Chapitre 5 – Mouvement et trajectoire
Physique-Chimie • 2nde Bac Pro • Exercices d'application
Dernière mise à jour : 20 octobre 2026
🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
- Définir un référentiel et comprendre la relativité du mouvement
- Distinguer les types de trajectoires (rectiligne, circulaire, quelconque)
- Calculer une vitesse moyenne à partir d’une distance et d’une durée
- Convertir des vitesses entre m/s et km/h
- Caractériser un mouvement à partir d’une chronophotographie
- Déterminer la fréquence de rotation et la période d’un mouvement circulaire
- Utiliser la relation entre vitesse linéaire, diamètre et fréquence de rotation
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Un exercice par page, avec des lignes de réponse. Les trois séries existent séparément, pour travailler à son rythme.
- Série 1 — exercices guidés (16 p.) · avec les corrigés
- Série 2 — exercices d'application (16 p.) · avec les corrigés
- Série 3 — approfondissement (16 p.) · avec les corrigés
- Les 45 exercices réunis (47 p.) · avec les corrigés
Exercices guidés pas à pas
1. Un passager est assis dans un bus en marche. Quel est le système étudié ? Quel point de ce système suit-on ?
2. Décrire le mouvement de ce point :
- par rapport au chauffeur du bus ;
- par rapport à la route.
3. Une roue de véhicule tourne. Décrire le mouvement :
- du centre de la roue par rapport à la route ;
- d'un point sur le bord extérieur de la roue par rapport au centre de la roue ;
- d'un point sur le bord extérieur de la roue par rapport à la route.
4. Nommer les trois principaux référentiels utilisés en sciences.
1. Le système étudié est le passager. On peut suivre n'importe quel point de son corps ; on choisit en général un point simple à repérer, par exemple le sommet de sa tête. Tant que le système et le point ne sont pas précisés, la question du mouvement n'a pas de sens.
2.
– Par rapport au chauffeur (référentiel du bus) : le passager est immobile.
– Par rapport à la route (référentiel terrestre) : le passager est en mouvement (il avance avec le bus).
3.
– Centre de la roue / route : mouvement rectiligne (se déplace en ligne droite).
– Point sur le bord / centre de la roue : mouvement circulaire (autour du centre).
– Point sur le bord / route : mouvement cycloïdal (courbe complexe, mélange avancement + rotation).
4. Référentiel terrestre (lié à la Terre), référentiel géocentrique (lié au centre de la Terre), référentiel héliocentrique (lié au centre du Soleil).
1. Pour chaque situation, nommer et décrire le type de trajectoire :
| Situation | Type de trajectoire | Description |
|---|---|---|
| Un piston de moteur | ||
| Un point sur le bord d'une roue (par rapport au centre) | ||
| Une voiture sur autoroute droite | ||
| Une voiture qui prend un virage |
2. Dans le système bielle-manivelle d'un moteur, quelle est la trajectoire de l'extrémité de la manivelle ?
| Situation | Type | Description |
|---|---|---|
| Piston de moteur | Rectiligne | Va-et-vient sur une droite verticale ou horizontale |
| Point sur bord de roue / centre | Circulaire | Cercle de rayon = rayon de la roue |
| Voiture sur autoroute droite | Rectiligne | Ligne droite |
| Voiture en virage | Courbe (arc de cercle) | Portion de cercle ou courbe |
2. L'extrémité de la manivelle décrit une trajectoire circulaire (cercle de rayon = longueur de la manivelle).
1. Une voiture parcourt 120 km en 1 h 30 min. Calculer sa vitesse moyenne en km/h.
Calcul amorcé : \(t = 1\,\text{h}\,30\,\text{min} = \ldots\,\text{h}\) puis \(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{120}{\ldots} = \ldots\,\text{km/h}\)
2. Convertir cette vitesse en m/s.
3. Un camion roule à 90 km/h pendant 2 h. Calculer la distance parcourue.
4. Un piéton se déplace à 5 km/h. Combien de temps met-il pour parcourir 2 km ?
1. \(t = 1\,\text{h}\,30\,\text{min} = 1{,}5\,\text{h}\) ; \(v = \dfrac{120}{1{,}5} = 80\,\text{km/h}\)
2. \(80\,\text{km/h} = \dfrac{80}{3{,}6} \approx 22{,}2\,\text{m/s}\)
3. \(d = v \times t = 90 \times 2 = 180\,\text{km}\)
4. \(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\,\text{h} = 24\,\text{min}\)
Une bille roule sur un plan. On prend des photos toutes les \(\Delta t = 0{,}1\,\text{s}\). Les positions successives sont :
| Position | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Abscisse (cm) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 |
1. Calculer la distance entre la position 1 et la position 2 :
\(d_{1-2} = 3 - 0 = \ldots\,\text{cm}\)
2. Les écarts sont-ils égaux ? Cocher : ☐ Oui ☐ Non
Donc le mouvement est : ☐ Uniforme ☐ Accéléré ☐ Ralenti
3. Calculer la vitesse entre les positions 1 et 2. Formule : \(v = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{3\,\text{cm}}{0{,}1\,\text{s}} = \ldots\,\text{cm/s}\)
4. Convertir en m/s : \(\ldots\,\text{cm/s} \div 100 = \ldots\,\text{m/s}\)
1. \(d_{1-2} = 3\,\text{cm}\). De même pour tous les intervalles : 3 cm chacun.
2. Oui, les écarts sont égaux → mouvement rectiligne uniforme.
3. \(v = \dfrac{3}{0{,}1} = 30\,\text{cm/s}\)
4. \(30\,\text{cm/s} \div 100 = 0{,}30\,\text{m/s}\)
Chaque vecteur vitesse a la même longueur : la vitesse est constante (mouvement uniforme).
Un apprenti plombier chauffagiste pousse un chariot de matériel (tubes de cuivre, raccords) sur \(d = 18\,\text{m}\) dans un local technique, à une vitesse de \(v = 0{,}9\,\text{m/s}\).
On divise la distance par la vitesse pour trouver la durée.
1. Compléter et calculer :
\(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\,\text{s}\)
2. Convertir la vitesse en km/h. Formule : \(v(\text{km/h}) = v(\text{m/s}) \times 3{,}6 = 0{,}9 \times 3{,}6 = \ldots\,\text{km/h}\)
3. Le chariot fait 8 allers-retours (16 trajets) dans la journée. On prévoit 5 s de préparation avant chaque trajet. Calculer le temps total en secondes, puis en minutes :
Durée d'un trajet, préparation comprise = \(5 + \ldots = \ldots\,\text{s}\)
Temps total (s) = \(16 \times \ldots = \ldots\,\text{s}\)
Temps total (min) = \(\ldots \div 60 = \ldots\,\text{min}\)
1. \(t = \dfrac{18}{0{,}9} = 20\,\text{s}\)
2. \(v = 0{,}9 \times 3{,}6 = 3{,}24\,\text{km/h}\)
3. Chaque trajet dure \(5 + 20 = 25\,\text{s}\) (préparation + déplacement). Temps total = \(16 \times 25 = 400\,\text{s}\), soit \(400 \div 60 \approx 6{,}7\,\text{min}\).
La tête d'une imprimante 3D effectue \(n = 150\,\text{cycles/min}\) sur un rail horizontal (un cycle = un aller-retour complet). La course aller est de \(c = 20\,\text{cm} = 0{,}20\,\text{m}\).
1. Convertir les cycles/min en cycles/s : \(f = n \div 60\)
2. Distance par cycle (aller-retour) : \(d_{cycle} = 2 \times c\)
3. Vitesse : \(v = d_{cycle} \times f\)
1. \(f = 150 \div 60 = \ldots\,\text{cycles/s}\)
2. \(d_{cycle} = 2 \times 0{,}20 = \ldots\,\text{m}\)
3. \(v = \ldots \times \ldots = \ldots\,\text{m/s}\)
4. La tête s'arrête à chaque extrémité du rail. Sur un aller, son mouvement est-il :
☐ uniforme ☐ rectiligne accéléré puis ralenti
1. \(f = 150 \div 60 = 2{,}5\,\text{cycles/s}\)
2. \(d_{cycle} = 2 \times 0{,}20 = 0{,}40\,\text{m}\)
3. \(v = 0{,}40 \times 2{,}5 = 1{,}0\,\text{m/s}\). Il s'agit de la vitesse moyenne sur un cycle.
4. Mouvement rectiligne accéléré puis ralenti : la tête part à l'arrêt, accélère, puis ralentit jusqu'à s'arrêter à l'autre extrémité.
La plaque signalétique d'une scie circulaire indique : 3 000 tr/min.
1. Compléter le calcul de la fréquence en tr/s :
\(n = \dfrac{N}{60} = \dfrac{3\,000}{60} = \ldots\,\text{tr/s}\)
2. Compléter le calcul de la période :
\(T = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{\ldots} = \ldots\,\text{s}\)
3. La lame fait un tour en combien de millisecondes ? Formule : \(\ldots\,\text{s} \times 1\,000 = \ldots\,\text{ms}\)
4. Cocher : la trajectoire d'une dent de la lame est :
☐ Rectiligne ☐ Circulaire ☐ Quelconque
1. \(n = 3\,000 / 60 = 50\,\text{tr/s}\)
2. \(T = 1 / 50 = 0{,}02\,\text{s}\)
3. \(0{,}02 \times 1\,000 = 20\,\text{ms}\)
4. ☑ Circulaire (chaque dent tourne autour de l'axe de la lame).
Bien vérifier : \(d\) en mètres, \(n\) en tr/s.
La lame de scie circulaire de l'exercice 1-7 a un diamètre \(d = 25\,\text{cm}\).
1. Convertir le diamètre en mètres :
\(d = 25\,\text{cm} = \ldots\,\text{m}\)
2. Compléter le calcul de la vitesse linéaire en bord de lame :
\(v = \pi \times \ldots \times \ldots = \ldots\,\text{m/s}\)
3. Convertir en km/h : \(v = \ldots \times 3{,}6 = \ldots\,\text{km/h}\)
4. Comparer cette vitesse à celle d'une voiture en ville (50 km/h). Est-ce plus rapide ?
1. \(d = 25\,\text{cm} = 0{,}25\,\text{m}\)
2. \(v = \pi \times 0{,}25 \times 50 \approx 39{,}3\,\text{m/s}\)
3. \(v \approx 39{,}3 \times 3{,}6 \approx 141\,\text{km/h}\)
4. Oui, c'est presque 3 fois plus rapide qu'une voiture en ville. Cela montre la dangerosité de la scie circulaire.
Vitesse de l'engin : \(v = \pi \times d \times n\)
Un vélo roule sans glisser. Ses roues ont un diamètre \(d = 70\,\text{cm}\) et tournent à \(N = 180\,\text{tr/min}\).
1. Convertir en tr/s : \(n = \dfrac{180}{60} = \ldots\,\text{tr/s}\)
2. Convertir le diamètre en m : \(d = 70\,\text{cm} = \ldots\,\text{m}\)
3. Calculer la distance parcourue en un tour de roue : \(\pi \times \ldots = \ldots\,\text{m}\)
4. Calculer la vitesse du vélo : \(v = \pi \times \ldots \times \ldots = \ldots\,\text{m/s}\)
5. Convertir en km/h.
1. \(n = 180 / 60 = 3\,\text{tr/s}\)
2. \(d = 0{,}70\,\text{m}\)
3. \(\pi \times 0{,}70 \approx 2{,}20\,\text{m}\). Le vélo avance d'environ 2,20 m à chaque tour de roue.
