Activité — Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Chapitre 5 | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Comprendre le lien entre suite géométrique et fonction exponentielle
Utiliser le logarithme décimal pour résoudre \(a^x = b\)
Appliquer ces outils à un problème de dépréciation ou de croissance

Situation professionnelle — Dépréciation d'une machine CNC

Responsable d'atelier : Sophie Leroy — menuiserie Leroy Agencement, Auch.

Sophie achète une machine CNC pour 45 000 €. Sa valeur diminue de 18 % chaque année. On note \(V(t)\) la valeur après \(t\) années.

On a : \(V(t) = 45\,000 \times 0{,}82^t\)

Année \(t\)	0	1	2	5
Valeur \(V(t)\) (€)	45 000	36 900	?	?

Courbe de dépréciation V(t) = 45 000 × 0,82^t

La fonction exponentielle décroissante tend vers 0 sans jamais l'atteindre. La valeur diminue très vite au début, puis de plus en plus lentement.

Problématique : Au bout de combien d'années la machine CNC vaudra-t-elle moins de la moitié de son prix d'achat, et comment le démontrer par le calcul ?

Question 1 APP

Pourquoi la raison de la suite est-elle \(q = 0{,}82\) ? (Lien avec −18 %)
La fonction \(V(t) = 45\,000 \times 0{,}82^t\) est-elle du type \(a^t\) ? Quelle est la base \(a\) ?
La valeur de la machine peut-elle atteindre 0 € ? Justifie.

Perdre 18 % = garder 82 % = multiplier par \(1 - 0{,}18 = 0{,}82\).
Oui, c'est de la forme \(45\,000 \times a^t\) avec \(a = 0{,}82\). Comme \(0 < a < 1\), la fonction est décroissante.
Non : \(0{,}82^t > 0\) pour tout \(t\), donc \(V(t) > 0\) toujours. La valeur décroît sans jamais atteindre 0.

Question 2 REA

Complète le tableau : calcule \(V(2)\) et \(V(5)\). Utilise une calculatrice.

\(V(2) = 45\,000 \times 0{,}82^2 = 45\,000 \times 0{,}6724 \approx 30\,258\,€\)
\(V(5) = 45\,000 \times 0{,}82^5 = 45\,000 \times 0{,}3707 \approx 16\,682\,€\)

Question 3 ANA

Sophie veut savoir à partir de quelle année la machine vaut moins de 10 000 €.

On cherche \(t\) tel que \(45\,000 \times 0{,}82^t < 10\,000\).

Simplifie l'inégalité pour obtenir \(0{,}82^t < k\). Quelle est la valeur de \(k\) ?
Teste \(t = 8\), \(t = 9\) et \(t = 10\) pour trouver la première année où cela se produit.

\(0{,}82^t < \dfrac{10\,000}{45\,000} = \dfrac{2}{9} \approx 0{,}222\)
\(0{,}82^8 \approx 0{,}2044 < 0{,}222\) ✔ → \(V(8) \approx 45\,000 \times 0{,}2044 \approx 9\,200\,€ < 10\,000\)
\(0{,}82^7 \approx 0{,}2493 > 0{,}222\) → \(V(7) \approx 11\,219\,€ > 10\,000\)
La machine passe sous 10 000 € à partir de l'année 8.

Question 4 REA

On peut aussi résoudre \(0{,}82^t = 0{,}222\) avec le logarithme décimal.

Propriété : \(\log(a^t) = t \times \log(a)\) | Résoudre \(a^t = b\) : \(t = \dfrac{\log b}{\log a}\)

Calcule \(\log(0{,}222)\) et \(\log(0{,}82)\) à la calculatrice.
En déduire la valeur exacte de \(t\) (non entière). Est-ce cohérent avec la question 3 ?

\(\log(0{,}222) \approx -0{,}654\) et \(\log(0{,}82) \approx -0{,}0862\)
\(t = \dfrac{-0{,}654}{-0{,}0862} \approx 7{,}59\) — la machine passe sous 10 000 € entre \(t=7\) et \(t=8\), donc à partir de l'année 8 (entier supérieur). ✔

Question 5 VAL

Un concurrent a une fraiseuse dont la valeur suit \(W(t) = 30\,000 \times 0{,}75^t\).

Quel est le taux annuel de dépréciation de cette fraiseuse ?
Après combien d'années vaut-elle moins de 5 000 € ? (Utilise \(\log\).)

Base \(a = 0{,}75\) → dépréciation de \(1 - 0{,}75 = 0{,}25 = \mathbf{25\,\%}\) par an.
\(30\,000 \times 0{,}75^t < 5\,000\) → \(0{,}75^t < \dfrac{1}{6}\)
\(t > \dfrac{\log(1/6)}{\log(0{,}75)} = \dfrac{-0{,}778}{-0{,}125} \approx 6{,}23\) → à partir de l'année 7.

Pour aller plus loin (bonus)

Au bout de combien d'années exactement la machine de Sophie aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur (« demi-vie ») ? Calculer cette durée à l'aide du logarithme décimal.

On cherche t tel que \(0{,}82^t = 0{,}5\), soit \(t = \dfrac{\log 0{,}5}{\log 0{,}82} = \dfrac{-0{,}301}{-0{,}0862} \approx \mathbf{3{,}49 \text{ ans}}\).

La machine vaut donc la moitié de son prix d'achat au bout d'environ 3 ans et demi (vers la 4^e année).

À retenir

Fonction exponentielle et logarithme décimal

\(f(t) = a^t\) : si \(0 < a < 1\) → décroissante ; si \(a > 1\) → croissante
\(\log(a^t) = t \times \log(a)\)
Résoudre \(a^t = b\) : \(t = \dfrac{\log b}{\log a}\)
Dépréciation de \(p\,\%\) → \(V(t) = V_0 \times (1 - \tfrac{p}{100})^t\)

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Fonction exponentielle), §2 (Logarithme décimal) et §3 (Résolution d'équations) de la leçon CH05.