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Activité — Fonctions ln et exponentielle

Chapitre 9  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Situation professionnelle — Séchage de planches de bois

Responsable sécherie : Marc Faure — scierie Faure Bois, Aurillac.

Marc fait sécher des planches de chêne. L'humidité initiale est \(H_0 = 40\,\%\). Après \(t\) jours, l'humidité suit le modèle :

\(H(t) = 40 \times e^{-0{,}1t}\)

L'objectif est d'atteindre une humidité inférieure à 12 % avant livraison.

Courbe de séchage H(t) = 40 e−0,1t

t (jours) H (%) 40 25 12 t ≈ 12 jours 0 12 20 30

Décroissance exponentielle : l'humidité descend rapidement au début, puis de plus en plus lentement.

Problématique : Au bout de combien de jours les planches de chêne seront-elles suffisamment sèches pour être livrées, et comment le calculer précisément ?

Question 1  APP

  1. Calcule \(H(0)\). Est-ce cohérent avec l'humidité initiale ?
  2. La fonction \(H(t) = 40 \times e^{-0{,}1t}\) est-elle croissante ou décroissante ? Pourquoi ?
  3. Calcule \(H(10)\) et \(H(20)\) (utilise \(e^{-1} \approx 0{,}368\) et \(e^{-2} \approx 0{,}135\)).
  1. \(H(0) = 40 \times e^0 = 40 \times 1 = \mathbf{40\,\%}\) ✔
  2. L'exposant \(-0{,}1t\) est négatif et décroît → \(e^{-0{,}1t}\) décroît → \(H(t)\) est décroissante.
  3. \(H(10) = 40 \times e^{-1} \approx 40 \times 0{,}368 = \mathbf{14{,}7\,\%}\)
    \(H(20) = 40 \times e^{-2} \approx 40 \times 0{,}135 = \mathbf{5{,}4\,\%}\)

Question 2  ANA

Pour résoudre \(H(t) < 12\), on cherche \(t\) tel que \(40 \times e^{-0{,}1t} = 12\).

  1. Isole \(e^{-0{,}1t}\) en divisant des deux membres.
  2. Pour résoudre \(e^{u} = k\), on utilise \(u = \ln(k)\). Applique cette propriété.
  3. Résous pour \(t\).
Propriété fondamentale : \(e^u = k \Leftrightarrow u = \ln(k)\)  (pour \(k > 0\))
  1. \(e^{-0{,}1t} = \dfrac{12}{40} = 0{,}3\)
  2. \(-0{,}1t = \ln(0{,}3)\)
  3. \(t = \dfrac{\ln(0{,}3)}{-0{,}1} = \dfrac{-1{,}204}{-0{,}1} \approx \mathbf{12{,}0\,\text{jours}}\)

Question 3  REA

Simplifie les expressions suivantes sans calculatrice :

  1. \(\ln(e^3)\)
  2. \(e^{\ln(5)}\)
  3. \(\ln(e)\)
  4. \(\ln(1)\)
Rappels : \(\ln(e^a) = a\)  |  \(e^{\ln(a)} = a\)  |  \(\ln(e) = 1\)  |  \(\ln(1) = 0\)
  1. \(\ln(e^3) = 3\)
  2. \(e^{\ln(5)} = 5\)
  3. \(\ln(e) = 1\)
  4. \(\ln(1) = 0\)

Question 4  REA

Utilise les propriétés du logarithme pour simplifier :

  1. \(\ln(4) + \ln(25)\)
  2. \(\ln(100) - \ln(4)\)
  3. \(3\ln(2)\)
\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)  |  \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\)  |  \(\ln(a^n) = n\ln a\)
  1. \(\ln(4 \times 25) = \ln(100) = \ln(10^2) = 2\ln(10) \approx 2 \times 2{,}303 \approx 4{,}605\)
  2. \(\ln\!\left(\dfrac{100}{4}\right) = \ln(25)\)
  3. \(\ln(2^3) = \ln(8)\)

Question 5  VAL

Une autre planche suit \(T(t) = 20 + 60 \times e^{-0{,}05t}\) (modèle de Newton pour la température en °C).

  1. Quelle est la température initiale \(T(0)\) ?
  2. Vers quelle valeur tend \(T(t)\) quand \(t \to +\infty\) ? Que représente-t-elle ?
  3. Après combien de temps la planche atteint-elle 35 °C ? (Résous l'équation.)
  1. \(T(0) = 20 + 60 \times 1 = \mathbf{80\,°C}\)
  2. Quand \(t \to +\infty\), \(e^{-0{,}05t} \to 0\) → \(T(t) \to 20\,°C\). C'est la température ambiante.
  3. \(20 + 60e^{-0{,}05t} = 35\) → \(60e^{-0{,}05t} = 15\) → \(e^{-0{,}05t} = 0{,}25\)
    \(-0{,}05t = \ln(0{,}25) \approx -1{,}386\) → \(t \approx \mathbf{27{,}7\,\text{min}}\)
Pour aller plus loin (bonus)

Marc voudrait accélérer le séchage en augmentant la température de la sécherie, ce qui ferait passer la constante de 0,1 à 0,15 (nouveau modèle : H(t) = 40 e−0,15t). En combien de jours atteindrait-il alors les 12 % ? Le gain en temps justifie-t-il les coûts énergétiques ?

\(40 e^{-0{,}15t} = 12\) → \(e^{-0{,}15t} = 0{,}3\) → \(-0{,}15t = \ln 0{,}3 \approx -1{,}204\) → \(t \approx \mathbf{8{,}0 \text{ jours}}\).

Gain : 12 − 8 = 4 jours (33 % plus rapide). Le surcoût énergétique du chauffage doit être comparé au gain de productivité (rotation plus rapide des stocks, plus de planches sèches livrables).

À retenir

Fonctions ln et exponentielle

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Fonction logarithme népérien), §2 (Propriétés algébriques) et §3 (Études de fonctions ln et exp) de la leçon CH09.

Cours Ch09 →