4. \(v = \pi \times 0{,}70 \times 3 \approx 6{,}60\,\text{m/s}\)
5. \(v \approx 6{,}60 \times 3{,}6 \approx 23{,}8\,\text{km/h}\). Cette valeur correspond à une allure soutenue à vélo.
• m/s → km/h : multiplier par 3,6
• km/h → m/s : diviser par 3,6
Compléter le tableau suivant :
| Situation | Vitesse donnée | Conversion |
|---|---|---|
| Piéton | 5 km/h | \(5 \div 3{,}6 = \ldots\) m/s |
| Cycliste | 4,2 m/s | \(4{,}2 \times 3{,}6 = \ldots\) km/h |
| Voiture en ville | 50 km/h | \(50 \div 3{,}6 = \ldots\) m/s |
| TGV | 83,3 m/s | \(83{,}3 \times 3{,}6 = \ldots\) km/h |
| Avion | 900 km/h | \(900 \div 3{,}6 = \ldots\) m/s |
1. Compléter les conversions ci-dessus.
2. Classer ces mobiles du plus lent au plus rapide.
1.
| Situation | Vitesse donnée | Conversion |
|---|---|---|
| Piéton | 5 km/h | \(5 \div 3{,}6 \approx 1{,}39\) m/s |
| Cycliste | 4,2 m/s | \(4{,}2 \times 3{,}6 \approx 15{,}1\) km/h |
| Voiture en ville | 50 km/h | \(50 \div 3{,}6 \approx 13{,}9\) m/s |
| TGV | 83,3 m/s | \(83{,}3 \times 3{,}6 \approx 300\) km/h |
| Avion | 900 km/h | \(900 \div 3{,}6 = 250\) m/s |
2. Du plus lent au plus rapide : piéton (5 km/h) < cycliste (15,1 km/h) < voiture (50 km/h) < TGV (300 km/h) < avion (900 km/h).
Un coureur fait un tour de piste d'athlétisme. La piste est composée de deux lignes droites et de deux virages en demi-cercle. On étudie le coureur, et on suit un point précis : le dossard fixé sur son torse.
1. Quel est le type de trajectoire du dossard dans les lignes droites ?
☐ Rectiligne ☐ Circulaire ☐ Quelconque
2. Quel est le type de trajectoire dans les virages ?
☐ Rectiligne ☐ Circulaire ☐ Quelconque
3. Sur l'ensemble du tour, la trajectoire est-elle rectiligne, circulaire ou quelconque ?
4. Le coureur fait le tour (400 m) en 60 s. Calculer sa vitesse moyenne :
\(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) m/s
5. Convertir en km/h : \(\ldots \times 3{,}6 = \ldots\) km/h
1. ☑ Rectiligne dans les lignes droites.
2. ☑ Circulaire (demi-cercle) dans les virages.
3. Sur l'ensemble du tour, la trajectoire n'est ni une droite ni un cercle : elle est quelconque (on dit aussi curviligne). C'est le troisième type prévu par le programme, à côté de rectiligne et circulaire.
Remarque : si l'on suivait non pas le dossard mais le talon du coureur, la trajectoire serait tout autre. C'est pourquoi on précise toujours le point que l'on suit.
4. \(v = \dfrac{400}{60} \approx 6{,}67\) m/s
5. \(6{,}67 \times 3{,}6 = 24\) km/h
Sur l'ensemble du tour, la trajectoire combine des portions rectilignes et circulaires : elle est dite quelconque.
Un ascenseur monte du rez-de-chaussée au 3e étage. La hauteur totale est \(d = 9\,\text{m}\). Il met \(t = 12\,\text{s}\) pour effectuer le trajet.
1. Délimiter le système : qu'étudie-t-on exactement, la cabine ou le câble qui la tire ? Quel point suit-on ?
2. Quel est le type de trajectoire de ce point ?
☐ Rectiligne ☐ Circulaire ☐ Quelconque
3. Dans quel référentiel décrit-on ce mouvement ?
4. Calculer la vitesse moyenne :
\(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) m/s
5. En réalité, l'ascenseur accélère au départ et ralentit à l'arrivée. Son mouvement est-il uniforme ?
1. Le système est la cabine — c'est elle qui transporte les passagers. Le câble, lui, s'enroule sur une poulie : ses points n'ont pas tous le même mouvement. On suit un point de la cabine, par exemple un angle du plancher.
2. ☑ Rectiligne : ce point se déplace en ligne droite verticale.
3. Référentiel terrestre (le bâtiment).
4. \(v = \dfrac{9}{12} = 0{,}75\) m/s
5. Non, le mouvement n'est pas uniforme. L'ascenseur est d'abord accéléré (au démarrage), puis uniforme (au milieu), puis ralenti (avant l'arrêt). La vitesse de 0,75 m/s est une vitesse moyenne.
Un élève parcourt le trajet domicile-lycée à vélo. La distance est \(d = 3{,}6\,\text{km}\) et il met \(t = 15\,\text{min}\).
1. Convertir la durée en heures : \(t(\text{h}) = t(\text{min}) \div 60\)
2. Calculer la vitesse en km/h : \(v = d / t\)
3. Convertir en m/s : \(v(\text{m/s}) = v(\text{km/h}) \div 3{,}6\)
1. Convertir la durée en heures : \(t = 15 \div 60 = \ldots\) h
2. Calculer la vitesse en km/h : \(v = \dfrac{3{,}6}{\ldots} = \ldots\) km/h
3. Convertir en m/s : \(\ldots \div 3{,}6 = \ldots\) m/s
4. Le retour est plus rapide car la route descend : l'élève met 10 min. Calculer la vitesse moyenne du retour en km/h.
5. Calculer la vitesse moyenne sur l'aller-retour complet (distance totale et durée totale).
1. \(t = 15 \div 60 = 0{,}25\) h
2. \(v = \dfrac{3{,}6}{0{,}25} = 14{,}4\) km/h
3. \(14{,}4 \div 3{,}6 = 4\) m/s
4. \(t_{retour} = 10/60 \approx 0{,}167\) h. \(v_{retour} = 3{,}6 / 0{,}167 = 21{,}6\) km/h
5. Distance totale = \(3{,}6 \times 2 = 7{,}2\) km. Durée totale = \(15 + 10 = 25\) min = 0,417 h. \(v_{moy} = 7{,}2 / 0{,}417 \approx 17{,}3\) km/h. (Ce n'est pas la moyenne de 14,4 et 21,6 !)
Les plaques signalétiques de trois machines d'une chaufferie indiquent leur vitesse de rotation \(N\) en tours par minute (tr/min). Il faut la convertir en fréquence de rotation \(n\), en tours par seconde, avant tout calcul.
Fréquence de rotation : \( n = \dfrac{N\,(\text{tr/min})}{60} \) (en tr/s)
Période de rotation (durée d'un tour) : \( T = \dfrac{1}{n} \) (en s)
| Machine | \(N\) (tr/min) | \(n = N/60\) (tr/s) | \(T = 1/n\) |
|---|---|---|---|
| Circulateur de chauffage (fait en exemple) | 2 400 | \(2\,400/60 = \) 40 | \(1/40 = 0{,}025\) s = 25 ms |
| Ventilateur de pompe à chaleur | 1 800 | \(1\,800/60 = \) …… | \(1/\ldots = \ldots\) s ≈ …… ms |
| Extracteur de ventilation | 900 | \(900/60 = \) …… | \(1/\ldots = \ldots\) s ≈ …… ms |
1. Compléter les deux dernières lignes du tableau (arrondir les périodes au dixième de milliseconde).
2. Quelle machine fait le plus de tours en une seconde ? Quelle machine a la période la plus longue ?
3. Combien de tours l'extracteur de ventilation effectue-t-il en une heure ? \( 900 \times 60 = \ldots \) tours.
1. Ventilateur de pompe à chaleur : \( n = \dfrac{1\,800}{60} = \mathbf{30\ \text{tr/s}} \) et \( T = \dfrac{1}{30} \approx 0{,}0333\ \text{s} \approx \mathbf{33{,}3\ ms} \).
Extracteur de ventilation : \( n = \dfrac{900}{60} = \mathbf{15\ \text{tr/s}} \) et \( T = \dfrac{1}{15} \approx 0{,}0667\ \text{s} \approx \mathbf{66{,}7\ ms} \).
2. Le circulateur fait le plus de tours par seconde (40 tr/s). L'extracteur a la période la plus longue (66,7 ms) : c'est lui qui tourne le moins vite, donc chacun de ses tours dure le plus longtemps.
3. \( 900 \times 60 = \mathbf{54\,000\ \text{tours}} \) en une heure.
La même relation permet de calculer trois grandeurs différentes, selon celle que l'on cherche. Attention : dans ces trois cas, les durées sont d'abord converties en secondes.
\( v = \dfrac{d}{\Delta t} \) (je cherche la vitesse) • \( d = v \times \Delta t \) (je cherche la distance) • \( \Delta t = \dfrac{d}{v} \) (je cherche la durée)
Conversion : \( v(\text{km/h}) = v(\text{m/s}) \times 3{,}6 \)
| Étape du trajet | Ce que l'on connaît | Ce que l'on cherche |
|---|---|---|
| a. À pied jusqu'à l'arrêt | \(d = 450\) m et \(\Delta t = 6\) min | la vitesse \(v\) |
| b. En tramway | \(v = 8{,}0\) m/s et \(\Delta t = 3\) min | la distance \(d\) |
| c. Le retour à vélo | \(d = 3\,000\) m et \(v = 5{,}0\) m/s | la durée \(\Delta t\) |
1. Cas a : convertir la durée, puis calculer la vitesse.
\( \Delta t = 6 \times 60 = \ldots \) s puis \( v = \dfrac{450}{\ldots} = \ldots \) m/s.
2. Cas b : convertir la durée, puis calculer la distance.
\( \Delta t = 3 \times 60 = \ldots \) s puis \( d = 8{,}0 \times \ldots = \ldots \) m.
3. Cas c : calculer la durée en secondes, puis la convertir en minutes.
\( \Delta t = \dfrac{3\,000}{5{,}0} = \ldots \) s, soit …… min.
4. Convertir les trois vitesses en km/h, puis classer les trois modes de déplacement du plus lent au plus rapide.
1. \( \Delta t = 6 \times 60 = \mathbf{360\ s} \) puis \( v = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{450}{360} = \mathbf{1{,}25\ m/s} \).
2. \( \Delta t = 3 \times 60 = \mathbf{180\ s} \) puis \( d = v \times \Delta t = 8{,}0 \times 180 = \mathbf{1\,440\ m} \) (soit 1,44 km).
3. \( \Delta t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{3\,000}{5{,}0} = \mathbf{600\ s} \), soit \( 600 \div 60 = \mathbf{10\ min} \).
4. À pied : \( 1{,}25 \times 3{,}6 = \mathbf{4{,}5\ km/h} \). À vélo : \( 5{,}0 \times 3{,}6 = \mathbf{18\ km/h} \). En tramway : \( 8{,}0 \times 3{,}6 = \mathbf{28{,}8\ km/h} \).
