Définir un référentiel et comprendre la relativité du mouvement
Distinguer les types de trajectoires (rectiligne, circulaire, curviligne)
Calculer une vitesse moyenne à partir d’une distance et d’une durée
Convertir des vitesses entre m/s et km/h
Caractériser un mouvement à partir d’une chronophotographie
Déterminer la fréquence de rotation et la période d’un mouvement circulaire
Utiliser la relation entre vitesse linéaire, diamètre et fréquence de rotation
Situation professionnelle — Réglage d'une transmission par courroie
Un technicien de maintenance doit contrôler la vitesse de défilement de la courroie d'un moteur de ventilation pour respecter la valeur recommandée par le fabricant. Il connaît le diamètre de la poulie (40 cm) et la fréquence de rotation du moteur, et calcule la vitesse linéaire de la courroie en m/s.
1. Référentiel et objet étudié
Définition
Un référentiel est un solide de référence (ou un repère) par rapport auquel on étudie le mouvement d’un objet. Toute description d’un mouvement doit préciser le référentiel utilisé.
1.1 Exemples de référentiels
Référentiel
Définition
Exemples d’utilisation
Terrestre
Lié à la Terre (bâtiment, sol)
Déplacement d’une pièce dans l’atelier, voiture sur route
Géocentrique
Centre de la Terre, axes fixes
Étude des satellites artificiels
Héliocentrique
Centre du Soleil
Mouvement des planètes autour du Soleil
Relativité du mouvement
Un même objet peut être en mouvement dans un référentiel et au repos dans un autre.
Exemple — Passager dans un train
Un passager assis dans un train :
• Est au repos par rapport au référentiel du train (il ne change pas de place dans le wagon).
• Est en mouvement par rapport au référentiel terrestre (il se déplace avec le train).
Sur un chantier : un technicien debout sur une nacelle élévatrice qui monte est au repos par rapport à la nacelle, mais en mouvement par rapport au sol (référentiel terrestre).
Application — Choisir le bon référentiel
Un autocar roule à vitesse constante sur une route droite. Le conducteur est assis au volant ; une voyageuse est debout dans l'allée, immobile par rapport aux sièges.
Le conducteur est-il en mouvement ou au repos par rapport au référentiel de l'autocar ? Et par rapport au référentiel terrestre (la route) ?
La voyageuse debout est-elle en mouvement ou au repos par rapport au conducteur ? Justifier.
Par rapport à l'autocar, le conducteur ne change pas de place : il est au repos. Par rapport à la route (référentiel terrestre), il avance avec le véhicule : il est en mouvement.
La voyageuse et le conducteur avancent tous deux avec l'autocar et ne bougent pas l'un par rapport à l'autre : la voyageuse est au repos par rapport au conducteur. Un même objet peut donc être au repos dans un référentiel et en mouvement dans un autre.
1.2 Délimiter le système étudié
Définition
Le système est l’objet — ou la partie d’objet — dont on décide d’étudier le mouvement. Le délimiter, c’est dire précisément ce que l’on suit : la machine entière, une seule de ses pièces, ou même un simple point de cette pièce.
Méthode — Les deux choix à faire avant toute description
Délimiter le système : nommer l’objet (ou le point) étudié.
Choisir le référentiel : indiquer par rapport à quoi on l’observe.
Seulement ensuite : décrire la trajectoire, puis la vitesse.
Sans ces deux choix, une phrase comme « il avance à 5 m/s » ne veut rien dire : on ne sait ni qui avance, ni par rapport à quoi.
Exemple — Une même machine, trois systèmes différents
Un technicien observe une perceuse d’établi fixée sur son plan de travail.
• Système = la perceuse entière, référentiel = l’atelier → elle est au repos.
• Système = le foret, référentiel = l’atelier → il est en mouvement de rotation autour de son axe.
• Système = la pointe du foret, prise sur l’axe de rotation, référentiel = le bâti de la machine → elle descend en ligne droite pendant le perçage : trajectoire rectiligne. Un point pris sur le tranchant, lui, tourne en même temps qu’il descend : sa trajectoire n’est plus une droite.
La même machine donne trois réponses différentes. C’est le couple (système, référentiel) qui fixe la description, pas la machine.
