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Activité — Nombres complexes

Chapitre 10  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Situation professionnelle — Circuit électrique en courant alternatif

Technicien CVC : Antoine Vidal — entreprise Vidal Thermique & Clim, Nîmes.

Antoine installe une pompe à chaleur. Le circuit comporte une résistance \(R = 3\,\Omega\) et une réactance \(X = 4\,\Omega\). L'impédance du circuit est le nombre complexe :

\(Z = R + jX = 3 + 4j\)

(En électricité, on utilise \(j\) à la place de \(i\) pour éviter la confusion avec l'intensité.)

Représentation dans le plan complexe

Re (R) Im (X) 0 1 2 3 1 2 3 4 Z = 3 + 4j |Z| = 5

L'impédance Z se représente par un point dans le plan complexe. Son module |Z| = 5 Ω est la longueur du segment OM (théorème de Pythagore).

Problématique : Quelle est l'impédance effective (module) du circuit de la pompe à chaleur, et comment la calculer à partir des valeurs de résistance et de réactance ?

Question 1  APP

  1. Dans \(Z = 3 + 4j\), identifie la partie réelle et la partie imaginaire.
  2. L'équation \(x^2 = -1\) n'a pas de solution réelle. On définit \(i\) tel que \(i^2 = -1\). Calcule \(i^2\), \(i^3\) et \(i^4\).
  3. Représente \(Z = 3 + 4j\) dans un repère (plan complexe) : place le point \(M(3\,;\,4)\).
  1. Partie réelle : \(\text{Re}(Z) = 3\)  |  Partie imaginaire : \(\text{Im}(Z) = 4\)
  2. \(i^2 = -1\)  |  \(i^3 = i^2 \times i = -i\)  |  \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\)
  3. Le point M est à l'abscisse 3 et à l'ordonnée 4 dans le plan complexe.

Question 2  REA

Antoine a deux composants d'impédances \(Z_1 = 2 + 3j\) et \(Z_2 = 1 - j\).

En série, les impédances s'additionnent. En parallèle, on calcule autrement.

  1. Calcule \(Z_1 + Z_2\).
  2. Calcule \(Z_1 - Z_2\).
  3. Calcule \(Z_1 \times Z_2\) (développe en utilisant \(j^2 = -1\)).
  1. \(Z_1 + Z_2 = (2+1) + (3-1)j = \mathbf{3 + 2j}\)
  2. \(Z_1 - Z_2 = (2-1) + (3-(-1))j = \mathbf{1 + 4j}\)
  3. \(Z_1 \times Z_2 = (2+3j)(1-j) = 2 - 2j + 3j - 3j^2 = 2 + j - 3 \times (-1) = 2 + j + 3 = \mathbf{5 + j}\)

Question 3  REA

Le module de l'impédance donne la valeur absolue de la résistance totale :

\(|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) pour \(Z = a + bj\)
  1. Calcule \(|Z|\) pour \(Z = 3 + 4j\).
  2. L'intensité du courant est \(I = \dfrac{U}{|Z|}\). Si la tension est \(U = 230\,\text{V}\), calcule \(I\).
  1. \(|Z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5\,\Omega}\)
  2. \(I = \dfrac{230}{5} = \mathbf{46\,\text{A}}\)

Question 4  ANA

Le conjugué de \(Z = a + bj\) est \(\bar{Z} = a - bj\).

  1. Calcule \(\bar{Z}\) pour \(Z = 3 + 4j\).
  2. Calcule \(Z \times \bar{Z}\). Que remarques-tu ? (Lien avec \(|Z|^2\).)
  3. Calcule \(\dfrac{1}{Z} = \dfrac{\bar{Z}}{|Z|^2}\) pour \(Z = 3 + 4j\). Donne la partie réelle et imaginaire.
  1. \(\bar{Z} = 3 - 4j\)
  2. \(Z \times \bar{Z} = (3+4j)(3-4j) = 9 - 12j + 12j - 16j^2 = 9 + 16 = 25 = |Z|^2\) ✔
  3. \(\dfrac{1}{Z} = \dfrac{3-4j}{25} = \dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}j = 0{,}12 - 0{,}16j\)

Question 5  VAL

Antoine doit résoudre l'équation \(z^2 + 2z + 5 = 0\) (discriminant négatif).

  1. Calcule \(\Delta = b^2 - 4ac\). Est-il positif ou négatif ?
  2. Les solutions complexes sont \(z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\). Calcule les deux solutions.
  1. \(\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\) → pas de solution réelle, deux solutions complexes.
  2. \(z = \dfrac{-2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \dfrac{-2 \pm 4i}{2}\)
    \(z_1 = -1 + 2i\)  et  \(z_2 = -1 - 2i\)
Pour aller plus loin (bonus)

Antoine ajoute en parallèle une seconde branche d'impédance Z₂ = 6 + 8j Ω. Calculer le module |Z₂|. Comparer aux deux branches : laquelle laisse passer le plus de courant à tension égale ?

\(|Z_2| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = \mathbf{10 \text{ Ω}}\). C'est exactement deux fois |Z| = 5 Ω.

À tension égale (U = 230 V), \(I_1 = 230/5 = 46\) A et \(I_2 = 230/10 = 23\) A. La branche d'impédance la plus faible (Z = 5 Ω) laisse passer 2 fois plus de courant : c'est elle qui « tire » le plus.

À retenir

Nombres complexes

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Forme algébrique), §2 (Module et argument) et §3 (Forme trigonométrique) de la leçon CH10.

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