Classement du plus lent au plus rapide : marche (4,5 km/h) < vélo (18 km/h) < tramway (28,8 km/h). Ces valeurs sont réalistes : un piéton marche à environ 5 km/h.
Exercices d'application
Un vaisseau s'approche d'une station spatiale en suivant une trajectoire rectiligne. Dans le référentiel de la station, on relève sa position toutes les \(\Delta t = 2{,}0\,\text{s}\).
| Position | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Distance parcourue depuis le premier relevé (m) | 0 | 12 | 21 | 27 | 30 |
1. Calculer les distances entre positions successives.
2. Comment évoluent ces distances ? En déduire la nature du mouvement.
3. Calculer la vitesse moyenne du vaisseau entre les positions 1 et 2.
4. Calculer sa vitesse moyenne entre les positions 4 et 5, puis comparer les deux valeurs.
1. Distances : 1→2 : 12 m ; 2→3 : 9 m ; 3→4 : 6 m ; 4→5 : 3 m.
2. Les distances parcourues pendant une même durée diminuent : le vaisseau ralentit. Son mouvement est rectiligne uniformément ralenti, puisque les écarts diminuent régulièrement de 3 m.
3. \(v_{1-2} = \dfrac{12}{2{,}0} = 6{,}0\,\text{m/s}\)
4. \(v_{4-5} = \dfrac{3}{2{,}0} = 1{,}5\,\text{m/s}\). La seconde valeur est quatre fois plus faible : le vaisseau a bien ralenti à l'approche de la station.
Δt étant le même entre deux relevés, il suffit de comparer les écarts : ils se réduisent, donc le vaisseau ralentit.
Pour tester un mini-rover, un groupe mesure cinq fois la durée nécessaire pour parcourir une piste rectiligne de \(3{,}0\,\text{m}\).
| Essai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Durée (s) | 7,4 | 7,6 | 7,5 | 7,7 | 7,3 |
1. Calculer la durée moyenne des cinq essais.
2. En déduire la vitesse moyenne du rover en m/s, puis en km/h.
3. Calculer l'écart entre la durée la plus longue et la durée la plus courte. Pourquoi est-il utile de répéter la mesure ?
4. À la même vitesse, quelle durée faut-il prévoir pour parcourir \(12\,\text{m}\) ?
1. \(\Delta t_{moy} = \dfrac{7{,}4+7{,}6+7{,}5+7{,}7+7{,}3}{5} = \dfrac{37{,}5}{5} = 7{,}5\,\text{s}\)
2. \(v_{moy} = \dfrac{3{,}0}{7{,}5} = 0{,}40\,\text{m/s}\), soit \(0{,}40 \times 3{,}6 = 1{,}44\,\text{km/h}\).
3. \(7{,}7-7{,}3 = 0{,}4\,\text{s}\). Répéter la mesure limite l'influence du déclenchement du chronomètre et permet d'obtenir une valeur moyenne plus représentative.
4. \(\Delta t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{12}{0{,}40} = 30\,\text{s}\).
Dans un circuit de traitement d'eau, le piston d'une pompe doseuse effectue \(n = 180\,\text{cycles/min}\) — un cycle correspond à un aller-retour complet. La course du piston (aller simple) est \(c = 4{,}0\,\text{cm} = 0{,}040\,\text{m}\).
Distance par cycle : \(d_{cycle} = 2 \times c\)
Vitesse moyenne : \(v_{moy} = d_{cycle} \times f\) où \(f\) est la fréquence en cycles/s.
1. Convertir \(n = 180\,\text{cycles/min}\) en cycles/s (fréquence \(f\)).
2. Calculer la distance parcourue par le piston en un cycle.
3. Calculer la vitesse moyenne du piston sur un cycle.
4. Le piston s'arrête aux deux extrémités de sa course. Quelle est la nature de son mouvement sur un aller ?
1. \(f = \dfrac{180}{60} = 3{,}0\,\text{cycles/s}\)
2. \(d_{cycle} = 2 \times 0{,}040 = 0{,}080\,\text{m}\)
3. \(v_{moy} = 0{,}080 \times 3{,}0 = 0{,}24\,\text{m/s}\)
4. Le mouvement est rectiligne accéléré puis ralenti : la vitesse est nulle au départ, augmente, puis diminue jusqu'à zéro en fin d'aller.
Une balle roule et accélère. Des photos sont prises à intervalles \(\Delta t = 0{,}05\,\text{s}\). Les distances entre positions consécutives sont :
| Intervalle | 1→2 | 2→3 | 3→4 | 4→5 |
|---|---|---|---|---|
| Distance (cm) | 2 | 4 | 6 | 8 |
1. Les distances sont-elles égales ? Quel type de mouvement cela indique-t-il ?
2. Calculer la vitesse entre chaque paire de positions successives (en cm/s puis en m/s).
3. Les vitesses augmentent-elles de façon régulière ? (Calculer les différences successives.)
1. Les distances augmentent (2, 4, 6, 8 cm) → mouvement rectiligne accéléré.
2.
| Intervalle | Distance | Vitesse (cm/s) | Vitesse (m/s) |
|---|---|---|---|
| 1→2 | 2 cm | 2 / 0,05 = 40 cm/s | 0,40 m/s |
| 2→3 | 4 cm | 4 / 0,05 = 80 cm/s | 0,80 m/s |
| 3→4 | 6 cm | 6 / 0,05 = 120 cm/s | 1,20 m/s |
| 4→5 | 8 cm | 8 / 0,05 = 160 cm/s | 1,60 m/s |
3. Différences : 80-40 = 40, 120-80 = 40, 160-120 = 40 cm/s. La vitesse augmente de 40 cm/s à chaque intervalle → accélération constante (mouvement uniformément accéléré).
Un technicien de maintenance de chaudières effectue trois trajets en une matinée :
| Étape | Distance | Durée |
|---|---|---|
| 1 – Agence → Client A (chaufferie collective) | 40 km | 30 min |
| 2 – Client A → Client B (pavillon) | 60 km | 40 min |
| 3 – Client B → Agence | 20 km | 20 min |
1. Calculer la vitesse moyenne de chaque étape en km/h.
2. Calculer la distance totale et la durée totale du trajet.
3. Calculer la vitesse moyenne globale du trajet.
4. La vitesse moyenne globale est-elle égale à la moyenne des vitesses des 3 étapes ? Pourquoi ?
1.
| Étape | Calcul | Vitesse |
|---|---|---|
| 1 | 40 km / (30/60 h) | 80 km/h |
| 2 | 60 km / (40/60 h) | 90 km/h |
| 3 | 20 km / (20/60 h) | 60 km/h |
2. Distance totale = 40 + 60 + 20 = 120 km. Durée totale = 30 + 40 + 20 = 90 min = 1,5 h.
3. \(v_{moy\,globale} = \dfrac{120\,\text{km}}{1{,}5\,\text{h}} = 80\,\text{km/h}\)
4. Moyenne des vitesses = (80 + 90 + 60) / 3 = 76,7 km/h ≠ 80 km/h. Ce n'est pas la même valeur car les étapes n'ont pas la même durée.
La plaque signalétique d'un extracteur d'atelier est illisible : impossible de savoir à quelle vitesse tourne son hélice. Un groupe d'élèves décide de la mesurer.
Leur protocole : coller une gommette de couleur sur une pale, puis filmer l'hélice avec un téléphone en mode ralenti, à 240 images par seconde. En avançant image par image, ils constatent que la gommette revient à la même position toutes les 15 images.
1. Expliquer pourquoi on ne peut pas compter les tours à l'œil nu, sans caméra.
2. Quelle durée s'écoule entre deux images consécutives de la vidéo ?
3. En déduire la période de rotation \(T\) de l'hélice, en secondes puis en millisecondes.
4. Calculer la fréquence de rotation \(n\) en tr/s, puis la vitesse de rotation \(N\) en tr/min.
5. L'hélice a un diamètre de 32 cm. Calculer la vitesse en bout de pale, en m/s puis en km/h.
6. Proposer une seconde méthode pour vérifier ce résultat, sans filmer. Indiquer ce qu'il faudrait mesurer et ce qu'il faudrait compter.
1. L'hélice fait une quinzaine de tours par seconde : l'œil ne distingue plus les pales, il ne voit qu'un disque flou. Compter des tours suppose de pouvoir repérer un passage, ce qui est impossible à cette vitesse. La caméra rapide étale le mouvement dans le temps et rend le comptage possible.
2. À 240 images par seconde, deux images consécutives sont séparées de \(\dfrac{1}{240} \approx 0{,}00417\,\text{s}\), soit environ 4,2 ms.
3. Un tour correspond à 15 images, donc \(T = \dfrac{15}{240} = 0{,}0625\,\text{s}\), soit 62,5 ms.
4. \(n = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}0625} = 16\,\text{tr/s}\), donc \(N = 16 \times 60 = 960\,\text{tr/min}\).
5. \(d = 32\,\text{cm} = 0{,}32\,\text{m}\), donc \(v = \pi \times 0{,}32 \times 16 \approx 16{,}1\,\text{m/s}\), soit \(16{,}1 \times 3{,}6 \approx 58\,\text{km/h}\) en bout de pale.
6. On peut ralentir l'extracteur s'il dispose d'un variateur, jusqu'à pouvoir suivre la gommette à l'œil, puis compter les tours pendant une durée mesurée au chronomètre — par exemple 30 s — et diviser. On mesure alors deux grandeurs : un nombre de tours et une durée. Sans variateur, un tachymètre optique donne directement la valeur : c'est l'appareil du technicien de maintenance.
Pourquoi compter sur plusieurs tours ? Mesurer un seul tour, c'est faire porter toute l'imprécision du chronomètre sur 62 millisecondes. En comptant 480 tours en 30 s, la même imprécision se répartit sur trente secondes : le résultat est bien plus sûr.
Un utilitaire de livraison a des pneus de diamètre \(d = 60\,\text{cm}\). Il roule à la vitesse de \(v = 50\,\text{km/h}\) en zone urbaine.
1. Convertir la vitesse en m/s.
2. Calculer la distance parcourue par la roue en un tour (\(\pi \times d\)).
3. En déduire la fréquence de rotation des roues (en tr/s).
4. Combien de tours la roue effectue-t-elle sur un trajet de 5 km ?
1. \(v = 50 / 3{,}6 \approx 13{,}9\,\text{m/s}\)
2. \(C = \pi \times 0{,}60 \approx 1{,}885\,\text{m}\)
3. \(n = 13{,}9 / 1{,}885 \approx 7{,}4\,\text{tr/s}\) soit environ 443 tr/min.
4. \(N_{tours} = 5\,000 / 1{,}885 \approx 2\,653\,\text{tours}\). La roue fait plus de 2 600 tours pour parcourir 5 km.
Un véhicule freine en ligne droite sur une piste d'essai. Une caméra enregistre sa position toutes les \(\Delta t = 0{,}4\,\text{s}\), depuis le coup de frein jusqu'à l'immobilisation complète.
| Position | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Abscisse (m) | 0 | 8,0 | 14,4 | 19,2 | 22,4 | 24,0 | 24,0 |
1. Calculer les six écarts entre positions successives.
2. Comment évoluent ces écarts ? En déduire la nature du mouvement. Que signifie le dernier écart ?
3. Calculer la vitesse sur chacun des cinq premiers intervalles, en m/s.
4. De combien la vitesse diminue-t-elle à chaque intervalle ? En déduire la durée totale du freinage.
5. Donner la vitesse du premier intervalle en km/h, puis la distance parcourue pendant tout le freinage.
6. Cette distance est-elle la distance d'arrêt du véhicule ? Expliquer.
1. 1→2 : 8,0 m ; 2→3 : 6,4 m ; 3→4 : 4,8 m ; 4→5 : 3,2 m ; 5→6 : 1,6 m ; 6→7 : 0 m.