2. La trajectoire
Définition
La trajectoire d’un objet (dans un référentiel donné) est l’ensemble des positions successives occupées par cet objet au cours du temps. C’est le « chemin » tracé par l’objet.
2.1 Les trois types de trajectoires
Type
Forme
Exemples
Rectiligne
Droite
Voiture sur autoroute droite, chariot d’atelier sur rail, pièce en translation sur une toupie à guide
Circulaire
Cercle (ou arc de cercle)
Roue, hélice de ventilateur, dent d’une scie circulaire, fraise en rotation
Curviligne
Courbe quelconque
Balle lancée, copeaux éjectés par une toupie, usinage d’un profil courbe en CNC
Les trois types de trajectoires — les points représentent les positions successives de l’objet dans le temps
3. La vitesse moyenne
Définition
La vitesse moyenne d’un objet est le rapport de la distance parcourue par la durée du trajet. Elle indique « en moyenne » quelle distance l’objet parcourt par unité de temps.
\( v = \dfrac{d}{\Delta t} \)
v : vitesse (m/s ou km/h) • d : distance parcourue (m ou km) • Δt : durée (s ou h)
3.1 Unités et conversions
Conversion m/s ↔ km/h
\[ 1\ \text{m/s} = 3{,}6\ \text{km/h} \qquad \Longleftrightarrow \qquad 1\ \text{km/h} = \frac{1}{3{,}6}\ \text{m/s} \approx 0{,}278\ \text{m/s} \]
Astuce : pour passer de m/s à km/h, multiplier par 3,6 ; pour passer de km/h à m/s, diviser par 3,6.
Exemples en atelier Exemple 1 — Chariot d’atelier : un chariot transporte des panneaux sur une distance de 12 m en 8 s.
\[ v = \frac{12}{8} = 1{,}5\ \text{m/s} = 1{,}5 \times 3{,}6 = 5{,}4\ \text{km/h} \]
Exemple 2 — Nacelle élévatrice : sur un chantier, la plateforme d’une nacelle monte de 2,5 m en 5 s.
\[ v = \frac{2{,}5}{5} = 0{,}5\ \text{m/s} = 0{,}5 \times 3{,}6 = 1{,}8\ \text{km/h} \]
Application
Un chariot motorisé transporte des panneaux dans un entrepôt à une vitesse de v = 4,5 km/h.
Convertir cette vitesse en m/s.
Si l’entrepôt fait 60 m de long, combien de temps le chariot met-il pour traverser l’entrepôt ?
Un piéton marche à 1,2 m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ? Le chariot va-t-il plus vite ou moins vite que le piéton ?
\( v = \dfrac{4{,}5}{3{,}6} \approx \mathbf{1{,}25\ \text{m/s}} \)
\( v_{\text{km/h}} = 1{,}2 \times 3{,}6 = \mathbf{4{,}32\ \text{km/h}} \). Le chariot (4,5 km/h) va plus vite que le piéton (4,32 km/h), mais de peu.
3.2 Graphique distance-temps : comparaison de deux mobiles
Sur un graphique distance-temps, la forme de la courbe suffit à reconnaître le mouvement.
Une droite signifie que la distance augmente de la même valeur à chaque seconde : la vitesse
est constante, le mouvement est uniforme. Une courbe dont la pente diminue
signale au contraire un mouvement décéléré : le mobile parcourt de moins en moins de distance
pendant la même durée. Plus une droite est raide, plus la vitesse est grande.
Mobile A (mouvement rectiligne uniforme, v = 2 m/s) : droite — Mobile B (mouvement décéléré) : courbe
3.3 Animation : mobile en mouvement rectiligne
v = 2,0 m/s | d = 0,0 m | t = 0,0 s
La bille laisse une trace bleue (trajectoire rectiligne). Ajustez la vitesse avec les boutons.
Application
Lors d'un usinage sur une CNC, l'outil se déplace à une avance de v = 0,4 m/s.
Quelle distance l'outil parcourt-il en 12 s ?
Combien de temps faut-il pour usiner un panneau de 2,4 m de longueur ?
Convertir la vitesse d'avance en m/min (mètres par minute).
\( d = v \times \Delta t = 0{,}4 \times 12 = \mathbf{4{,}8\ \text{m}} \)
1 min = 60 s donc \( v = 0{,}4 \times 60 = \mathbf{24\ \text{m/min}} \)
4. Types de mouvements
Définition
On caractérise un mouvement selon l’évolution de sa vitesse au cours du temps :
Mouvement uniforme : la vitesse est constante (ni accélération, ni décélération).
