Activité — Trigonométrie

Chapitre 7 | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Utiliser les rapports trigonométriques (sin, cos, tan) dans un triangle rectangle
Calculer un angle ou une longueur inaccessible
Appliquer la loi des sinus dans un triangle quelconque

Situation professionnelle — Pose d'un chevron et hauteur de façade

Menuisier charpentier : Lucas Martin — entreprise Martin Charpentes, Figeac.

Lucas pose un chevron qui part du pied d'un mur et s'appuie contre la façade. Il forme un triangle rectangle :

La base horizontale mesure 3,60 m.
Le chevron fait un angle de 35° avec l'horizontale.

Il veut connaître la hauteur atteinte sur la façade et la longueur du chevron.

Schéma du chevron

Triangle rectangle : base 3,60 m, angle 35° au sol, hauteur h sur la façade, hypoténuse = chevron L.

Problématique : À partir de la base et de l'angle du chevron, comment calculer exactement sa longueur et la hauteur qu'il atteint sur la façade ?

Question 1 APP

Fais un schéma du triangle rectangle. Nomme les côtés (adjacent, opposé, hypoténuse) par rapport à l'angle de 35°.
Quelle formule trigonométrique relie la base, la hauteur et l'angle de 35° ?

SOH-CAH-TOA : \(\sin\theta = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hyp}}\) | \(\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hyp}}\) | \(\tan\theta = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\)

L'angle de 35° est en bas à gauche. Adjacent = base = 3,60 m. Opposé = hauteur = \(h\). Hypoténuse = longueur du chevron = \(L\).
\(\tan 35° = \dfrac{h}{3{,}60}\)

Question 2 REA

Calcule la hauteur \(h\) en utilisant \(\tan 35° \approx 0{,}700\).
Calcule la longueur du chevron \(L\) en utilisant \(\cos 35° \approx 0{,}819\).
Vérifie avec le théorème de Pythagore : \(L^2 = 3{,}60^2 + h^2\).

\(h = 3{,}60 \times \tan 35° = 3{,}60 \times 0{,}700 = \mathbf{2{,}52\,\text{m}}\)
\(\cos 35° = \dfrac{3{,}60}{L}\) → \(L = \dfrac{3{,}60}{0{,}819} \approx \mathbf{4{,}40\,\text{m}}\)
\(3{,}60^2 + 2{,}52^2 = 12{,}96 + 6{,}35 = 19{,}31\) et \(4{,}40^2 = 19{,}36 \approx 19{,}31\) ✔ (écart dû aux arrondis)

Question 3 ANA

Lucas doit vérifier l'angle d'inclinaison d'une rampe d'accès. La rampe monte de 0,48 m sur une longueur horizontale de 4,80 m.

Quelle formule permet de calculer l'angle \(\theta\) de la rampe ?
Calcule \(\theta\) en degrés. La norme impose un angle maximal de 8°. La rampe est-elle conforme ?

\(\tan\theta = \dfrac{0{,}48}{4{,}80} = 0{,}1\) → \(\theta = \arctan(0{,}1)\)
\(\theta = \arctan(0{,}1) \approx 5{,}7°\) — la rampe est conforme car \(5{,}7° < 8°\). ✔

Question 4 REA

Lucas doit calculer la diagonale d'un panneau triangulaire dont il connaît deux côtés et l'angle compris.

Un triangle a deux côtés \(a = 5{,}2\,\text{m}\) et \(b = 3{,}8\,\text{m}\), et l'angle entre eux vaut \(C = 72°\).

Loi des cosinus : \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)

\(c^2 = 5{,}2^2 + 3{,}8^2 - 2 \times 5{,}2 \times 3{,}8 \times \cos 72°\)
\(= 27{,}04 + 14{,}44 - 39{,}52 \times 0{,}309\)
\(= 41{,}48 - 12{,}21 = 29{,}27\)
\(c = \sqrt{29{,}27} \approx \mathbf{5{,}41\,\text{m}}\)

Question 5 VAL

Complète les valeurs remarquables :

Angle	30°	45°	60°
\(\sin\)	?	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	?
\(\cos\)	?	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	?

Angle	30°	45°	60°
\(\sin\)	\(\tfrac{1}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos\)	\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\tfrac{1}{2}\)

Note : \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) pour tout angle.

Pour aller plus loin (bonus)

Lucas doit poser un second chevron sur l'autre versant. Cette fois la base est de 4,20 m et la hauteur atteinte sur la façade est de 3,80 m. Calculer l'angle d'inclinaison de ce chevron, puis sa longueur.

\(\tan\theta = \dfrac{3{,}80}{4{,}20} \approx 0{,}905\) → \(\theta = \arctan(0{,}905) \approx \mathbf{42{,}1°}\).

Longueur : \(L = \sqrt{4{,}20^2 + 3{,}80^2} = \sqrt{17{,}64+14{,}44} = \sqrt{32{,}08} \approx \mathbf{5{,}66 \text{ m}}\).

(On peut vérifier avec \(\cos 42{,}1° \approx 0{,}742\) puis \(L = 4{,}20/0{,}742 \approx 5{,}66\) m. ✔)

À retenir

Trigonométrie

SOH-CAH-TOA : \(\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}\) | \(\cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\) | \(\tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}\)
Angle inconnu : \(\theta = \arctan\!\left(\dfrac{\text{dénivelée}}{\text{distance horizontale}}\right)\)
Loi des cosinus : \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)
Relation fondamentale : \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Cercle trigonométrique), §2 (Fonctions cosinus et sinus) et §3 (Équations trigonométriques) de la leçon CH07.