Activité — Produit scalaire

Chapitre 11 | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Calculer un produit scalaire par la formule analytique
Vérifier la perpendicularité de deux vecteurs (\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\))
Calculer l'angle entre deux vecteurs et la distance d'un point à une droite

Situation professionnelle — Vérification de l'équerrage d'un plan de travail

Technicienne d'agencement : Nathalie Ros — atelier Ros Intérieur, Perpignan.

Nathalie installe un plan de travail en L. Elle modélise les deux rebords par des vecteurs sur un repère orthonormé (unité : dm) :

\(\vec{u} = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\)

Elle veut vérifier si les deux rebords sont bien perpendiculaires.

Plan de travail en L (vecteurs des rebords)

Si \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\), les deux rebords forment un angle droit : le plan de travail en L est correctement équerré.

Problématique : Comment démontrer mathématiquement que les deux rebords d'un plan de travail en L sont bien perpendiculaires, à partir de leurs coordonnées dans un repère ?

Question 1 APP

Rappelle la formule du produit scalaire par les coordonnées : \(\vec{u} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\).
Calcule \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) pour \(\vec{u} = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\).
Les deux rebords sont-ils perpendiculaires ? Justifie.

Produit scalaire : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = ac + bd\) | \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\) et \(\vec{u}\neq\vec{0}\), \(\vec{v}\neq\vec{0}\) ↔ perpendiculaires

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = ac + bd\)
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\)
Oui, \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\) → les vecteurs sont perpendiculaires → les rebords sont bien à angle droit. ✔

Question 2 REA

Nathalie mesure l'angle entre deux poutres de vecteurs directeurs \(\vec{p} = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{q} = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\).

Angle entre deux vecteurs : \(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}\)

Calcule \(\vec{p}\cdot\vec{q}\), \(\|\vec{p}\|\) et \(\|\vec{q}\|\).
En déduis \(\cos\theta\) puis \(\theta\) en degrés.

\(\vec{p}\cdot\vec{q} = 3 \times 1 + 1 \times 3 = 6\)
\(\|\vec{p}\| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\) et \(\|\vec{q}\| = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}\)
\(\cos\theta = \dfrac{6}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\)
\(\theta = \arccos(0{,}6) \approx \mathbf{53{,}1°}\)

Question 3 REA

La droite \(d\) a pour équation \(2x - y + 3 = 0\).

Quel est le vecteur normal à cette droite ?
Calcule la distance du point \(M(4\,;\,1)\) à la droite \(d\).

Droite \(ax + by + c = 0\) : vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) | Distance : \(d(M,\Delta) = \dfrac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\)
\(d(M, d) = \dfrac{|2 \times 4 - 1 \times 1 + 3|}{\sqrt{4+1}} = \dfrac{|8 - 1 + 3|}{\sqrt{5}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \approx \mathbf{4{,}47\,\text{dm}}\)

Question 4 ANA

Nathalie veut trouver l'équation de la droite passant par \(A(2\,;\,3)\) et perpendiculaire à la droite \(\Delta : x + 2y - 5 = 0\).

Quel est le vecteur normal de \(\Delta\) ?
La droite cherchée est perpendiculaire à \(\Delta\) : quel est son vecteur directeur ?
Écris l'équation de la droite cherchée sous la forme \(ax + by + c = 0\) en utilisant le point \(A\).

Vecteur normal de \(\Delta\) : \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)
La droite cherchée est perpendiculaire à \(\Delta\), donc son vecteur directeur est \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) (le normal de l'une est le directeur de la perp.).
Son vecteur normal est donc \(\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\).
Équation : \(2(x - 2) - 1(y - 3) = 0\) → \(2x - 4 - y + 3 = 0\) → \(\mathbf{2x - y - 1 = 0}\)

Pour aller plus loin (bonus)

Nathalie envisage maintenant un plan de travail en U avec un troisième rebord de vecteur \(\vec{w} = \binom{3}{6}\). Le rebord \(\vec{w}\) est-il perpendiculaire à \(\vec{u} = \binom{4}{2}\) ? Quel est l'angle entre \(\vec{w}\) et \(\vec{u}\) ?

\(\vec{u}\cdot\vec{w} = 4 \times 3 + 2 \times 6 = 12 + 12 = 24 \neq 0\). Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas perpendiculaires.

\(\|\vec{u}\| = \sqrt{20}\), \(\|\vec{w}\| = \sqrt{45}\). \(\cos\theta = 24 / (\sqrt{20} \cdot \sqrt{45}) = 24/\sqrt{900} = 24/30 = 0{,}8\). Donc \(\theta = \arccos(0{,}8) \approx \mathbf{36{,}9°}\).

À retenir

Produit scalaire

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = ac + bd\) pour \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\)
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\) ↔ \(\vec{u} \perp \vec{v}\) (vecteurs non nuls)
Angle : \(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}\)
Droite \(ax+by+c=0\) : vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\)
Distance point-droite : \(\dfrac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Définition du produit scalaire), §2 (Calcul vectoriel et coordonnées) et §3 (Applications géométriques) de la leçon CH11.