Mouvement accéléré : la vitesse augmente au cours du temps.
Mouvement décéléré : la vitesse diminue au cours du temps.
Distinction importante
Un objet dont la vitesse est nulle à un instant donné n’est pas forcément au repos. Il peut être en mouvement juste avant ou juste après (ex. : balle au sommet d’un lancer).
4.1 Visualisation par chronophotographie
Type de mouvement
Apparence des positions sur la photo
Vitesse
Uniforme
Positions équidistantes (espaces égaux)
Constante
Accéléré
Positions de plus en plus éloignées
Croissante
Décéléré
Positions de plus en plus rapprochées
Décroissante
5. La chronophotographie
Définition
La chronophotographie est une technique qui consiste à photographier un objet en mouvement à intervalles de temps réguliers (durée τ entre chaque photo). Elle laisse sur l’image une série de positions de l’objet espacées dans le temps.
Lecture d’une chronophotographie
Positions équidistantes ⇒ mouvement uniforme (vitesse constante)
Espaces qui s’élargissent ⇒ mouvement accéléré
Espaces qui se réduisent ⇒ mouvement décéléré
Méthode Calculer la vitesse entre deux positions consécutives :
Si l’intervalle de temps entre deux flashs est τ et que la distance entre deux positions consécutives est d :
\[ v = \frac{d}{\tau} \]
Cette vitesse est la vitesse moyenne sur cet intervalle. On considère qu’elle est égale à la vitesse instantanée au milieu de cet intervalle.
5.1 Reconnaître les trois types de mouvements sur une chronophotographie
Chronophotographies des trois types de mouvements rectilignes (τ = durée entre deux flashs)
Exemple numérique
Une chronophotographie d’un chariot d’atelier est prise toutes les τ = 0,5 s. On mesure sur la photo (après correction d’échelle) les distances entre positions consécutives :
Intervalle
0→1
1→2
2→3
3→4
Distance d (m)
0,6
0,6
0,6
0,6
Vitesse v = d/τ (m/s)
1,2
1,2
1,2
1,2
Les distances sont égales ⇒ le mouvement est uniforme, vitesse v = 1,2 m/s.
Application
On réalise une chronophotographie d'un palet glissant sur un plan incliné. L'intervalle entre deux flashs est τ = 0,2 s. On mesure les distances entre positions consécutives (en cm) :
Intervalle
0→1
1→2
2→3
3→4
4→5
Distance d (cm)
4
8
12
16
20
Quel type de mouvement observe-t-on ? Justifier.
Calculer la vitesse (en m/s) entre les positions 2 et 3.
Calculer la vitesse (en m/s) entre les positions 4 et 5.
La vitesse augmente-t-elle ? Cela confirme-t-il votre réponse en 1) ?
Les distances augmentent régulièrement (4, 8, 12, 16, 20 cm) ⇒ la pièce s'éloigne de plus en plus ⇒ mouvement accéléré.
d = 12 cm = 0,12 m ; \( v_{2\to3} = \dfrac{0{,}12}{0{,}2} = \mathbf{0{,}6\ \text{m/s}} \)
d = 20 cm = 0,20 m ; \( v_{4\to5} = \dfrac{0{,}20}{0{,}2} = \mathbf{1{,}0\ \text{m/s}} \)
La vitesse est passée de 0,6 m/s à 1,0 m/s : elle augmente, ce qui confirme bien un mouvement accéléré.
\( v = \dfrac{d}{\tau} \) (τ : intervalle de temps entre flashs)
Fréquence de rotation
n
tr/s (Hz)
tr/min
\( n = \dfrac{N\ (\text{tr/min})}{60} \)
Période de rotation
T
seconde (s)
—
\( T = \dfrac{1}{n} \)
Vitesse linéaire
v
m/s
km/h
\( v = \pi \times d \times n \) ou \( v = 2\pi \times r \times n \)
Attention : la lettre d désigne deux grandeurs différentes selon la ligne du tableau : une distance parcourue (en mètres) dans les trois premières lignes, et un diamètre (en mètres) dans la dernière ligne « Vitesse linéaire ».
