Chapitre 5 – Mouvement et trajectoire

1. Trajectoire circulaire de rayon R = 4 cm, centrée sur l'axe de la toupie.

2. \(v = 2\pi \times 0{,}04 \times 50 \approx 12{,}6\,\text{m/s}\)

3. \(v' = 2\pi \times 0{,}02 \times 50 \approx 6{,}3\,\text{m/s}\). Non, la vitesse est plus faible à mi-rayon : elle est proportionnelle au rayon (\(v' = v/2\)).

4. \(v = 2\pi \times 0{,}04 \times 200 \approx 50{,}3\,\text{m/s}\). À 200 tr/s, la vitesse est 4 fois plus grande. Une vitesse de coupe plus élevée donne une surface plus nette mais génère plus de chaleur et use davantage l'outil.

1. \(t = d/v\)

Nationale : \(t = \dfrac{72}{90} = 0{,}8\,\text{h} = 48\,\text{min}\)

Autoroute : \(t = \dfrac{90}{120} = 0{,}75\,\text{h} = 45\,\text{min}\)

2. L'autoroute est plus rapide de 3 minutes.

3.

Nationale : \(72 \times 0{,}12 = 8{,}64\) € (pas de péage)

Autoroute : \(90 \times 0{,}12 + 8 = 10{,}8 + 8 = 18{,}80\) €

4. L'autoroute économise 3 min mais coûte 18,80 – 8,64 = 10,16 € de plus. Pour une livraison ponctuelle urgente, l'autoroute se justifie. Pour des livraisons régulières, la route nationale est plus économique.

1.

2. Fraise A : aucune vitesse ne convient (max 23,6 m/s < 30 m/s). Il faudrait une toupie plus rapide ou une fraise plus grande.
Fraise B : 6 000 tr/min donne 37,7 m/s ☑ (dans la plage 30-45). À 9 000 tr/min, on dépasse (56,5 > 45).

3. \(T = 1/n = 1/100 = 0{,}01\,\text{s} = 10\,\text{ms}\)

4. Avance : \(v_{avance} = 6\,\text{m/min} = 0{,}1\,\text{m/s}\). Durée : \(t = 2{,}40 / 0{,}1 = 24\,\text{s}\).

1. \(C_0 = \pi \times 0{,}65 \approx 2{,}042\,\text{m}\). \(C_1 = \pi \times 0{,}63 \approx 1{,}979\,\text{m}\).

2. \(N = 100\,000 / 2{,}042 \approx 48\,971\,\text{tours}\).

3. \(d_{r\acute{e}elle} = 48\,971 \times 1{,}979 \approx 96\,923\,\text{m} \approx 96{,}9\,\text{km}\).

4. Erreur : \((100 - 96{,}9)/96{,}9 \approx 3{,}2\,\%\). Le compteur surestime la distance (il affiche 100 km pour 96,9 km réels).

5. Vitesse réelle : \(90 \times (63/65) \approx 87{,}2\,\text{km/h}\). Le véhicule roule en réalité un peu moins vite que ce qu'indique le compteur.

1. \(n = 1\,500 / 60 = 25\,\text{tr/s}\)

2. \(v = \pi \times d \times n = \pi \times 0{,}08 \times 25 \approx 6{,}28\,\text{m/s}\)

3. \(v \approx 6{,}28 \times 3{,}6 \approx 22{,}6\,\text{km/h}\). C'est comparable à la vitesse d'un cycliste à bonne allure.

4. Oui, 6,28 m/s est dans la plage garantie (4 à 8 m/s). La vitesse convient pour ce modèle de tapis.

5. La bande fait 3 m et défile à 6,28 m/s. Nombre de tours par seconde : \(6{,}28 / 3 \approx 2{,}1\) tours/s.

1. On place les neuf points du tableau, puis on les relie par des segments :

2. Phase 1 (0-10 min) : le véhicule roule (distance augmente). Phase 2 (10-20 min) : arrêt (distance constante à 8 km). Phase 3 (20-40 min) : le véhicule roule à nouveau. La troisième phase est plus raide que la première : le véhicule y roule plus vite (questions 3 et 4).