2. Les écarts diminuent, et toujours de la même quantité (1,6 m) : le mouvement est rectiligne uniformément ralenti. Le dernier écart est nul : entre les positions 6 et 7, le véhicule n'avance plus, il est à l'arrêt.
3. \(v = \dfrac{d}{\Delta t}\) avec \(\Delta t = 0{,}4\) s :
\(\dfrac{8{,}0}{0{,}4} = \mathbf{20\ m/s}\) — \(\dfrac{6{,}4}{0{,}4} = \mathbf{16\ m/s}\) — \(\dfrac{4{,}8}{0{,}4} = \mathbf{12\ m/s}\) — \(\dfrac{3{,}2}{0{,}4} = \mathbf{8{,}0\ m/s}\) — \(\dfrac{1{,}6}{0{,}4} = \mathbf{4{,}0\ m/s}\).
4. La vitesse perd 4,0 m/s à chaque intervalle de 0,4 s, très régulièrement. Il faut cinq intervalles pour passer de 20 m/s à 0 : le freinage dure \(5 \times 0{,}4 = \mathbf{2{,}0\ s}\).
5. \(20 \times 3{,}6 = \mathbf{72\ km/h}\) — c'est l'ordre de grandeur de la vitesse au moment du coup de frein. Distance parcourue : le véhicule est passé de l'abscisse 0 à l'abscisse 24,0, soit 24,0 m.
6. Non. Ces 24,0 m sont la distance de freinage : l'enregistrement commence au moment où les freins agissent. La distance d'arrêt ajoute la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur, avant qu'il ne freine — soit environ 20 m de plus pour une seconde de réaction à 20 m/s. La distance d'arrêt réelle est donc proche de 44 m, presque le double.
Voici les records du monde de course à pied (valeurs approchées) :
| Distance | Temps record |
|---|---|
| 100 m | 9,58 s |
| 400 m | 43,0 s |
| 1 500 m | 3 min 26 s |
| Marathon (42,195 km) | 2 h 00 min 35 s |
1. Calculer la vitesse moyenne de chaque record en m/s. (Attention à bien convertir les durées en secondes.)
2. Convertir chaque vitesse en km/h.
3. Pourquoi la vitesse moyenne du 100 m est-elle plus élevée que celle du marathon ?
4. Le sprinteur sur 100 m a-t-il un mouvement uniforme ? Justifier.
1.
| Distance | Durée (s) | Vitesse (m/s) |
|---|---|---|
| 100 m | 9,58 | \(100/9{,}58 \approx 10{,}4\) |
| 400 m | 43,0 | \(400/43 \approx 9{,}3\) |
| 1 500 m | 206 | \(1500/206 \approx 7{,}3\) |
| Marathon | 7 235 | \(42195/7235 \approx 5{,}8\) |
2. 100 m : 37,5 km/h ; 400 m : 33,5 km/h ; 1 500 m : 26,2 km/h ; Marathon : 21,0 km/h.
3. Sur 100 m, le coureur fournit un effort maximal de courte durée (sprint). Sur un marathon, il doit gérer son énergie sur plus de 2 heures, donc sa vitesse moyenne est plus faible.
4. Non, le sprinteur a un mouvement accéléré au départ (il part de zéro), puis sensiblement uniforme en milieu de course, et légèrement ralenti sur les derniers mètres. La vitesse de 10,4 m/s est une vitesse moyenne.
Sur un chantier de rénovation, un tapis convoyeur évacue les gravats depuis la zone de démolition jusqu'à la benne. La bande avance à vitesse constante \(v = 0{,}5\,\text{m/s}\). La distance entre les deux postes est \(d = 20\,\text{m}\).
1. Quel est le type de mouvement de la bande ? Justifier.
2. Calculer la durée de transport d'un gravat déposé à l'entrée de la bande.
3. Convertir la vitesse de la bande en km/h.
4. Le tambour d'entraînement du convoyeur a un diamètre de \(d_T = 30\,\text{cm}\). Calculer sa fréquence de rotation \(n\) en tr/s.
5. En déduire la période de rotation \(T\) du tambour.
1. Mouvement rectiligne uniforme : la bande se déplace en ligne droite à vitesse constante.
2. \(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{20}{0{,}5} = 40\,\text{s}\)
3. \(v = 0{,}5 \times 3{,}6 = 1{,}8\,\text{km/h}\)
4. \(v = \pi \times d_T \times n\) donc \(n = \dfrac{v}{\pi \times d_T} = \dfrac{0{,}5}{\pi \times 0{,}30} \approx 0{,}53\,\text{tr/s}\)
5. \(T = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{0{,}53} \approx 1{,}88\,\text{s}\)
La Terre tourne autour du Soleil en environ 365 jours. La distance moyenne Terre-Soleil est \(R = 150\,\text{millions de km}\). On assimile la trajectoire à un cercle.
1. Dans quel référentiel étudie-t-on ce mouvement ? Quel est le type de trajectoire ?
2. Calculer la circonférence de l'orbite terrestre (en km).
3. Calculer la durée d'un tour en heures.
4. En déduire la vitesse moyenne de la Terre en km/h, puis en km/s.
5. Comparer cette vitesse à celle d'une balle de fusil (environ 1 km/s).
1. Référentiel héliocentrique (centré sur le Soleil). Trajectoire circulaire (approximation).
2. \(C = 2\pi R = 2\pi \times 150 \times 10^6 \approx 942 \times 10^6\,\text{km} \approx 942\,\text{millions de km}\)
3. \(t = 365 \times 24 = 8\,760\,\text{h}\)
4. \(v = \dfrac{942 \times 10^6}{8\,760} \approx 107\,500\,\text{km/h} \approx 29{,}9\,\text{km/s}\)
5. La Terre se déplace à environ 30 km/s, soit 30 fois plus vite qu'une balle de fusil !
Une éolienne fonctionne en régime stabilisé. Pour cet exercice, sa fiche technique fixe à 65 m/s la vitesse maximale admise en bout de pale.
| Diamètre du rotor | 60 m |
|---|---|
| Vitesse de rotation | 18 tr/min |
| Vitesse maximale admise en bout de pale | 65 m/s |
1. Quelle est la trajectoire de l'extrémité d'une pale ? Le mouvement est-il uniforme ou varié ?
2. Calculer la fréquence de rotation en tr/s, puis la période de rotation.
3. Calculer la vitesse en bout de pale, en m/s puis en km/h.
4. Comparer la valeur obtenue à la limite fixée par la fiche technique.
5. Déterminer la vitesse de rotation maximale du rotor, en tr/min, pour respecter exactement la limite de 65 m/s.
1. L'extrémité d'une pale décrit un cercle autour de l'axe du rotor. La vitesse de rotation étant constante, son mouvement est circulaire uniforme.
2. \( n = \dfrac{18}{60} = 0{,}30\ \text{tr/s} \) et \( T = \dfrac{1}{0{,}30} \approx 3{,}33\ \text{s} \).
3. \( v = \pi \times d \times n = \pi \times 60 \times 0{,}30 \approx 56{,}5\ \text{m/s} \), soit \(56{,}5 \times 3{,}6 \approx 204\ \text{km/h}\).
4. \(56{,}5\ \text{m/s} < 65\ \text{m/s}\) : la limite est respectée, avec une marge d'environ \(8{,}5\ \text{m/s}\).
5. \( n_{max} = \dfrac{65}{\pi \times 60} \approx 0{,}345\ \text{tr/s} \), donc \(N_{max} = 0{,}345 \times 60 \approx 20{,}7\ \text{tr/min}\). Il ne faut donc pas dépasser environ 21 tr/min.
Sur un chantier de bardage, une nacelle élévatrice à mât vertical est utilisée en deux temps.
- Phase 1 — la montée. Le châssis est calé, freins serrés. Le panier, dans lequel se tient un opérateur, s'élève le long du mât et gagne 12 m de hauteur en 40 s.
- Phase 2 — le déplacement. Le panier est redescendu et replié. Le châssis roule alors en ligne droite, à vitesse constante de 1,5 m/s, jusqu'à la façade suivante. Ses roues, de diamètre \(d = 50\,\text{cm}\), tournent sans glisser.
Roue qui roule sans glisser : \(v = \pi \times d \times n\), avec \(d\) en mètres et \(n\) en tr/s.
1. Phase 1 : décrire le mouvement du panier par rapport au sol, puis par rapport au mât. Quelle est sa trajectoire par rapport au sol ?
2. Phase 1 : calculer la vitesse moyenne de montée du panier, en m/s puis en km/h.
3. Phase 2 : décrire le mouvement du panier replié par rapport au châssis, puis par rapport au sol.
4. Phase 2 : calculer la fréquence de rotation des roues, en tr/s puis en tr/min, ainsi que leur période de rotation.
5. Le déplacement de la phase 2 dure 50 s. Calculer la distance parcourue, puis le nombre de tours effectués par une roue.
6. Un ouvrier au sol dit : « le panier est immobile ». L'opérateur dans le panier dit : « le panier bouge ». Expliquer comment les deux peuvent avoir raison.
1. Par rapport au sol (référentiel terrestre), le panier est en mouvement : il monte. Par rapport au mât, il est aussi en mouvement, puisqu'il coulisse le long de celui-ci. Sa trajectoire par rapport au sol est rectiligne verticale.
2. \(v = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{12}{40} = \mathbf{0{,}30\ m/s}\), soit \(0{,}30 \times 3{,}6 = \mathbf{1{,}08\ km/h}\) — une allure volontairement très lente, bien plus faible que celle d'un piéton, car un mouvement brusque en hauteur serait dangereux.
3. Par rapport au châssis, le panier replié est immobile : il ne bouge plus par rapport à la machine qui le porte. Par rapport au sol, il est en mouvement rectiligne uniforme, à 1,5 m/s, puisqu'il est emporté par le châssis. C'est le même objet, au même instant : seule la réponse change, parce que le référentiel change.
4. \(d = 50\ \text{cm} = 0{,}50\ \text{m}\), donc \(n = \dfrac{v}{\pi \times d} = \dfrac{1{,}5}{\pi \times 0{,}50} \approx \dfrac{1{,}5}{1{,}571} \approx \mathbf{0{,}95\ tr/s}\), soit \(N \approx 0{,}95 \times 60 \approx \mathbf{57\ tr/min}\).
Période : \(T = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{0{,}95} \approx \mathbf{1{,}05\ s}\) — la roue met environ une seconde à faire un tour.
5. Distance : \(d = v \times \Delta t = 1{,}5 \times 50 = \mathbf{75\ m}\). Nombre de tours : \(N_{tours} = n \times \Delta t = 0{,}95 \times 50 \approx \mathbf{48\ tours}\) (on retrouve la même valeur avec \(75 \div 1{,}571 \approx 47{,}7\)).