7. Applications professionnelles
Les notions de mouvement, trajectoire et vitesse s’appliquent directement aux machines de l’atelier et du chantier. Voici trois exemples concrets avec calcul numérique complet.
Application 1 — Vitesse d’avance d’une scie à ruban
Contexte
Lors du débit de planches, l’opérateur pousse la pièce de bois contre la lame de la scie à ruban.
La vitesse d’avance de la pièce est v = 30 m/min.
On veut connaître la distance parcourue par la pièce en 5 minutes de travail continu.
Données
Vitesse d’avance : v = 30 m/min
Durée : Δt = 5 min
Trajectoire de la pièce : rectiligne (guide droit)
Calcul
On applique la formule fondamentale :
\[ d = v \times \Delta t = 30 \times 5 = \mathbf{150\ \text{m}} \]
En 5 minutes, la pièce a parcouru 150 m par rapport à la lame.
Si chaque planche fait 2,5 m, cela correspond à \( 150 \div 2{,}5 = \mathbf{60\ \text{planches}} \) débitées.
Sur une fraiseuse CNC (commande numérique), l’outil réalise un profil composé de deux phases :
Passe rectiligne : l’outil se déplace en ligne droite sur la longueur de la pièce
(trajectoire rectiligne). Vitesse d’avance : v = 0,6 m/min. Longueur de la passe : L = 1,8 m.
Congé (raccordement arrondi) : l’outil suit un arc de cercle pour adoucir un angle
(trajectoire circulaire). Rayon du congé : r = 15 mm = 0,015 m.
Le programme CNC combine donc des mouvements G01 (interpolation linéaire = rectiligne)
et des mouvements G02/G03 (interpolation circulaire = arc de cercle) pour obtenir le profil final.
Application 3 — Tapis convoyeur de plateforme logistique
Contexte
Dans un entrepôt, un tapis convoyeur transporte des colis du poste d’emballage au quai d’expédition.
La vitesse du tapis est v = 0,5 m/s.
La distance entre les deux postes est d = 8 m.
On veut calculer le temps nécessaire pour qu’un colis parcoure toute la longueur du convoyeur.
Remarque industrielle : si l’opérateur expédie un colis toutes les 16 s, la cadence horaire est
\( 3600 \div 16 = 225\ \text{colis/h} \). La vitesse du convoyeur est un paramètre clé de la productivité de la plateforme.
Application
Partie A — Scie à ruban : la vitesse d’avance de la pièce est v = 24 m/min.
Convertir cette vitesse en m/s.
Calculer la distance parcourue en 3 min de débit continu.
Si chaque planche fait 2 m, combien de planches sont débitées en 3 min ?
Partie B — Convoyeur : un tapis roule à v = 0,3 m/s. La distance entre deux postes est 12 m.
Calculer la durée de transport d’un colis.
Combien de colis peuvent être transportés en 1 heure ?
Partie A
\( v = \dfrac{24}{60} = \mathbf{0{,}4\ \text{m/s}} \)
\( \Delta t = \dfrac{12}{0{,}3} = \mathbf{40\ \text{s}} \)
En 1 h = 3600 s : \( 3600 \div 40 = \mathbf{90\ \text{colis/h}} \)
8. Mouvement circulaire : fréquence de rotation et vitesse linéaire
Observons deux situations très différentes où la rotation joue un rôle central :
Une lame de scie circulaire tourne sur elle-même à grande vitesse : chaque dent décrit un cercle autour de l’axe. C’est la vitesse en bord de lame qui détermine la qualité de la coupe.
Un vélo roule sur une route : la roue tourne et, en même temps, le vélo avance. À chaque tour de roue, le vélo parcourt exactement la circonférence de la roue sur le sol.
Dans les deux cas, on a besoin de savoir combien de tours par seconde effectue l’objet et quelle distance parcourt un point sur le bord. C’est ce que mesurent la fréquence de rotation et la vitesse linéaire.
8.1 Fréquence de rotation et période
Définition
La fréquence de rotation \(n\) est le nombre de tours effectués par un objet en une seconde.
Unité : tours par seconde (tr/s) ou hertz (Hz). 1 tr/s = 1 Hz = un tour complet chaque seconde.
Définition
La période de rotation \(T\) est la durée nécessaire pour effectuer un tour complet.