3. \(v_1 = \dfrac{8\,\text{km}}{10\,\text{min}} = \dfrac{8}{10/60} = 48\,\text{km/h}\)

4. Distance parcourue : 30 − 8 = 22 km. Durée : 40 − 20 = 20 min = 1/3 h. \(v_2 = \dfrac{22}{1/3} = 66\,\text{km/h}\)

5. \(v_{moy} = \dfrac{30\,\text{km}}{40\,\text{min}} = \dfrac{30}{40/60} = 45\,\text{km/h}\)

6. La vitesse moyenne globale tient compte de l'arrêt de 10 min où le véhicule ne se déplace pas. Elle est donc plus faible que les vitesses calculées pendant les phases de mouvement seules.

1. Référentiel géocentrique (centré sur la Terre). Trajectoire circulaire.

2. \(r = 6\,371 + 35\,786 = 42\,157\,\text{km}\)

3. \(C = 2\pi r = 2\pi \times 42\,157 \approx 264\,900\,\text{km}\)

4. \(v = \dfrac{264\,900}{24} \approx 11\,038\,\text{km/h} \approx 3{,}07\,\text{km/s}\)

5. Dans le référentiel terrestre, le satellite est immobile (il reste toujours au-dessus du même point de la Terre car il tourne à la même vitesse angulaire). Dans le référentiel géocentrique, le satellite est en mouvement circulaire à 11 000 km/h. C'est un exemple de relativité du mouvement.

1. \(N_2 = 2\,800 \times \dfrac{20}{70} = 800\,\text{tr/min}\)

2. \(n_2 = 800 / 60 \approx 13{,}3\,\text{tr/s}\)

3. \(v = \pi \times d \times n_2 = \pi \times 0{,}010 \times 13{,}3 \approx 0{,}42\,\text{m/s} = 25{,}1\,\text{m/min}\)

4. La vitesse est de 25,1 m/min, très proche de la recommandation (25 m/min). Le réglage est donc adapté.

5. Dans un engrenage à contact direct, les deux roues tournent en sens opposés. Si la broche tourne dans le sens horaire, le pignon moteur tourne dans le sens anti-horaire.

1. \( n = \dfrac{1\,500}{60} = 25\ \text{tr/s} \). De \( v = \pi \times d \times n \) on tire \( d = \dfrac{v}{\pi \times n} = \dfrac{25}{\pi \times 25} = \dfrac{25}{78{,}5} \approx 0{,}318\ \text{m} \), soit un diamètre de 318 mm environ.

2. \( v = \pi \times 0{,}500 \times 25 \approx \mathbf{39{,}3\ m/s} \) : c'est 1,6 fois la vitesse recommandée. Monter ces volants en prise directe conduirait donc à faire défiler la lame beaucoup trop vite.

3. Il faut ramener la fréquence de rotation à \( n = \dfrac{v}{\pi \times d} = \dfrac{25}{\pi \times 0{,}500} \approx \dfrac{25}{1{,}571} \approx 15{,}9\ \text{tr/s} \), soit \( N \approx 15{,}9 \times 60 \approx \mathbf{955\ \text{tr/min}} \).
Avec un variateur, on règle le moteur sur cette valeur. Avec une transmission réductrice, le moteur garde ses 1 500 tr/min et la transmission doit diviser la vitesse par \( \dfrac{1\,500}{955} \approx 1{,}6 \).

4. En une seconde, la lame défile de 25 m. Comme la boucle mesure 3,60 m, un même point revient au même endroit \( \dfrac{25}{3{,}60} \approx 6{,}94 \) fois par seconde, soit \( 6{,}94 \times 60 \approx \mathbf{417\ \text{fois par minute}} \).

5. Au-delà de la vitesse prévue, chaque dent enlève moins de matière mais frotte davantage : la coupe n'est pas plus rapide, elle est seulement plus abrasive. Deux conséquences concrètes : échauffement de la lame (perte de la trempe, dents qui s'émoussent vite, brûlures sur le bois) et fatigue mécanique de la boucle, qui repasse 417 fois par minute sur les volants et finit par se fissurer à la soudure — avec un risque de rupture en pleine coupe.

1. Erreur : la conversion tours par minute → tours par seconde a été oubliée. \( n = \dfrac{N}{60} = \dfrac{4\,500}{60} = \mathbf{75\ \text{tr/s}} \).