6. Les deux ont raison, parce qu'ils ne parlent pas du même référentiel. L'opérateur se compare au sol et à la façade : il les voit défiler, donc pour lui le panier bouge. L'ouvrier, lui, pense au panier par rapport au châssis : verrouillé sur la machine, il n'en bouge pas. Tant que le référentiel n'est pas précisé, la phrase « le panier est immobile » ne veut rien dire.
Lors d'une finale de 100 m, des cellules photoélectriques enregistrent l'instant de passage du sprinteur tous les 20 mètres. Le chronomètre est déclenché au coup de pistolet.
| Repère franchi | 20 m | 40 m | 60 m | 80 m | 100 m |
|---|---|---|---|---|---|
| Instant de passage (s) | 2,90 | 4,70 | 6,35 | 7,95 | 9,60 |
1. Calculer la durée mise pour parcourir chacun des cinq tronçons de 20 m.
2. Calculer la vitesse moyenne sur chacun de ces cinq tronçons, en m/s (deux décimales).
3. Décrire l'évolution du mouvement du sprinteur au fil de la course, en distinguant les phases.
4. Calculer la vitesse moyenne sur l'ensemble des 100 m, en m/s puis en km/h.
5. Un spectateur calcule la moyenne des cinq vitesses de la question 2 et trouve 10,95 m/s. Comparer au résultat de la question 4 et expliquer l'écart.
1. On soustrait les instants successifs : \(2{,}90\) s ; \(4{,}70-2{,}90 = 1{,}80\) s ; \(6{,}35-4{,}70 = 1{,}65\) s ; \(7{,}95-6{,}35 = 1{,}60\) s ; \(9{,}60-7{,}95 = 1{,}65\) s.
2. \( v = \dfrac{d}{\Delta t} \) avec \(d = 20\) m à chaque fois :
\( \dfrac{20}{2{,}90} \approx \mathbf{6{,}90\ m/s} \) — \( \dfrac{20}{1{,}80} \approx \mathbf{11{,}11\ m/s} \) — \( \dfrac{20}{1{,}65} \approx \mathbf{12{,}12\ m/s} \) — \( \dfrac{20}{1{,}60} = \mathbf{12{,}50\ m/s} \) — \( \dfrac{20}{1{,}65} \approx \mathbf{12{,}12\ m/s} \).
3. Trois phases : le sprinteur est d'abord nettement accéléré (de 6,90 à 12,12 m/s sur les 60 premiers mètres — il part de l'arrêt, ce qui explique la vitesse faible du premier tronçon) ; il atteint ensuite sa vitesse maximale et le mouvement devient quasi uniforme entre 60 et 80 m ; enfin il est très légèrement ralenti sur les 20 derniers mètres (12,50 puis 12,12 m/s), la fatigue l'emportant sur la relance.
4. \( v = \dfrac{100}{9{,}60} \approx \mathbf{10{,}42\ m/s} \), soit \( 10{,}42 \times 3{,}6 \approx \mathbf{37{,}5\ km/h} \).
5. Les deux valeurs diffèrent : 10,42 m/s contre 10,95 m/s. La moyenne des cinq vitesses n'est pas la vitesse moyenne, car les cinq tronçons n'ont pas duré le même temps. Le premier tronçon, le plus lent, est aussi celui qui a duré le plus longtemps (2,90 s sur 9,60 s, soit près d'un tiers de la course) : il pèse donc bien plus lourd que les autres. La seule définition correcte reste \( v = \dfrac{\text{distance totale}}{\text{durée totale}} \).
On modélise la Lune par une sphère de diamètre \(d = 3\,474\,\text{km}\). Elle effectue un tour sur elle-même en \(T = 27{,}3\,\text{jours}\), durée presque égale à celle de son tour autour de la Terre.
1. Pour un observateur placé dans l'espace et centré sur la Lune, quelle est la trajectoire d'un point situé sur son équateur ? On suppose la rotation uniforme.
2. Convertir la période en heures, puis en secondes. En déduire la fréquence de rotation en tr/s.
3. Calculer la distance parcourue par un point de l'équateur en un tour, puis sa vitesse en km/h et en m/s.
4. Combien de tours la Lune effectue-t-elle sur elle-même en une année terrestre de 365,25 jours ?
5. Expliquer pourquoi la Lune présente toujours presque la même face à la Terre.
1. Le point décrit un cercle autour de l'axe de rotation de la Lune ; son mouvement est circulaire uniforme dans ce modèle.
2. \(T = 27{,}3 \times 24 = 655{,}2\ \text{h}\), puis \(T = 655{,}2 \times 3\,600 = 2\,358\,720\ \text{s}\).
\(n = \dfrac{1}{T} \approx 4{,}24 \times 10^{-7}\ \text{tr/s}\).
3. \(C = \pi \times d = \pi \times 3\,474 \approx 10\,914\ \text{km}\).
\(v = \dfrac{10\,914}{655{,}2} \approx 16{,}7\ \text{km/h}\), soit \(\dfrac{16{,}7}{3{,}6} \approx 4{,}63\ \text{m/s}\).
4. \(\dfrac{365{,}25}{27{,}3} \approx 13{,}4\) : la Lune effectue environ 13,4 tours sur elle-même en une année terrestre.
5. Sa période de rotation sur elle-même est presque égale à sa période de révolution autour de la Terre. Pendant qu'elle accomplit un tour autour de la Terre, elle tourne aussi une fois sur elle-même : la même face reste donc orientée vers nous.
Exercices d'approfondissement
On étudie une station spatiale en forme de roue, tournant uniformément autour de son axe. Deux astronautes se déplacent avec la station : A se trouve sur le bord extérieur et B dans un couloir circulaire plus proche de l'axe.
| Fréquence de rotation | 0,20 tr/s |
|---|---|
| Diamètre de la trajectoire de A | 100 m |
| Diamètre de la trajectoire de B | 40 m |
1. Pour un observateur qui ne tourne pas avec la station et qui regarde son axe, décrire la trajectoire de chaque astronaute.
2. Calculer la période de rotation de la station. Est-elle identique pour A et B ?
3. Calculer la vitesse de A et celle de B, en m/s puis en km/h.
4. Les deux astronautes ont-ils la même fréquence de rotation et la même vitesse linéaire ? Expliquer.
5. Un module fragile ne doit pas dépasser \(30\,\text{m/s}\). Jusqu'à quel diamètre de trajectoire peut-on l'installer sans modifier la fréquence de rotation ?
1. A et B décrivent chacun une trajectoire circulaire centrée sur l'axe de la station, mais les deux cercles n'ont pas le même diamètre.
2. \(T = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{0{,}20} = 5{,}0\ \text{s}\). Toute la station effectue un tour dans le même temps : la période est donc identique pour A et B.
3. Pour A : \(v_A = \pi \times 100 \times 0{,}20 \approx 62{,}8\ \text{m/s}\), soit environ \(226\ \text{km/h}\).
Pour B : \(v_B = \pi \times 40 \times 0{,}20 \approx 25{,}1\ \text{m/s}\), soit environ \(90{,}5\ \text{km/h}\).
4. Ils ont la même fréquence de rotation et la même période, car ils accomplissent ensemble chaque tour. En revanche, A parcourt un cercle plus grand pendant ce même temps : sa vitesse linéaire est donc plus élevée.
5. On isole le diamètre dans \(v = \pi d n\) : \(d_{max} = \dfrac{30}{\pi \times 0{,}20} \approx 47{,}7\ \text{m}\). Le module doit être placé sur une trajectoire de diamètre inférieur ou égal à environ 48 m.
Un conducteur de travaux doit choisir entre deux itinéraires pour livrer des palettes de parpaings sur un chantier :
| Itinéraire | Distance | Vitesse moyenne |
|---|---|---|
| Route nationale | 72 km | 90 km/h |
| Autoroute | 90 km | 120 km/h |
1. Calculer le temps de trajet (en minutes) pour chaque itinéraire. Quelle formule utiliser ?
2. Quel itinéraire est le plus rapide ? De combien de minutes ?
3. Le péage autoroute coûte 8 € et le carburant revient à 0,12 € par km. Calculer le coût total de chaque itinéraire.
4. En tenant compte du temps et du coût, quel itinéraire recommandez-vous ? Justifier.
1. \(t = d/v\)
Nationale : \(t = \dfrac{72}{90} = 0{,}8\,\text{h} = 48\,\text{min}\)
Autoroute : \(t = \dfrac{90}{120} = 0{,}75\,\text{h} = 45\,\text{min}\)
2. L'autoroute est plus rapide de 3 minutes.
3.
Nationale : \(72 \times 0{,}12 = 8{,}64\) € (pas de péage)
Autoroute : \(90 \times 0{,}12 + 8 = 10{,}8 + 8 = 18{,}80\) €
4. L'autoroute économise 3 min mais coûte 18,80 – 8,64 = 10,16 € de plus. Pour une livraison ponctuelle urgente, l'autoroute se justifie. Pour des livraisons régulières, la route nationale est plus économique.
Un menuisier agenceur doit réaliser un profil décoratif sur du hêtre. Le fabricant de fraises recommande une vitesse de coupe comprise entre 30 et 45 m/s pour cette essence. La toupie dispose de trois vitesses : 3 000, 6 000 et 9 000 tr/min.
Le menuisier hésite entre deux fraises :
| Fraise | Diamètre |
|---|---|
| Fraise A (petit profil) | 5 cm |
| Fraise B (grand profil) | 12 cm |
1. Pour chaque combinaison fraise/vitesse (6 cas), calculer la vitesse de coupe \(v = \pi \times d \times n\). Présenter les résultats dans un tableau.
2. Pour chaque fraise, déterminer la ou les vitesses de rotation qui respectent la recommandation du fabricant (30 à 45 m/s).
3. Le menuisier choisit la fraise B à 6 000 tr/min. Calculer la période de rotation.
4. Lors du passage de la pièce, l'avance est de 6 m/min. La pièce fait 2,40 m de long. Calculer la durée de l'opération de profilage.
1.
| 3 000 tr/min (50 tr/s) | 6 000 tr/min (100 tr/s) | 9 000 tr/min (150 tr/s) | |
|---|---|---|---|
| Fraise A (d = 0,05 m) | \(\pi \times 0{,}05 \times 50 = 7{,}9\) m/s | \(\pi \times 0{,}05 \times 100 = 15{,}7\) m/s | \(\pi \times 0{,}05 \times 150 = 23{,}6\) m/s |
| Fraise B (d = 0,12 m) | \(\pi \times 0{,}12 \times 50 = 18{,}8\) m/s | \(\pi \times 0{,}12 \times 100 = 37{,}7\) m/s | \(\pi \times 0{,}12 \times 150 = 56{,}5\) m/s |
2. Fraise A : aucune vitesse ne convient (max 23,6 m/s < 30 m/s). Il faudrait une toupie plus rapide ou une fraise plus grande.
Fraise B : 6 000 tr/min donne 37,7 m/s ☑ (dans la plage 30-45). À 9 000 tr/min, on dépasse (56,5 > 45).
3. \(T = 1/n = 1/100 = 0{,}01\,\text{s} = 10\,\text{ms}\)
4. Avance : \(v_{avance} = 6\,\text{m/min} = 0{,}1\,\text{m/s}\). Durée : \(t = 2{,}40 / 0{,}1 = 24\,\text{s}\).
Le compteur kilométrique d'un véhicule de livraison est étalonné pour des pneus de diamètre \(d_0 = 65\,\text{cm}\). Le compteur mesure le nombre de tours de roue et multiplie par la circonférence \(\pi d_0\) pour afficher la distance.