Unité : seconde (s).
\( T = \dfrac{1}{n} \qquad \text{et} \qquad n = \dfrac{1}{T} \)
T : période (s) • n : fréquence de rotation (tr/s ou Hz)
Attention — Conversion tr/min → tr/s
Sur les machines, la vitesse de rotation est presque toujours indiquée en tours par minute (tr/min). Il faut diviser par 60 pour obtenir des tr/s avant de faire les calculs :
\[ n\ (\text{tr/s}) = \frac{N\ (\text{tr/min})}{60} \]
Ne jamais oublier cette conversion ! C’est l’erreur la plus fréquente dans les exercices.
Exemple complet — Scie circulaire d’atelier
La plaque signalétique d’une scie circulaire de chantier indique : 3 000 tr/min.
Question 1 : Quelle est la fréquence de rotation en tr/s ?
\[ n = \frac{N}{60} = \frac{3\,000}{60} = \mathbf{50\ \text{tr/s}} \]
La lame fait un tour complet en seulement 20 millisecondes, soit 20 fois plus vite qu’un battement de cil (environ 400 ms). C’est cette vitesse qui rend la scie efficace… et dangereuse.
Application — Fréquence et période d'un moteur
La plaque signalétique d'un moteur de ventilation indique une vitesse de rotation \(N = 1\,500\) tr/min.
Convertir cette vitesse en fréquence de rotation \(n\) (en tr/s).
Calculer la période de rotation \(T\) (durée d'un tour), en s puis en ms.
Un touret à meuler d'atelier tourne à \(N = 2\,850\) tr/min. Calculer sa fréquence en tr/s.
\( n = \dfrac{2\,850}{60} = \mathbf{47{,}5\ \text{tr/s}} \).
8.2 Vitesse linéaire d’un point en rotation
Imaginons une fourmi posée sur le bord de la lame de scie. À chaque tour complet, elle parcourt exactement le périmètre du cercle (la circonférence) :
\[ C = \pi \times d \]
Si elle fait \(n\) tours par seconde, la distance parcourue en une seconde vaut \(C \times n\). C’est sa vitesse linéaire.
Propriété fondamentale
La vitesse linéaire \(v\) d’un point situé à la distance \(r\) de l’axe de rotation vaut :
\[ \boxed{v = \pi \times d \times n} \qquad \text{ou de façon équivalente :} \qquad \boxed{v = 2\pi \times r \times n} \]
v : vitesse linéaire (m/s) • d : diamètre (m) • r : rayon (m) • n : fréquence (tr/s)
Méthode — Calculer une vitesse linéaire en 3 étapes
Convertir la vitesse de rotation en tr/s : \( n = N\,(\text{tr/min}) \div 60 \)
Convertir le diamètre (ou le rayon) en mètres
Appliquer la formule : \( v = \pi \times d \times n \)
Exemple — Vitesse de coupe de la scie circulaire
Reprenons notre scie circulaire (\(n = 50\) tr/s). Sa lame a un diamètre \(d = 25\) cm.
Étape 1 : Conversion du diamètre en mètres
\[ d = 25\ \text{cm} = 0{,}25\ \text{m} \]
Étape 2 : Calcul de la vitesse linéaire en bord de lame
\[ v = \pi \times d \times n = \pi \times 0{,}25 \times 50 \approx \mathbf{39{,}3\ \text{m/s}} \]
Interprétation : Chaque dent de la scie se déplace à 39,3 m/s, soit environ 141 km/h. C’est la vitesse d’une voiture sur autoroute ! Voilà pourquoi il est interdit d’approcher la main de la lame, et pourquoi les guides et protecteurs sont obligatoires.
Retour à la situation d’ouverture — Poulie de ventilation
Revenons au technicien de maintenance de l’introduction : il doit contrôler la vitesse de la courroie d’un moteur de ventilation dont la poulie a un diamètre \(d = 40\) cm. Il mesure une fréquence de rotation \(N = 1\,500\) tr/min.
Conversion de la fréquence :
\[ n = \frac{1\,500}{60} = \mathbf{25\ \text{tr/s}} \]
Vitesse linéaire de la courroie :
\[ v = \pi \times d \times n = \pi \times 0{,}40 \times 25 \approx \mathbf{31{,}4\ \text{m/s}} \]
Il peut désormais comparer cette valeur à celle recommandée par le fabricant pour savoir si la courroie doit être retendue ou réglée.