2. Erreur : en un tour, un point du bord ne parcourt pas le diamètre mais la circonférence, soit \( \pi \times d \). La formule correcte est \( v = \pi \times d \times n \) :
\( v = \pi \times 0{,}30 \times 75 \approx \mathbf{70{,}7\ m/s} \), soit \( 70{,}7 \times 3{,}6 \approx \mathbf{255\ km/h} \). La valeur de l'apprenti (1 350 m/s) dépassait la vitesse du son dans l'air : elle était absurde, ce qui aurait dû l'alerter.

3. \( T = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{75} \approx 0{,}0133\ \text{s} = \mathbf{13{,}3\ ms} \).

4. \( v = \pi \times 0{,}60 \times 75 \approx \mathbf{141{,}4\ m/s} \) : la vitesse de coupe est doublée, puisqu'elle est proportionnelle au diamètre. En revanche \( T = \dfrac{1}{75} = \mathbf{13{,}3\ ms} \) : la période est inchangée, car elle ne dépend que de la fréquence de rotation, pas de la taille de la lame. Tous les points d'une même lame font un tour dans le même temps, mais ceux du bord parcourent un plus grand cercle.

5. Le montage n'est pas acceptable : 141,4 m/s dépasse largement les 80 m/s inscrits sur la lame ; sous l'effet de la rotation, une lame lancée au-delà de sa vitesse admissible peut se déformer, se fissurer et éclater. Vitesse de rotation maximale : \( n = \dfrac{80}{\pi \times 0{,}60} \approx \dfrac{80}{1{,}885} \approx 42{,}4\ \text{tr/s} \), soit \( N \approx 42{,}4 \times 60 \approx \mathbf{2\,550\ \text{tr/min}} \). Il faut donc réduire la vitesse de la machine de près de moitié avant de monter cette lame.

1. Phase 1, de 0 à 8 s (durée 8 s) : la vitesse augmente régulièrement → mouvement uniformément accéléré. Phase 2, de 8 à 40 s (durée 32 s) : vitesse constante → mouvement uniforme. Phase 3, de 40 à 48 s (durée 8 s) : la vitesse diminue régulièrement jusqu'à zéro → mouvement uniformément ralenti.

2. \( v_{max} = \mathbf{1{,}2\ m/s} \), soit \( 1{,}2 \times 3{,}6 = \mathbf{4{,}32\ km/h} \) — l'allure d'un piéton, ce qui est cohérent pour un engin circulant parmi des opérateurs.

3. \( d = v \times \Delta t = 1{,}2 \times 32 = \mathbf{38{,}4\ m} \).

4. Démarrage : la vitesse passe régulièrement de 0 à 1,2 m/s, sa valeur moyenne est \( \dfrac{0 + 1{,}2}{2} = 0{,}6\ \text{m/s} \), d'où \( d = 0{,}6 \times 8 = \mathbf{4{,}8\ m} \). Freinage : même raisonnement, la vitesse passe de 1,2 à 0 m/s en 8 s, d'où \( d = 0{,}6 \times 8 = \mathbf{4{,}8\ m} \).

5. Distance totale : \( 4{,}8 + 38{,}4 + 4{,}8 = \mathbf{48{,}0\ m} \). Vitesse moyenne : \( v = \dfrac{48{,}0}{48} = \mathbf{1{,}00\ m/s} \). Elle est inférieure à la vitesse maximale parce que le chariot ne roule à 1,2 m/s que pendant 32 s des 48 s du trajet : les 16 s de démarrage et de freinage se font à une vitesse plus faible et tirent la moyenne vers le bas.

6. Un aller-retour complet comprend deux trajets de 48 s et deux arrêts de 25 s : \( 2 \times 48 + 2 \times 25 = 96 + 50 = 146\ \text{s} \). En une heure : \( \dfrac{3\,600}{146} \approx 24{,}7 \). Le chariot réalise donc 24 allers-retours complets par heure (le 25^e ne serait pas terminé).

1. \( n = \dfrac{60}{60} = 1\ \text{tr/s} \) et \( d = 80\ \text{mm} = 0{,}080\ \text{m} \).
\( v = \pi \times d \times n = \pi \times 0{,}080 \times 1 \approx \mathbf{0{,}251\ m/s} \), soit \( 0{,}251 \times 60 \approx \mathbf{15{,}1\ m/min} \).

