Chapitre 12 | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On donne \(\vec u\,(5\,;-2)\) et \(\vec v\,(3\,;4)\).
1. Calculer \(\vec u\cdot\vec v\). (1,5 pt)
2. Calculer \(\lVert\vec u\rVert\) et \(\lVert\vec v\rVert\) (valeurs exactes puis arrondies au centième). (2 pts)
3. On considère \(\vec w\,(k\,;10)\). Déterminer le réel \(k\) pour que \(\vec u\) et \(\vec w\) soient orthogonaux. (1,5 pt)
4. Calculer \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)\) et vérifier que le résultat vaut \(\lVert\vec u\rVert^2-\lVert\vec v\rVert^2\). (2 pts)
1. \(\vec u\cdot\vec v=5\times 3+(-2)\times 4=15-8=7\). (1,5 pt)
2. \(\lVert\vec u\rVert=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{29}\approx 5{,}39\) ; \(\lVert\vec v\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\). (2 pts)
3. \(\vec u\cdot\vec w=5k+(-2)\times 10=5k-20\). Orthogonalité : \(5k-20=0\iff k=4\). (1,5 pt)
4. \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\lVert\vec u\rVert^2-\lVert\vec v\rVert^2=29-25=4\). Vérification par coordonnées : \(\vec u+\vec v\,(8\,;2)\), \(\vec u-\vec v\,(2\,;-6)\), produit \(=8\times 2+2\times(-6)=16-12=4\). (2 pts)
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(0\,;0)\), \(B(6\,;0)\) et \(C(2\,;5)\).
1. Donner les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). (1 pt)
2. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), puis les longueurs \(AB\) et \(AC\). (2 pts)
3. En déduire une valeur approchée au dixième de degré de l'angle \(\widehat{BAC}\). (2 pts)
4. Calculer la longueur \(BC\) par le calcul de coordonnées, puis retrouver \(BC\) à l'aide du théorème d'Al-Kashi dans le triangle \(ABC\). (2 pts)
1. \(\overrightarrow{AB}\,(6\,;0)\) et \(\overrightarrow{AC}\,(2\,;5)\). (1 pt)
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\times 2+0\times 5=12\). \(AB=\sqrt{6^2+0^2}=6\) ; \(AC=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\approx 5{,}39\). (2 pts)
3. \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{12}{6\times\sqrt{29}}=\dfrac{2}{\sqrt{29}}\approx 0{,}3714\), donc \(\widehat{BAC}\approx 68{,}2°\). (2 pts)
4. Par coordonnées : \(\overrightarrow{BC}\,(-4\,;5)\), \(BC=\sqrt{(-4)^2+5^2}=\sqrt{41}\approx 6{,}40\).
Par Al-Kashi : \(BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{A}=36+29-2\times 6\times\sqrt{29}\times\dfrac{2}{\sqrt{29}}=65-24=41\), donc \(BC=\sqrt{41}\) : cohérent. (2 pts)
Un ouvrier tire une caisse sur un sol horizontal rectiligne \([AB]\) avec \(AB=20\) m. La force de traction \(\vec F\) a pour intensité \(\lVert\vec F\rVert=150\) N et fait un angle \(\alpha=35°\) avec l'horizontale.
1. Calculer le travail \(W_{AB}(\vec F)\) de la force de traction (au joule près). (2 pts)
2. Le poids \(\vec P\) de la caisse est vertical (vers le bas). Quel est l'angle entre \(\vec P\) et le déplacement horizontal \(\overrightarrow{AB}\) ? En déduire le travail \(W_{AB}(\vec P)\). Justifier. (2 pts)
3. On ajoute une force de frottement \(\vec f\) de sens opposé au déplacement, d'intensité \(\lVert\vec f\rVert=40\) N. Calculer son travail, puis le travail total \(W_{AB}(\vec F)+W_{AB}(\vec P)+W_{AB}(\vec f)\). (2 pts)
1. \(W_{AB}(\vec F)=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}=\lVert\vec F\rVert\times AB\times\cos 35°=150\times 20\times 0{,}8192\approx 2458\ \text{J}\). (2 pts)
2. \(\vec P\) est vertical et le déplacement est horizontal : l'angle vaut \(90°\). Donc \(W_{AB}(\vec P)=\lVert\vec P\rVert\times AB\times\cos 90°=0\) : le travail du poids est nul (force perpendiculaire au déplacement). (2 pts)
3. \(\vec f\) est opposée au déplacement, donc l'angle vaut \(180°\) : \(W_{AB}(\vec f)=40\times 20\times\cos 180°=-800\ \text{J}\) (travail résistant).
Travail total : \(2458+0-800=1658\ \text{J}\). (2 pts)