Après usure, le diamètre réel des pneus est \(d_1 = 63\,\text{cm}\).
1. Calculer la circonférence d'un pneu neuf et d'un pneu usé.
2. Le compteur affiche 100 km. Combien de tours de roue cela représente-t-il ?
3. Avec les pneus usés, la roue fait le même nombre de tours mais chaque tour parcourt moins de distance. Calculer la distance réellement parcourue.
4. Quelle est l'erreur du compteur (en %) ? Le compteur affiche-t-il plus ou moins que la réalité ?
5. Si le véhicule roule à 90 km/h indiqués, quelle est sa vitesse réelle ?
1. \(C_0 = \pi \times 0{,}65 \approx 2{,}042\,\text{m}\). \(C_1 = \pi \times 0{,}63 \approx 1{,}979\,\text{m}\).
2. \(N = 100\,000 / 2{,}042 \approx 48\,971\,\text{tours}\).
3. \(d_{r\acute{e}elle} = 48\,971 \times 1{,}979 \approx 96\,923\,\text{m} \approx 96{,}9\,\text{km}\).
4. Erreur : \((100 - 96{,}9)/96{,}9 \approx 3{,}2\,\%\). Le compteur surestime la distance (il affiche 100 km pour 96,9 km réels).
5. Vitesse réelle : \(90 \times (63/65) \approx 87{,}2\,\text{km/h}\). Le véhicule roule en réalité un peu moins vite que ce qu'indique le compteur.
Un tapis de course de salle de sport possède deux rouleaux de diamètre \(d = 8\,\text{cm}\). La bande repose dessus et défile sans glisser : elle avance donc à la vitesse du bord du rouleau. Le constructeur annonce une vitesse réglable de 1 à 22 km/h. À pleine puissance, le moteur entraîne le rouleau principal à \(N = 1\,500\,\text{tr/min}\).
1. Convertir la fréquence en tr/s.
2. Calculer la vitesse de défilement de la bande du tapis (vitesse linéaire au bord du rouleau).
3. Convertir en km/h. Comparer à la vitesse d'un vélo.
4. La valeur calculée est-elle compatible avec la vitesse maximale annoncée par le constructeur ?
5. Déterminer la vitesse de rotation du rouleau, en tr/min, qui donnerait exactement 22 km/h.
6. La bande forme une boucle de 3 m de long. À 22 km/h, combien de fois par seconde un même point de la bande passe-t-il sous le coureur ?
1. \(n = 1\,500 / 60 = 25\,\text{tr/s}\)
2. \(v = \pi \times d \times n = \pi \times 0{,}08 \times 25 \approx 6{,}28\,\text{m/s}\)
3. \(v \approx 6{,}28 \times 3{,}6 \approx 22{,}6\,\text{km/h}\). C'est l'allure d'un cycliste à bonne allure — et, pour un coureur, une vitesse que seuls des athlètes tiennent quelques minutes.
4. Le calcul donne 22,6 km/h alors que le constructeur annonce 22 km/h au maximum : l'écart est faible (moins de 3 %) mais la valeur calculée dépasse la donnée du constructeur. Le modèle est donc un peu trop simple : il néglige l'épaisseur de la bande et le léger glissement sur le rouleau.
5. \(22\,\text{km/h} = 22 / 3{,}6 \approx 6{,}11\,\text{m/s}\). Alors \(n = \dfrac{v}{\pi \times d} = \dfrac{6{,}11}{\pi \times 0{,}08} \approx \dfrac{6{,}11}{0{,}251} \approx 24{,}3\,\text{tr/s}\), soit \(N \approx 24{,}3 \times 60 \approx 1\,460\,\text{tr/min}\).
6. À \(6{,}11\,\text{m/s}\), la boucle de 3 m défile \(6{,}11 / 3 \approx 2{,}0\) fois par seconde : un même point de la bande repasse sous le coureur environ 2 fois par seconde, soit 122 fois par minute.
Le tableau ci-dessous donne la distance parcourue par un utilitaire de livraison en fonction du temps :
| Temps (min) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Distance (km) | 0 | 4 | 8 | 8 | 8 | 14 | 20 | 26 | 30 |
1. Tracer le graphique distance-temps sur papier millimétré (ou le représenter mentalement).
2. Identifier les phases du trajet : quand le véhicule roule-t-il ? Quand est-il à l'arrêt ?
3. Calculer la vitesse moyenne pendant les 10 premières minutes.
4. Calculer la vitesse moyenne entre 20 et 40 min.
5. Calculer la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet.
6. Expliquer pourquoi la vitesse moyenne globale est différente des vitesses calculées aux questions 3 et 4.
1. On place les neuf points du tableau, puis on les relie par des segments :
Un palier horizontal signale un arrêt : le temps passe, la distance ne change pas. Plus le tracé est raide, plus la vitesse est grande.
2. Phase 1 (0-10 min) : le véhicule roule (distance augmente). Phase 2 (10-20 min) : arrêt (distance constante à 8 km). Phase 3 (20-40 min) : le véhicule roule à nouveau. La troisième phase est plus raide que la première : le véhicule y roule plus vite (questions 3 et 4).
3. \(v_1 = \dfrac{8\,\text{km}}{10\,\text{min}} = \dfrac{8}{10/60} = 48\,\text{km/h}\)
4. Distance parcourue : 30 − 8 = 22 km. Durée : 40 − 20 = 20 min = 1/3 h. \(v_2 = \dfrac{22}{1/3} = 66\,\text{km/h}\)
5. \(v_{moy} = \dfrac{30\,\text{km}}{40\,\text{min}} = \dfrac{30}{40/60} = 45\,\text{km/h}\)
6. La vitesse moyenne globale tient compte de l'arrêt de 10 min où le véhicule ne se déplace pas. Elle est donc plus faible que les vitesses calculées pendant les phases de mouvement seules.
Un satellite géostationnaire orbite autour de la Terre à une altitude \(h = 35\,786\,\text{km}\). Il fait un tour complet en environ \(T = 24\,\text{h}\), la durée d'un tour de la Terre sur elle-même (23 h 56 min précisément : le jour sidéral). On prendra \(T = 24\,\text{h}\) pour les calculs. Le rayon de la Terre est \(R_T = 6\,371\,\text{km}\).
1. Dans quel référentiel étudie-t-on le mouvement du satellite ? Quelle est sa trajectoire ?
2. Calculer le rayon de l'orbite du satellite : \(r = R_T + h\).
3. Calculer la circonférence de l'orbite.
4. Calculer la vitesse du satellite en km/h, puis en km/s.
5. Le satellite est-il immobile dans le référentiel terrestre ? Dans le référentiel géocentrique ? Expliquer en utilisant la notion de relativité du mouvement.
1. Référentiel géocentrique (centré sur la Terre). Trajectoire circulaire.
2. \(r = 6\,371 + 35\,786 = 42\,157\,\text{km}\)
3. \(C = 2\pi r = 2\pi \times 42\,157 \approx 264\,900\,\text{km}\)
4. \(v = \dfrac{264\,900}{24} \approx 11\,038\,\text{km/h} \approx 3{,}07\,\text{km/s}\)
5. Dans le référentiel terrestre, le satellite est immobile (il reste toujours au-dessus du même point de la Terre car il tourne à la même vitesse angulaire). Dans le référentiel géocentrique, le satellite est en mouvement circulaire à 11 000 km/h. C'est un exemple de relativité du mouvement.
Une perceuse à colonne utilisée en atelier possède un système de transmission par engrenages. Le moteur tourne à \(N_1 = 2\,800\,\text{tr/min}\). La roue dentée motrice (pignon) a \(Z_1 = 20\) dents et entraîne une roue réceptrice de \(Z_2 = 70\) dents fixée à la broche du foret.
\(\dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{Z_1}{Z_2}\) soit \(N_2 = N_1 \times \dfrac{Z_1}{Z_2}\)
1. Calculer la fréquence de rotation de la broche \(N_2\) en tr/min.
2. Convertir \(N_2\) en tr/s.
3. Un foret de diamètre \(d = 10\,\text{mm}\) est monté sur la broche. Calculer la vitesse de coupe (vitesse linéaire au bord du foret).
4. Le fabricant du foret recommande une vitesse de coupe de 25 m/min pour percer l'acier doux. La vitesse actuelle convient-elle ? Si non, proposer un autre couple de pignons (parmi 20, 30, 40, 50, 60 ou 70 dents) pour s'en approcher.
5. La broche tourne dans le sens horaire vue de dessus. Dans quel sens tourne le pignon moteur ? Justifier.
1. \(N_2 = 2\,800 \times \dfrac{20}{70} = 800\,\text{tr/min}\)
2. \(n_2 = 800 / 60 \approx 13{,}3\,\text{tr/s}\)
3. \(v = \pi \times d \times n_2 = \pi \times 0{,}010 \times 13{,}3 \approx 0{,}42\,\text{m/s} = 25{,}1\,\text{m/min}\)
4. La vitesse est de 25,1 m/min, très proche de la recommandation (25 m/min). Le réglage est donc adapté.
5. Dans un engrenage à contact direct, les deux roues tournent en sens opposés. Si la broche tourne dans le sens horaire, le pignon moteur tourne dans le sens anti-horaire.
Sur une scie à ruban, la lame est une boucle fermée qui défile sur deux volants (roues) de même diamètre. La vitesse de défilement de la lame est celle d'un point du bord d'un volant. Un atelier reconstruit une machine ancienne : le moteur disponible tourne à 1 500 tr/min et entraîne directement le volant inférieur, sans réducteur. Pour scier du bois massif, la vitesse de défilement recommandée est de 25 m/s. La lame mesure 3,60 m de long (périmètre de la boucle).
1. Déterminer le diamètre que devraient avoir les volants pour obtenir exactement la vitesse recommandée.
2. Le fournisseur ne propose que des volants de 500 mm. Calculer la vitesse de défilement obtenue avec ce diamètre, et la comparer à la recommandation.
3. Deux solutions permettent de revenir à 25 m/s avec des volants de 500 mm : équiper le moteur d'un variateur, ou intercaler une transmission réductrice. Déterminer, dans les deux cas, la vitesse de rotation du volant à obtenir, en tr/min.
4. À la vitesse recommandée de 25 m/s, combien de fois par minute un même point de la lame repasse-t-il dans la zone de coupe ?
5. Expliquer pourquoi une vitesse de défilement trop élevée n'améliore pas la coupe, et citer deux conséquences concrètes.
1. \( n = \dfrac{1\,500}{60} = 25\ \text{tr/s} \). De \( v = \pi \times d \times n \) on tire \( d = \dfrac{v}{\pi \times n} = \dfrac{25}{\pi \times 25} = \dfrac{25}{78{,}5} \approx 0{,}318\ \text{m} \), soit un diamètre de 318 mm environ.
2. \( v = \pi \times 0{,}500 \times 25 \approx \mathbf{39{,}3\ m/s} \) : c'est 1,6 fois la vitesse recommandée. Monter ces volants en prise directe conduirait donc à faire défiler la lame beaucoup trop vite.
