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Activité — Calcul intégral

Chapitre 8  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 35 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Situation professionnelle — Section d'un profil bois cintré

Ébéniste : Émilie Bonnet — atelier Bonnet Ébénisterie, Rodez.

Émilie crée des pièces de bois cintrées dont la section transversale est délimitée par la courbe \(f(x) = -x^2 + 4\) (en cm) et l'axe des abscisses, pour \(x \in [-2\,;\,2]\).

Elle veut calculer la section (aire en cm²) de cette pièce pour estimer la quantité de matière.

Section du profil bois cintré

x y 0 −2 2 4 𝒜 = 32/3 cm² ≈ 10,67 cm²

L'intégrale ∫₋₂² f(x) dx donne l'aire de la zone bleue : c'est la section transversale de la pièce.

Problématique : Comment calculer exactement l'aire de la section de ce profil bois, sachant que sa forme est décrite par une courbe mathématique ?

Question 1  APP

  1. Calcule \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(2)\). Que représentent ces valeurs ?
  2. Où la courbe coupe-t-elle l'axe des abscisses ? (Résous \(f(x) = 0\).)
  3. La courbe est-elle au-dessus ou en dessous de l'axe sur \([-2\,;\,2]\) ?
  1. \(f(0) = 4\) cm, \(f(1) = 3\) cm, \(f(2) = 0\) cm — ce sont les hauteurs du profil à chaque abscisse.
  2. \(-x^2 + 4 = 0\) → \(x^2 = 4\) → \(x = -2\) ou \(x = 2\). La courbe coupe l'axe en \(x = \pm 2\).
  3. Sur \(]-2\,;\,2[\), \(f(x) = 4 - x^2 > 0\) : la courbe est au-dessus de l'axe.

Question 2  ANA

L'aire sous la courbe entre \(x = -2\) et \(x = 2\) est donnée par :

\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-2}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{-2}^{2} (-x^2 + 4)\,\mathrm{d}x\)

  1. Quelle primitive \(F(x)\) de \(f(x) = -x^2 + 4\) peux-tu trouver ?
  2. Rappelle la méthode : que vaut \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x\) en fonction de \(F\) ?
Primitives usuelles : \(\displaystyle\int x^n\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)  |  \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\)
  1. \(F(x) = -\dfrac{x^3}{3} + 4x\)
  2. \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\)

Question 3  REA

Calcule la section de la pièce en appliquant \(\mathcal{A} = F(2) - F(-2)\).

\(F(2) = -\dfrac{8}{3} + 8 = \dfrac{-8 + 24}{3} = \dfrac{16}{3}\)

\(F(-2) = -\dfrac{-8}{3} + 4 \times (-2) = \dfrac{8}{3} - 8 = \dfrac{8 - 24}{3} = -\dfrac{16}{3}\)

\(\mathcal{A} = \dfrac{16}{3} - \left(-\dfrac{16}{3}\right) = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67\,\text{cm}^2\)

Question 4  REA

Calcule les intégrales suivantes (primitives simples) :

  1. \(\displaystyle\int_{0}^{3} (2x + 1)\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle\int_{1}^{4} x^2\,\mathrm{d}x\)
  1. Primitive : \(F(x) = x^2 + x\)  →  \(F(3) - F(0) = (9+3) - 0 = \mathbf{12}\)
  2. Primitive : \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\)  →  \(F(4) - F(1) = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{63}{3} = \mathbf{21}\)

Question 5  ANA

Émilie produit 500 pièces identiques. La valeur moyenne du profil sur \([-2\,;\,2]\) est :

\(\overline{f} = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x\)

  1. Calcule la valeur moyenne de \(f\) sur \([-2\,;\,2]\).
  2. Interprète ce résultat : que représente-t-il pour la pièce en bois ?
  1. \(\overline{f} = \dfrac{1}{2-(-2)} \times \dfrac{32}{3} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{32}{3} = \dfrac{32}{12} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67\,\text{cm}\)
  2. La hauteur moyenne de la section est d'environ 2,67 cm. C'est comme si la pièce avait un profil rectangulaire de 4 cm × 2,67 cm de même aire.
Pour aller plus loin (bonus)

La pièce d'Émilie mesure 50 cm de longueur (perpendiculairement à la section). Calculer le volume total de bois utilisé. Si le bois pèse 700 kg/m³, quelle est la masse de la pièce ? (Attention aux unités.)

Volume = section × longueur = \(\dfrac{32}{3} \text{ cm}^2 \times 50 \text{ cm} = \dfrac{1600}{3} \text{ cm}^3 \approx 533 \text{ cm}^3\).

Conversion : 533 cm³ = 533 × 10⁻⁶ m³ = 5,33 × 10⁻⁴ m³.

Masse = volume × masse volumique = \(5{,}33 \times 10^{-4} \times 700 \approx \mathbf{0{,}37 \text{ kg}}\) (370 g).

À retenir

Calcul intégral

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Primitive), §2 (Calcul intégral) et §3 (Aire sous une courbe et valeur moyenne) de la leçon CH08.

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