dirigé vers le centre : il ne le serait que si \(a_t\) était nulle, c'est-à-dire si le mouvement restait uniforme. Ici \(a_t\neq0\), donc \(\vec a\) est incliné vers l'avant. L'inclinaison reste faible — \(a_t\) est environ quatre fois plus petite que \(a_n\), soit un écart d'environ \(13°\) — ce qui explique que la valeur de l'accélération change à peine, de \(0{,}224\) à \(0{,}230\) m·s\(^{-2}\). (0,5 pt \(a_n\), 0,5 pt norme, 0,5 pt justification)

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