2. Chaque minute, 15,1 m de convoyeur défilent devant le poste ; comme une caisse occupe 1,20 m de ligne, il en passe \( \dfrac{15{,}1}{1{,}20} \approx \mathbf{12{,}6\ \text{caisses par minute}} \) — soit environ 12 caisses complètes. La cadence demandée n'est donc pas atteinte, il en manque plus des deux tiers.

3. Pour 40 caisses espacées de 1,20 m, il faut faire défiler \( 40 \times 1{,}20 = 48\ \text{m/min} \), soit \( \dfrac{48}{60} = 0{,}80\ \text{m/s} \).
\( n = \dfrac{v}{\pi \times d} = \dfrac{0{,}80}{\pi \times 0{,}080} \approx \dfrac{0{,}80}{0{,}251} \approx 3{,}18\ \text{tr/s} \), soit \( N \approx 3{,}18 \times 60 \approx \mathbf{191\ \text{tr/min}} \). Il faut donc multiplier la vitesse de rotation par environ 3,2 — ce qui est cohérent avec le rapport des cadences : \( 40 \div 12{,}6 \approx 3{,}2 \).

4. À 15,1 m/min, il faut que 40 caisses tiennent dans ces 15,1 m : l'espacement devient \( \dfrac{15{,}1}{40} \approx \mathbf{0{,}38\ m} \), soit 38 cm entre deux caisses.

5. La première solution triple la vitesse d'avance : les caisses arrivent à 0,80 m/s (près de 3 km/h), avec un risque de glissement, de basculement et de choc à l'arrivée sur le poste, sans compter l'usure des motorisations. La seconde ne change rien à la vitesse : elle demande seulement d'alimenter la ligne plus densément, ce qui est un réglage d'organisation, pas de mécanique. La seconde solution est préférable, à condition que l'espacement de 38 cm soit compatible avec la taille des caisses et laisse au contrôleur le temps de traiter chacune d'elles — ce qui est la vraie limite : 40 caisses par minute laissent 1,5 s par caisse.

1. \( n = \dfrac{120}{60} = \mathbf{2\ \text{tr/s}} \) et \( T = \dfrac{1}{2} = \mathbf{0{,}50\ s} \).

2. Le rayon vaut 9 cm, donc le diamètre du cercle décrit vaut \( d = 18\ \text{cm} = 0{,}18\ \text{m} \).
\( v = \pi \times 0{,}18 \times 2 \approx \mathbf{1{,}13\ m/s} \).

3. \( v_{vent} = 2{,}5 \times 1{,}13 \approx \mathbf{2{,}83\ m/s} \), soit \( 2{,}83 \times 3{,}6 \approx \mathbf{10{,}2\ km/h} \) — une brise légère.

4. Non : 2,83 m/s est inférieur au seuil de démarrage de 3 m/s. L'éolienne resterait à l'arrêt, et il s'en faut de peu — moins de 6 % — ce qui montre l'intérêt d'une campagne de mesure sur plusieurs mois avant toute implantation.

5. Il faut que les coupelles atteignent \( v = \dfrac{3}{2{,}5} = 1{,}2\ \text{m/s} \). Alors \( n = \dfrac{v}{\pi \times d} = \dfrac{1{,}2}{\pi \times 0{,}18} \approx \dfrac{1{,}2}{0{,}565} \approx 2{,}12\ \text{tr/s} \), soit \( N \approx 2{,}12 \times 60 \approx \mathbf{127\ \text{tr/min}} \).

6. Deux limites, parmi d'autres : (i) le facteur 2,5 n'est pas une constante universelle — il dépend de la forme et de la taille des coupelles, et doit être vérifié par étalonnage en soufflerie ; (ii) les coupelles ont de l'inertie : elles accélèrent rapidement dans une rafale mais ralentissent lentement quand le vent retombe, si bien que l'appareil surestime la vitesse moyenne dans un vent irrégulier. On peut ajouter que la mesure ne donne aucune indication de direction, alors que l'orientation du vent dominant conditionne l'implantation.

1. Dans une ligne droite, la trajectoire est rectiligne ; dans un virage en demi-cercle, elle est circulaire. Sur un tour complet, elle n'est ni l'une ni l'autre : c'est une trajectoire quelconque (curviligne), formée de portions droites et de portions de cercle.

