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Fiche – Produit scalaire
Chapitre 12 | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
L'essentiel :
- Deux expressions : \(\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos\theta\) et, en base orthonormée, \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\).
- Le produit scalaire est un nombre réel (pas un vecteur).
- Orthogonalité : \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\).
- Le signe du produit scalaire est celui de \(\cos\theta\) : positif si l'angle est aigu, négatif s'il est obtus.
- Al-Kashi généralise Pythagore ; le travail d'une force est un produit scalaire.
Définitions clés
Définition
Produit scalaire : pour \(\vec u,\vec v\) non nuls d'angle \(\theta\), \(\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos\theta\). Si l'un est nul, \(\vec u\cdot\vec v=0\).
Définition
Projection : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overline{AB}\times\overline{AH}\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) et \(\overline{AH}=\lVert\overrightarrow{AC}\rVert\cos\theta\).
Définition
Carré scalaire : \(\vec u\cdot\vec u=\lVert\vec u\rVert^2\), donc \(\lVert\vec u\rVert=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}\).
Définition
Travail d'une force : \(W_{AB}(\vec F)=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}=\lVert\vec F\rVert\times AB\times\cos\alpha\) (en joules).
À connaître par cœur
Base orthonormée
\[\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\qquad \lVert\vec u\rVert=\sqrt{x^2+y^2}\]
\[\vec u\perp\vec v\iff xx'+yy'=0\]
Symétrie et bilinéarité
\[\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\qquad (k\vec u)\cdot\vec v=k\,(\vec u\cdot\vec v)\]
\[\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\]
Développement des normes
\[\lVert\vec u\pm\vec v\rVert^2=\lVert\vec u\rVert^2\pm 2\,\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2\]
\[\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\lVert\vec u\rVert^2+\lVert\vec v\rVert^2-\lVert\vec u-\vec v\rVert^2\big)\]
Angle non orienté
\[\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert}\qquad \theta=\arccos(\cos\theta)\]
Al-Kashi et parallélogramme
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}\]
\[\lVert\vec u+\vec v\rVert^2+\lVert\vec u-\vec v\rVert^2=2\big(\lVert\vec u\rVert^2+\lVert\vec v\rVert^2\big)\]
Méthode — Réflexes de calcul
Méthode — Choisir la formule
- Coordonnées connues → \(xx'+yy'\).
- Normes et angle connus → \(\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos\theta\).
- Une projection connue → \(\overline{AB}\times\overline{AH}\).
- Trois normes connues → identité de polarisation.
Méthode — Angle, orthogonalité, longueur
- Orthogonalité : montrer que \(\vec u\cdot\vec v=0\).
- Angle : \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert}\) puis \(\arccos\).
- Longueur d'un côté : Al-Kashi si deux côtés et l'angle inclus sont connus.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Écrire \(\vec u\cdot\vec v\) comme un vecteur.
✅ C'est un nombre réel.
❌ Utiliser \(xx'+yy'\) hors base orthonormée.
✅ Valable uniquement en base orthonormée.
❌ Oublier le signe négatif du cosinus d'un angle obtus.
✅ Angle obtus ⇒ \(\cos\theta\lt 0\) ⇒ produit scalaire négatif.
❌ Associer le mauvais angle au côté dans Al-Kashi.
✅ \(\widehat{A}\) est opposé à \(a\) ; terme \(-2bc\cos\widehat{A}\).
Exemple rapide
Exemple — repère orthonormé
\(\vec u\,(2\,;1)\), \(\vec v\,(1\,;3)\).
- \(\vec u\cdot\vec v=2\times 1+1\times 3=5\).
- \(\lVert\vec u\rVert=\sqrt5\), \(\lVert\vec v\rVert=\sqrt{10}\).
- \(\cos\theta=\dfrac{5}{\sqrt5\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt2}\Rightarrow\theta=45°\).