Activité — Vecteurs dans le plan

Chapitre 6 | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points
Calculer la norme (longueur) d'un vecteur
Utiliser la colinéarité pour vérifier un alignement ou un parallélisme

Situation professionnelle — Plan d'un atelier d'agencement

Technicien d'agencement : Thomas Girard — bureau d'études Girard Intérieur, Montauban.

Thomas place des repères sur un plan quadrillé (unité : 1 dm). Il a noté les positions de quatre points clés :

Point	A	B	C	D
Coordonnées	(1 ; 2)	(5 ; 6)	(3 ; 5)	(7 ; 9)

Les points A et B sont deux coins d'un meuble. C et D sont deux coins d'un second meuble.

Plan quadrillé avec les 4 points

Les vecteurs AB (rouge) et CD (vert) ont mêmes coordonnées : ils sont équipollents, donc (AB) // (CD).

Problématique : Les deux meubles ont-ils des côtés parallèles, et quelle distance les sépare exactement sur le plan ?

Question 1 APP

Rappelle la formule des coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) à partir de \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\).
Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{CD}\).
Ces deux vecteurs semblent-ils identiques ? Que peut-on en déduire sur les droites (AB) et (CD) ?

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A\end{pmatrix}\) (arrivée moins départ)
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5-1 \\ 6-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}7-3 \\ 9-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 4\end{pmatrix}\)
Les vecteurs sont égaux → les droites (AB) et (CD) sont parallèles (et de même direction/sens).

Question 2 REA

Thomas doit vérifier que la cloison AB mesure exactement 4 dm sur son plan.

Norme : \(\left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)

Calcule \(\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\). Confirme-t-on 4 dm ? (Laisse la réponse sous forme de racine si nécessaire.)
Calcule aussi \(\left\|\overrightarrow{AC}\right\|\) avec \(A(1\,;\,2)\) et \(C(3\,;\,5)\).

\(\left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\,\text{dm}\) — ce n'est pas 4 dm mais environ 5,66 dm.
\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) → \(\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\,\text{dm}\)

Question 3 ANA

Thomas se demande si les trois points \(A(1\,;\,2)\), \(B(5\,;\,6)\) et \(E(3\,;\,4)\) sont alignés.

Test de colinéarité : \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\) colinéaires si \(ad - bc = 0\).

Calcule \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AB}\).
Calcule le déterminant \(ad - bc\). Les points sont-ils alignés ?

\(\overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\)
\(\det = 2 \times 4 - 2 \times 4 = 8 - 8 = 0\) → les vecteurs sont colinéaires donc les points A, E, B sont bien alignés.

Question 4 REA

On donne la droite \(d\) d'équation \(3x - 2y + 1 = 0\).

Vérifie que le point \(A(1\,;\,2)\) est sur la droite \(d\).
Calcule la distance du point \(B(5\,;\,6)\) à la droite \(d\).

Distance point-droite : \(d(M, \Delta) = \dfrac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(3 \times 1 - 2 \times 2 + 1 = 3 - 4 + 1 = 0\) ✔ — A est bien sur la droite.
\(d(B, d) = \dfrac{|3 \times 5 - 2 \times 6 + 1|}{\sqrt{9+4}} = \dfrac{|15 - 12 + 1|}{\sqrt{13}} = \dfrac{4}{\sqrt{13}} \approx \dfrac{4}{3{,}61} \approx 1{,}11\,\text{dm}\)

Pour aller plus loin (bonus)

Thomas remarque que ABDC est un quadrilatère. En utilisant les vecteurs, montrer que ABDC est un parallélogramme. Quel est son périmètre ?

ABDC est un parallélogramme si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\). On a déjà montré que les deux vecteurs ont même coordonnées (4 ; 4). Donc ABDC est un parallélogramme.

Norme : \(\|\overrightarrow{AB}\| = 4\sqrt{2}\) ; \(\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\). Périmètre : \(P = 2 \times (4\sqrt{2} + \sqrt{13}) \approx 2 \times (5{,}66 + 3{,}61) = \mathbf{18{,}5 \text{ dm}}\).

À retenir

Vecteurs dans le plan

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A\end{pmatrix}\) — arrivée moins départ
Norme : \(\left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)
Colinéarité : \(\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc = 0\) ↔ droites parallèles ou points alignés
Distance point-droite : \(\dfrac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Vecteurs et coordonnées), §2 (Norme et opérations) et §3 (Colinéarité) de la leçon CH06.