2. Les deux demi-cercles forment un cercle de rayon 36,80 m, de longueur \( 2\pi R = 2 \times \pi \times 36{,}80 \approx \mathbf{231{,}22\ m} \).
Tour complet : \( 231{,}22 + 2 \times 84{,}39 = 231{,}22 + 168{,}78 = \mathbf{400{,}00\ m} \) ✓ — la piste mesure bien 400 m.

3. \( R_8 = 36{,}80 + 7 \times 1{,}22 = 36{,}80 + 8{,}54 = \mathbf{45{,}34\ m} \).
Longueur des virages : \( 2 \times \pi \times 45{,}34 \approx \mathbf{284{,}88\ m} \).

4. Les lignes droites sont identiques pour tous les couloirs ; seul l'écart des virages compte : \( 284{,}88 - 231{,}22 = \mathbf{53{,}66\ m} \). Un tour au couloir 8 mesure donc environ 453,7 m, contre 400,0 m au couloir 1.

5. Couloir 1 : \( \Delta t = \dfrac{400{,}00}{8{,}5} \approx \mathbf{47{,}06\ s} \). Couloir 8 : \( \Delta t = \dfrac{453{,}66}{8{,}5} \approx \mathbf{53{,}37\ s} \).
Retard du couloir 8 : \( 53{,}37 - 47{,}06 \approx \mathbf{6{,}31\ s} \) — un écart énorme, alors que les deux athlètes courent exactement à la même vitesse.

6. Partir de la même ligne pénaliserait donc lourdement les couloirs extérieurs, sans aucun rapport avec la valeur des athlètes. On décale les départs de manière que chacun parcoure exactement la même distance : le coureur du couloir 8 part 53,66 m en avant de celui du couloir 1 (soit environ 53,7 m), ce qui correspond bien au décalage observé sur une piste réelle.

1. \( \dfrac{90}{3{,}6} = \mathbf{25{,}0\ m/s} \) et \( \dfrac{130}{3{,}6} \approx \mathbf{36{,}1\ m/s} \).

2. Distance de réaction : \( d = v \times \Delta t \) avec \( \Delta t = 1{,}0\ \text{s} \).
À 90 km/h : \( 25{,}0 \times 1{,}0 = \mathbf{25\ m} \), donc distance d'arrêt \( 25 + 40 = \mathbf{65\ m} \).
À 130 km/h : \( 36{,}1 \times 1{,}0 \approx \mathbf{36\ m} \), donc distance d'arrêt \( 36 + 84 = \mathbf{120\ m} \).

3. À 130 km/h, la distance d'arrêt (120 m) dépasse largement les 78 m disponibles : le choc est inévitable, et il se produirait encore à vitesse élevée. À 90 km/h, 65 m suffisent : le véhicule s'arrête à temps, avec une marge de 13 m.

4. Non, elle n'est pas inutile : elle ne protège simplement pas du même danger. Face à un obstacle immobile, c'est la distance d'arrêt qui compte. Face au véhicule qui précède, celui-ci freine lui aussi et parcourt à son tour une distance de freinage : il suffit alors de disposer de l'écart correspondant au temps de réaction, soit environ 36 m à 130 km/h. Les 78 m de la règle des deux traits offrent donc une marge confortable dans ce cas de figure — mais ne dispensent jamais de regarder loin devant.

5. \( d = 36{,}1 \times 2{,}0 \approx \mathbf{72\ m} \) parcourus à l'aveugle, soit presque exactement l'écart des deux traits. Autrement dit, un simple coup d'œil au téléphone consomme toute la distance de sécurité réglementaire.

6. Distance de réaction : de 25 m à 36 m, soit \( \dfrac{36}{25} \approx 1{,}4 \) — le même facteur que la vitesse, ce qui est logique puisque \( d = v \times \Delta t \) avec \( \Delta t \) fixe : elle est proportionnelle à la vitesse.
Distance de freinage : de 40 m à 84 m, soit \( \dfrac{84}{40} = 2{,}1 \) — bien plus que 1,4. La distance de freinage n'est donc pas proportionnelle à la vitesse : elle augmente beaucoup plus vite qu'elle. C'est pourquoi une vitesse « à peine plus élevée » se traduit par une distance d'arrêt presque doublée (65 m contre 120 m), et par un choc bien plus violent.