8.3 La vitesse dépend de la distance à l’axe
Tous les points de la lame tournent à la même fréquence \(n\), mais ils ne vont pas à la même vitesse linéaire. Un point proche de l’axe parcourt un petit cercle, un point au bord parcourt un grand cercle — dans le même temps.
Propriété
À fréquence de rotation égale, plus un point est éloigné de l’axe, plus sa vitesse linéaire est grande.
La vitesse est proportionnelle au rayon : si on double le rayon, on double la vitesse.
Exemple — Deux points sur la même lame
Lame de scie circulaire, \(d = 25\) cm, \(n = 50\) tr/s.
Point A — au bord de la lame (\(r_A = 12{,}5\) cm = 0,125 m) :
\( v_A = 2\pi \times 0{,}125 \times 50 \approx \mathbf{39{,}3\ \text{m/s}} \)
Point B — à mi-rayon (\(r_B = 6{,}25\) cm = 0,0625 m) :
\( v_B = 2\pi \times 0{,}0625 \times 50 \approx \mathbf{19{,}6\ \text{m/s}} \)
Le point B est deux fois plus près de l’axe que le point A : sa vitesse est exactement deux fois plus petite. C’est pourquoi c’est le bord de la lame qui coupe, pas le centre.
Lame de scie circulaire vue de face : le point A (au bord) va deux fois plus vite que le point B (à mi-rayon)
8.4 Rotation et déplacement : la roue qui avance
Quand une roue tourne sans glisser sur le sol (vélo, voiture, chariot d’atelier), il existe un lien direct entre sa rotation et la distance qu’elle parcourt :
Propriété À chaque tour complet, la roue avance d’une distance égale à sa circonférence :
\[ d_{1\ tour} = \pi \times d \]
d1 tour : distance parcourue en un tour (m) • d : diamètre de la roue (m)
Si la roue effectue \(n\) tours par seconde, la vitesse de déplacement du véhicule est :
\[ \boxed{v_{v\acute{e}hicule} = \pi \times d \times n} \]
C’est exactement la même formule que la vitesse d’un point du bord de la roue par rapport à l’axe (le centre) de la roue : en un tour, ce point décrit une circonférence, exactement comme le véhicule avance d’une circonférence. C’est pourquoi la vitesse du véhicule est égale à cette vitesse de rotation du bord.
Idée fausse fréquente
Le point de la roue en contact avec le sol n’avance pas à la vitesse du véhicule. À l’instant précis où il touche le sol, ce point a une vitesse nulle par rapport au sol — c’est justement ce qui permet de rouler sans glisser. C’est le centre de la roue qui se déplace à la vitesse \(v\) ; le haut de la roue va, lui, environ deux fois plus vite.
Exemple complet — Roue de vélo
Un cycliste roule sur une piste. Ses roues ont un diamètre \(d = 70\) cm et tournent à \(N = 120\) tr/min.
Conversion : \( 4{,}40 \times 3{,}6 \approx \mathbf{15{,}8\ \text{km/h}} \). C’est une allure de balade tranquille.
Vérification : en 1 seconde, la roue fait 2 tours, donc le vélo avance de \(2 \times 2{,}20 = 4{,}40\) m. C’est bien cohérent.
Une roue de vélo (d = 70 cm) avance de π × d ≈ 2,20 m à chaque tour complet
Ne pas confondre !
Vitesse linéaire d’un point sur le bord (\(v = \pi d n\)) : c’est la distance parcourue le long du cercle par seconde (mouvement circulaire).
Vitesse d’avancement d’une roue sur le sol (\(v = \pi d n\)) : c’est la distance parcourue en ligne droite par seconde.
Les deux formules sont identiques car, sans glissement, la distance parcourue sur le sol égale exactement l’arc déroulé de la roue.
8.5 Exemple récapitulatif : du tr/min à la vitesse en km/h
Méthode complète sur un exemple concret
Un chariot motorisé d’atelier a des roues de diamètre \(d = 20\) cm. Le moteur entraîne les roues à \(N = 150\) tr/min. À quelle vitesse avance le chariot ?