3. Il faut ramener la fréquence de rotation à \( n = \dfrac{v}{\pi \times d} = \dfrac{25}{\pi \times 0{,}500} \approx \dfrac{25}{1{,}571} \approx 15{,}9\ \text{tr/s} \), soit \( N \approx 15{,}9 \times 60 \approx \mathbf{955\ \text{tr/min}} \).
Avec un variateur, on règle le moteur sur cette valeur. Avec une transmission réductrice, le moteur garde ses 1 500 tr/min et la transmission doit diviser la vitesse par \( \dfrac{1\,500}{955} \approx 1{,}6 \).
4. En une seconde, la lame défile de 25 m. Comme la boucle mesure 3,60 m, un même point revient au même endroit \( \dfrac{25}{3{,}60} \approx 6{,}94 \) fois par seconde, soit \( 6{,}94 \times 60 \approx \mathbf{417\ \text{fois par minute}} \).
5. Au-delà de la vitesse prévue, chaque dent enlève moins de matière mais frotte davantage : la coupe n'est pas plus rapide, elle est seulement plus abrasive. Deux conséquences concrètes : échauffement de la lame (perte de la trempe, dents qui s'émoussent vite, brûlures sur le bois) et fatigue mécanique de la boucle, qui repasse 417 fois par minute sur les volants et finit par se fissurer à la soudure — avec un risque de rupture en pleine coupe.
Un apprenti remplit la fiche de réglage d'une scie circulaire sur table équipée d'une lame de 30 cm de diamètre, tournant à 4 500 tr/min. Deux lignes de sa fiche sont erronées.
(a) « Fréquence de rotation : \( n = 4\,500 \) tr/s. »
(b) « Vitesse en bord de lame : \( v = d \times n = 0{,}30 \times 4\,500 = 1\,350 \) m/s. »
1. Identifier l'erreur de la ligne (a) et donner la valeur correcte.
2. Identifier l'erreur de la ligne (b) — indépendante de la précédente — et donner la valeur correcte de la vitesse de coupe, en m/s puis en km/h.
3. Calculer la période de rotation de la lame.
4. On remplace la lame par une lame de 60 cm de diamètre, sans changer la vitesse de rotation. Déterminer la nouvelle vitesse de coupe et la nouvelle période de rotation, puis énoncer ce qui change et ce qui ne change pas.
5. La lame de 60 cm porte l'inscription « vitesse de coupe maximale : 80 m/s ». Dire si le montage de la question 4 est acceptable et, sinon, déterminer la vitesse de rotation maximale admissible, en tr/min.
1. Erreur : la conversion tours par minute → tours par seconde a été oubliée. \( n = \dfrac{N}{60} = \dfrac{4\,500}{60} = \mathbf{75\ \text{tr/s}} \).
2. Erreur : en un tour, un point du bord ne parcourt pas le diamètre mais la circonférence, soit \( \pi \times d \). La formule correcte est \( v = \pi \times d \times n \) :
\( v = \pi \times 0{,}30 \times 75 \approx \mathbf{70{,}7\ m/s} \), soit \( 70{,}7 \times 3{,}6 \approx \mathbf{255\ km/h} \). La valeur de l'apprenti (1 350 m/s) dépassait la vitesse du son dans l'air : elle était absurde, ce qui aurait dû l'alerter.
3. \( T = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{75} \approx 0{,}0133\ \text{s} = \mathbf{13{,}3\ ms} \).
4. \( v = \pi \times 0{,}60 \times 75 \approx \mathbf{141{,}4\ m/s} \) : la vitesse de coupe est doublée, puisqu'elle est proportionnelle au diamètre. En revanche \( T = \dfrac{1}{75} = \mathbf{13{,}3\ ms} \) : la période est inchangée, car elle ne dépend que de la fréquence de rotation, pas de la taille de la lame. Tous les points d'une même lame font un tour dans le même temps, mais ceux du bord parcourent un plus grand cercle.
5. Le montage n'est pas acceptable : 141,4 m/s dépasse largement les 80 m/s inscrits sur la lame ; sous l'effet de la rotation, une lame lancée au-delà de sa vitesse admissible peut se déformer, se fissurer et éclater. Vitesse de rotation maximale : \( n = \dfrac{80}{\pi \times 0{,}60} \approx \dfrac{80}{1{,}885} \approx 42{,}4\ \text{tr/s} \), soit \( N \approx 42{,}4 \times 60 \approx \mathbf{2\,550\ \text{tr/min}} \). Il faut donc réduire la vitesse de la machine de près de moitié avant de monter cette lame.
Un chariot filoguidé transporte des bacs de pièces entre deux postes d'un atelier. Un enregistreur relève sa vitesse pendant un trajet complet, du départ à l'arrêt.
Repères du graphique : l'axe des temps porte les graduations 0, 8, 16, 24, 32, 40 et 48 s ; l'axe des vitesses va de 0 à 1,5 m/s par pas de 0,3 m/s.
1. Relever la durée de chacune des trois phases du trajet et nommer le type de mouvement correspondant.
2. Relever la vitesse maximale atteinte, en m/s puis en km/h.
3. Calculer la distance parcourue pendant la phase à vitesse constante.
4. Pendant les phases de démarrage et de freinage, la vitesse varie de façon régulière : on peut donc y raisonner sur la vitesse moyenne. Calculer la distance parcourue pendant chacune de ces deux phases.
5. En déduire la distance totale entre les deux postes, puis la vitesse moyenne du chariot sur l'ensemble du trajet. Expliquer pourquoi elle est inférieure à la vitesse maximale.
6. Le chariot stationne 25 s à chaque poste pour être chargé puis déchargé. Déterminer le nombre d'allers-retours complets qu'il peut réaliser en une heure.
1. Phase 1, de 0 à 8 s (durée 8 s) : la vitesse augmente régulièrement → mouvement uniformément accéléré. Phase 2, de 8 à 40 s (durée 32 s) : vitesse constante → mouvement uniforme. Phase 3, de 40 à 48 s (durée 8 s) : la vitesse diminue régulièrement jusqu'à zéro → mouvement uniformément ralenti.
2. \( v_{max} = \mathbf{1{,}2\ m/s} \), soit \( 1{,}2 \times 3{,}6 = \mathbf{4{,}32\ km/h} \) — l'allure d'un piéton, ce qui est cohérent pour un engin circulant parmi des opérateurs.
3. \( d = v \times \Delta t = 1{,}2 \times 32 = \mathbf{38{,}4\ m} \).
4. Démarrage : la vitesse passe régulièrement de 0 à 1,2 m/s, sa valeur moyenne est \( \dfrac{0 + 1{,}2}{2} = 0{,}6\ \text{m/s} \), d'où \( d = 0{,}6 \times 8 = \mathbf{4{,}8\ m} \). Freinage : même raisonnement, la vitesse passe de 1,2 à 0 m/s en 8 s, d'où \( d = 0{,}6 \times 8 = \mathbf{4{,}8\ m} \).
5. Distance totale : \( 4{,}8 + 38{,}4 + 4{,}8 = \mathbf{48{,}0\ m} \). Vitesse moyenne : \( v = \dfrac{48{,}0}{48} = \mathbf{1{,}00\ m/s} \). Elle est inférieure à la vitesse maximale parce que le chariot ne roule à 1,2 m/s que pendant 32 s des 48 s du trajet : les 16 s de démarrage et de freinage se font à une vitesse plus faible et tirent la moyenne vers le bas.
6. Un aller-retour complet comprend deux trajets de 48 s et deux arrêts de 25 s : \( 2 \times 48 + 2 \times 25 = 96 + 50 = 146\ \text{s} \). En une heure : \( \dfrac{3\,600}{146} \approx 24{,}7 \). Le chariot réalise donc 24 allers-retours complets par heure (le 25e ne serait pas terminé).
Dans un atelier de conditionnement, un convoyeur à rouleaux motorisés achemine des caisses vers un poste de contrôle. Les caisses reposent sur les rouleaux et avancent à la vitesse du dessus des rouleaux, sans glisser.
| Diamètre d'un rouleau | 80 mm |
|---|---|
| Vitesse de rotation actuelle des rouleaux | 60 tr/min |
| Espacement entre deux caisses successives | 1,20 m |
| Cadence demandée au poste de contrôle | 40 caisses par minute |
1. Calculer la vitesse d'avance des caisses, en m/s puis en m/min.
2. En déduire la cadence actuelle du convoyeur, en caisses par minute.
3. Première solution : accélérer les rouleaux sans modifier l'espacement des caisses. Déterminer la vitesse d'avance nécessaire, puis la vitesse de rotation à régler, en tr/min.
4. Seconde solution : garder les rouleaux à 60 tr/min et rapprocher les caisses. Déterminer l'espacement à respecter.
5. Comparer les deux solutions et proposer, en le justifiant, celle qu'il vaut mieux retenir.
1. \( n = \dfrac{60}{60} = 1\ \text{tr/s} \) et \( d = 80\ \text{mm} = 0{,}080\ \text{m} \).
\( v = \pi \times d \times n = \pi \times 0{,}080 \times 1 \approx \mathbf{0{,}251\ m/s} \), soit \( 0{,}251 \times 60 \approx \mathbf{15{,}1\ m/min} \).
2. Chaque minute, 15,1 m de convoyeur défilent devant le poste ; comme une caisse occupe 1,20 m de ligne, il en passe \( \dfrac{15{,}1}{1{,}20} \approx \mathbf{12{,}6\ \text{caisses par minute}} \) — soit environ 12 caisses complètes. La cadence demandée n'est donc pas atteinte, il en manque plus des deux tiers.
3. Pour 40 caisses espacées de 1,20 m, il faut faire défiler \( 40 \times 1{,}20 = 48\ \text{m/min} \), soit \( \dfrac{48}{60} = 0{,}80\ \text{m/s} \).
\( n = \dfrac{v}{\pi \times d} = \dfrac{0{,}80}{\pi \times 0{,}080} \approx \dfrac{0{,}80}{0{,}251} \approx 3{,}18\ \text{tr/s} \), soit \( N \approx 3{,}18 \times 60 \approx \mathbf{191\ \text{tr/min}} \). Il faut donc multiplier la vitesse de rotation par environ 3,2 — ce qui est cohérent avec le rapport des cadences : \( 40 \div 12{,}6 \approx 3{,}2 \).
4. À 15,1 m/min, il faut que 40 caisses tiennent dans ces 15,1 m : l'espacement devient \( \dfrac{15{,}1}{40} \approx \mathbf{0{,}38\ m} \), soit 38 cm entre deux caisses.
5. La première solution triple la vitesse d'avance : les caisses arrivent à 0,80 m/s (près de 3 km/h), avec un risque de glissement, de basculement et de choc à l'arrivée sur le poste, sans compter l'usure des motorisations. La seconde ne change rien à la vitesse : elle demande seulement d'alimenter la ligne plus densément, ce qui est un réglage d'organisation, pas de mécanique. La seconde solution est préférable, à condition que l'espacement de 38 cm soit compatible avec la taille des caisses et laisse au contrôleur le temps de traiter chacune d'elles — ce qui est la vraie limite : 40 caisses par minute laissent 1,5 s par caisse.