8.7 Déterminer expérimentalement une fréquence de rotation
La plaque signalétique donne une vitesse nominale, celle prévue par le constructeur. La vitesse réelle peut être différente : courroie détendue, machine en charge, variateur mal réglé. Il faut alors la mesurer, et cela ne demande qu’un repère et un chronomètre.
Méthode — Mesurer la fréquence de rotation
Faire une marque bien visible (craie, ruban adhésif) sur la pièce qui tourne.
Compter le nombre de tours \(N_{\text{tours}}\) pendant une durée \(\Delta t\) relevée au chronomètre. Compter au moins une vingtaine de tours : plus la durée est longue, moins l’erreur de déclenchement pèse.
Diviser le nombre de tours par la durée, exprimée en secondes.
\( n = \dfrac{N_{\text{tours}}}{\Delta t} \)
n : fréquence de rotation (tr/s ou Hz) • Ntours : nombre de tours comptés • Δt : durée en secondes (s)
En atelier, on utilise aussi un tachymètre (optique, avec une pastille réfléchissante, ou de contact) : il affiche directement la valeur, le plus souvent en tr/min.
Exemple — Contrôler un brasseur d’air de plafond
Dans un atelier chauffé, un brasseur d’air de plafond renvoie vers le bas l’air chaud accumulé sous la toiture : c’est un appareil qui tourne lentement, à quelques dizaines de tours par minute. Un technicien de maintenance colle un repère de couleur sur une pale et compte 42 tours en 35 s.
\[ T = \frac{1}{n} = \frac{1}{1{,}2} \approx \mathbf{0{,}83\ \text{s}} \]
Conversion en tours par minute :
\[ N = n \times 60 = 1{,}2 \times 60 = \mathbf{72\ \text{tr/min}} \]
La plaque annonce 75 tr/min. L’écart est de \(75 - 72 = 3\) tr/min, soit \(3 \div 75 = 0{,}04 = 4\ \%\) : la machine tourne un peu moins vite que sa valeur nominale, un écart de cet ordre est courant en fonctionnement. Un écart beaucoup plus grand aurait signalé un défaut — variateur mal réglé, roulement qui freine.
Application — Mesurer la rotation d’un treuil
Sur un chantier, un technicien repère le tambour d’un treuil et compte 24 tours en 40 s. Le tambour a un diamètre \(d = 0{,}50\) m.
Calculer la fréquence de rotation \(n\) du tambour, en tr/s.
En déduire la période de rotation \(T\).
Exprimer cette fréquence en tours par minute.
Le câble s’enroule sur le tambour sans glisser. Calculer la vitesse de remontée du câble, en m/s.
\( n = \dfrac{24}{40} = \mathbf{0{,}6\ \text{tr/s}} \)
\( T = \dfrac{1}{0{,}6} \approx \mathbf{1{,}7\ \text{s}} \) : chaque tour dure un peu moins de 2 secondes.
\( N = 0{,}6 \times 60 = \mathbf{36\ \text{tr/min}} \)
\( v = \pi \times d \times n = \pi \times 0{,}50 \times 0{,}6 \approx \mathbf{0{,}94\ \text{m/s}} \) — la charge monte à peu près à la vitesse d’un pas de marche.
9. À retenir
À retenir
Un référentiel est indispensable pour décrire un mouvement. Un même objet peut être en mouvement dans un référentiel et au repos dans un autre.
La trajectoire est l’ensemble des positions successives. Elle peut être rectiligne, circulaire ou curviligne.
La vitesse moyenne se calcule par \( v = d / \Delta t \). Les unités sont m/s (SI) ou km/h. Conversion : 1 m/s = 3,6 km/h.
Un mouvement est uniforme (v constante), accéléré (v croissante) ou décéléré (v décroissante).
En chronophotographie : positions équidistantes = mouvement uniforme ; espaces croissants = accélération ; espaces décroissants = décélération.
La fréquence de rotation \(n\) est le nombre de tours par seconde (tr/s ou Hz). La période \(T = 1/n\) est la durée d’un tour.
La vitesse linéaire d’un point en rotation : \( v = \pi \times d \times n \). Elle dépend du diamètre et de la fréquence.
Pour une roue qui roule sans glisser, la vitesse d’avancement est égale à la vitesse linéaire du bord : \( v = \pi \times d \times n \).