Avant d'implanter une petite éolienne, on installe un mât de mesure équipé d'un anémomètre à coupelles. Trois coupelles fixées à des bras de 9 cm tournent autour d'un axe vertical, d'autant plus vite que le vent est fort. Le constructeur indique que la vitesse du vent vaut environ 2,5 fois la vitesse des coupelles (facteur d'étalonnage propre à l'appareil). L'éolienne envisagée démarre à partir d'un vent de 3 m/s.
Un relevé donne une vitesse de rotation de 120 tr/min.
1. Calculer la fréquence de rotation, en tr/s, et la période de rotation des coupelles.
2. Calculer la vitesse d'une coupelle, en m/s.
3. En déduire la vitesse du vent, en m/s puis en km/h.
4. L'éolienne démarrerait-elle dans ces conditions ? Justifier.
5. Déterminer la vitesse de rotation minimale des coupelles, en tr/min, à partir de laquelle l'éolienne démarrerait.
6. Citer deux raisons pour lesquelles la valeur obtenue à la question 3 ne doit être considérée que comme une estimation.
1. \( n = \dfrac{120}{60} = \mathbf{2\ \text{tr/s}} \) et \( T = \dfrac{1}{2} = \mathbf{0{,}50\ s} \).
2. Le rayon vaut 9 cm, donc le diamètre du cercle décrit vaut \( d = 18\ \text{cm} = 0{,}18\ \text{m} \).
\( v = \pi \times 0{,}18 \times 2 \approx \mathbf{1{,}13\ m/s} \).
3. \( v_{vent} = 2{,}5 \times 1{,}13 \approx \mathbf{2{,}83\ m/s} \), soit \( 2{,}83 \times 3{,}6 \approx \mathbf{10{,}2\ km/h} \) — une brise légère.
4. Non : 2,83 m/s est inférieur au seuil de démarrage de 3 m/s. L'éolienne resterait à l'arrêt, et il s'en faut de peu — moins de 6 % — ce qui montre l'intérêt d'une campagne de mesure sur plusieurs mois avant toute implantation.
5. Il faut que les coupelles atteignent \( v = \dfrac{3}{2{,}5} = 1{,}2\ \text{m/s} \). Alors \( n = \dfrac{v}{\pi \times d} = \dfrac{1{,}2}{\pi \times 0{,}18} \approx \dfrac{1{,}2}{0{,}565} \approx 2{,}12\ \text{tr/s} \), soit \( N \approx 2{,}12 \times 60 \approx \mathbf{127\ \text{tr/min}} \).
6. Deux limites, parmi d'autres : (i) le facteur 2,5 n'est pas une constante universelle — il dépend de la forme et de la taille des coupelles, et doit être vérifié par étalonnage en soufflerie ; (ii) les coupelles ont de l'inertie : elles accélèrent rapidement dans une rafale mais ralentissent lentement quand le vent retombe, si bien que l'appareil surestime la vitesse moyenne dans un vent irrégulier. On peut ajouter que la mesure ne donne aucune indication de direction, alors que l'orientation du vent dominant conditionne l'implantation.
Une piste d'athlétisme de 400 m est formée de deux lignes droites de 84,39 m et de deux virages en demi-cercle. Sur la ligne de mesure du couloir 1, chaque virage a un rayon de 36,80 m. Chaque couloir est large de 1,22 m, si bien que la ligne de mesure du couloir 8 est décalée de 7 largeurs de couloir vers l'extérieur.
1. Caractériser la trajectoire d'un coureur dans une ligne droite, puis dans un virage. Comment qualifier sa trajectoire sur un tour complet ?
2. Les deux virages mis bout à bout forment un cercle complet. Calculer la longueur totale des virages du couloir 1, puis vérifier que le tour mesure bien 400 m.
3. Déterminer le rayon de la ligne de mesure du couloir 8, puis la longueur totale de ses virages.
4. En déduire de combien de mètres le couloir 8 est plus long que le couloir 1 sur un tour complet.
5. Deux athlètes courent tous deux à 8,5 m/s, l'un au couloir 1, l'autre au couloir 8, et partent de la même ligne. Calculer la durée du tour de chacun, puis le retard du second.
6. Conclure sur la règle du départ décalé et donner la valeur du décalage à appliquer au couloir 8.
1. Dans une ligne droite, la trajectoire est rectiligne ; dans un virage en demi-cercle, elle est circulaire. Sur un tour complet, elle n'est ni l'une ni l'autre : c'est une trajectoire quelconque (curviligne), formée de portions droites et de portions de cercle.
2. Les deux demi-cercles forment un cercle de rayon 36,80 m, de longueur \( 2\pi R = 2 \times \pi \times 36{,}80 \approx \mathbf{231{,}22\ m} \).
Tour complet : \( 231{,}22 + 2 \times 84{,}39 = 231{,}22 + 168{,}78 = \mathbf{400{,}00\ m} \) ✓ — la piste mesure bien 400 m.
3. \( R_8 = 36{,}80 + 7 \times 1{,}22 = 36{,}80 + 8{,}54 = \mathbf{45{,}34\ m} \).
Longueur des virages : \( 2 \times \pi \times 45{,}34 \approx \mathbf{284{,}88\ m} \).
4. Les lignes droites sont identiques pour tous les couloirs ; seul l'écart des virages compte : \( 284{,}88 - 231{,}22 = \mathbf{53{,}66\ m} \). Un tour au couloir 8 mesure donc environ 453,7 m, contre 400,0 m au couloir 1.
5. Couloir 1 : \( \Delta t = \dfrac{400{,}00}{8{,}5} \approx \mathbf{47{,}06\ s} \). Couloir 8 : \( \Delta t = \dfrac{453{,}66}{8{,}5} \approx \mathbf{53{,}37\ s} \).
Retard du couloir 8 : \( 53{,}37 - 47{,}06 \approx \mathbf{6{,}31\ s} \) — un écart énorme, alors que les deux athlètes courent exactement à la même vitesse.
6. Partir de la même ligne pénaliserait donc lourdement les couloirs extérieurs, sans aucun rapport avec la valeur des athlètes. On décale les départs de manière que chacun parcoure exactement la même distance : le coureur du couloir 8 part 53,66 m en avant de celui du couloir 1 (soit environ 53,7 m), ce qui correspond bien au décalage observé sur une piste réelle.
La distance d'arrêt d'un véhicule est la somme de deux distances : celle parcourue pendant le temps de réaction du conducteur, pendant lequel le véhicule roule sans ralentir, et celle parcourue pendant le freinage proprement dit. On retient un temps de réaction de 1,0 s pour un conducteur attentif. Les distances de freinage ci-dessous sont des valeurs usuelles sur chaussée sèche.
| Vitesse | Distance de freinage (chaussée sèche) |
|---|---|
| 90 km/h | 40 m |
| 130 km/h | 84 m |
Sur autoroute, les bandes blanches tracées le long de la bande d'arrêt d'urgence sont espacées de 39 m : la règle dite « des deux traits » correspond donc à environ 78 m.
1. Convertir les deux vitesses en m/s.
2. Calculer, pour chaque vitesse, la distance parcourue pendant le temps de réaction, puis la distance d'arrêt totale.
3. Un conducteur roulant à 130 km/h aperçoit un obstacle immobile 78 m devant lui. Peut-il s'arrêter à temps ? Et à 90 km/h ?
4. Ce résultat signifie-t-il que la règle des deux traits est inutile ? Expliquer ce dont elle protège réellement.
5. Un conducteur consulte son téléphone pendant 2,0 s à 130 km/h. Calculer la distance parcourue sans regarder la route et la comparer aux 78 m précédents.
6. La vitesse passe de 90 à 130 km/h, soit environ 1,4 fois plus. Comparer le facteur d'augmentation de la distance de réaction et celui de la distance de freinage. Que peut-on en conclure ?
1. \( \dfrac{90}{3{,}6} = \mathbf{25{,}0\ m/s} \) et \( \dfrac{130}{3{,}6} \approx \mathbf{36{,}1\ m/s} \).
2. Distance de réaction : \( d = v \times \Delta t \) avec \( \Delta t = 1{,}0\ \text{s} \).
À 90 km/h : \( 25{,}0 \times 1{,}0 = \mathbf{25\ m} \), donc distance d'arrêt \( 25 + 40 = \mathbf{65\ m} \).
À 130 km/h : \( 36{,}1 \times 1{,}0 \approx \mathbf{36\ m} \), donc distance d'arrêt \( 36 + 84 = \mathbf{120\ m} \).
3. À 130 km/h, la distance d'arrêt (120 m) dépasse largement les 78 m disponibles : le choc est inévitable, et il se produirait encore à vitesse élevée. À 90 km/h, 65 m suffisent : le véhicule s'arrête à temps, avec une marge de 13 m.
4. Non, elle n'est pas inutile : elle ne protège simplement pas du même danger. Face à un obstacle immobile, c'est la distance d'arrêt qui compte. Face au véhicule qui précède, celui-ci freine lui aussi et parcourt à son tour une distance de freinage : il suffit alors de disposer de l'écart correspondant au temps de réaction, soit environ 36 m à 130 km/h. Les 78 m de la règle des deux traits offrent donc une marge confortable dans ce cas de figure — mais ne dispensent jamais de regarder loin devant.
5. \( d = 36{,}1 \times 2{,}0 \approx \mathbf{72\ m} \) parcourus à l'aveugle, soit presque exactement l'écart des deux traits. Autrement dit, un simple coup d'œil au téléphone consomme toute la distance de sécurité réglementaire.
6. Distance de réaction : de 25 m à 36 m, soit \( \dfrac{36}{25} \approx 1{,}4 \) — le même facteur que la vitesse, ce qui est logique puisque \( d = v \times \Delta t \) avec \( \Delta t \) fixe : elle est proportionnelle à la vitesse.
Distance de freinage : de 40 m à 84 m, soit \( \dfrac{84}{40} = 2{,}1 \) — bien plus que 1,4. La distance de freinage n'est donc pas proportionnelle à la vitesse : elle augmente beaucoup plus vite qu'elle. C'est pourquoi une vitesse « à peine plus élevée » se traduit par une distance d'arrêt presque doublée (65 m contre 120 m), et par un choc bien plus violent.
Les numéros ci-dessous signalent les exercices principaux pour chaque capacité.
| Capacité | Exercices principaux |
|---|---|
| Délimiter un système, choisir un référentiel et décrire la relativité du mouvement | 1-1, 1-11, 1-12, 2-11, 2-13, 3-7 |
| Nommer et caractériser la trajectoire d’un point | 1-2, 1-11, 1-12, 2-1, 3-14 |
| Calculer une vitesse moyenne et convertir des unités | 1-3, 1-5, 1-10, 1-13, 1-15, 2-2, 2-5, 2-8, 2-9, 2-14, 3-6, 3-15 |
| Exploiter une chronophotographie ou un graphique | 1-4, 2-1, 2-4, 2-8, 3-6, 3-11 |
| Déterminer expérimentalement une vitesse moyenne ou une fréquence de rotation | 2-2, 2-6 |
| Calculer une fréquence de rotation et une période | 1-7, 1-14, 2-6, 2-12, 2-13, 2-15, 3-1, 3-3, 3-8, 3-9, 3-10, 3-13 |
| Utiliser la relation \(v = \pi \times d \times n\) | 1-8, 1-9, 2-6, 2-7, 2-12, 2-13, 3-1, 3-3, 3-5, 3-8, 3-9, 3-10, 3-12, 3-13 |