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Activité — Fonctions polynômes de degré 3

Chapitre 4  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 35 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Situation professionnelle — Fabrication d'une boîte de rangement

Menuisier : Martin Rousseau — atelier Bois & Volume, Tarbes.

Martin découpe une plaque carrée de MDF de 30 cm de côté. Il enlève un carré de côté \(x\) cm à chaque coin, puis relève les côtés pour former une boîte ouverte.

Le volume de la boîte est : \(V(x) = x(30 - 2x)^2\), avec \(0 < x < 15\).

En développant : \(V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x\).

Schéma de la découpe

Plaque MDF 30 × 30 cm x x x x Boîte (30−2x) × (30−2x) × x on plie

On découpe 4 carrés de côté x aux coins, puis on plie pour former une boîte ouverte de hauteur x et de base (30−2x).

Problématique : Pour quelle valeur de \(x\) le volume de la boîte est-il maximal ?

Question 1  APP

  1. Quel est le degré de \(V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x\) ? Identifie les coefficients \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).
  2. Que représente \(x\) physiquement ? Pourquoi doit-on avoir \(0 < x < 15\) ?
  3. Calcule \(V(5)\) et \(V(10)\). Que représentent ces valeurs ?
  1. Degré 3 : \(a=4\), \(b=-120\), \(c=900\), \(d=0\).
  2. \(x\) est le côté du carré découpé. Si \(x \geq 15\), il ne reste rien à relever.
  3. \(V(5) = 4 \times 125 - 120 \times 25 + 900 \times 5 = 500 - 3000 + 4500 = \mathbf{2\,000\,\text{cm}^3}\)
    \(V(10) = 4 \times 1000 - 120 \times 100 + 900 \times 10 = 4000 - 12000 + 9000 = \mathbf{1\,000\,\text{cm}^3}\)

Question 2  REA

Calcule la dérivée \(V'(x)\) de \(V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x\).

Rappel : \((ax^3)' = 3ax^2\)  |  \((bx^2)' = 2bx\)  |  \((cx)' = c\)
\(V'(x) = 3 \times 4x^2 - 2 \times 120x + 900 = 12x^2 - 240x + 900\)

Question 3  REA

Pour trouver les extremums, on résout \(V'(x) = 0\).

  1. Mets en évidence un facteur commun dans \(V'(x) = 12x^2 - 240x + 900\).
  2. Résous \(V'(x) = 0\) (équation du 2nd degré après simplification).
  3. Les solutions sont-elles dans l'intervalle \(]0\,;\,15[\) ?
  1. \(V'(x) = 12(x^2 - 20x + 75)\)
  2. \(\Delta = 400 - 300 = 100\) → \(x_1 = \dfrac{20 - 10}{2} = 5\)  et  \(x_2 = \dfrac{20 + 10}{2} = 15\)
  3. \(x_1 = 5 \in \,]0\,;\,15[\) ✔  |  \(x_2 = 15 \notin \,]0\,;\,15[\) (borne exclue)

Question 4  ANA

Signe de \(V'(x) = 12(x-5)(x-15)\) sur \(]0\,;\,15[\).

  1. Complète le tableau de signes : pour \(0 < x < 5\), le facteur \((x-5)\) est-il positif ou négatif ? Et \((x-15)\) ?
  2. En déduire le signe de \(V'(x)\) sur chaque intervalle.
  3. La fonction \(V\) est-elle croissante ou décroissante sur \(]0\,;\,5[\) ? Sur \(]5\,;\,15[\) ?
  1. Sur \(]0\,;\,5[\) : \((x-5) < 0\) et \((x-15) < 0\).
    Sur \(]5\,;\,15[\) : \((x-5) > 0\) et \((x-15) < 0\).
  2. Sur \(]0\,;\,5[\) : \(V'(x) = 12 \times (-) \times (-) > 0\) — positif.
    Sur \(]5\,;\,15[\) : \(V'(x) = 12 \times (+) \times (-) < 0\) — négatif.
  3. \(V\) est croissante sur \(]0\,;\,5[\) puis décroissante sur \(]5\,;\,15[\).

Question 5  ANA

  1. La fonction \(V\) admet-elle un maximum ou un minimum en \(x = 5\) ? Justifie.
  2. Calcule \(V(5)\). Quelle doit être la découpe pour maximiser le volume ?
  3. Quelles sont les dimensions de la boîte optimale ?
  1. En \(x=5\), \(V'\) change de signe de \(+\) à \(-\) → c'est un maximum local.
  2. \(V(5) = 4 \times 125 - 120 \times 25 + 900 \times 5 = 500 - 3000 + 4500 = \mathbf{2\,000\,\text{cm}^3}\)
    Il faut découper des carrés de 5 cm de côté.
  3. Longueur = largeur = \(30 - 2 \times 5 = 20\) cm, hauteur = 5 cm → boîte 20 × 20 × 5 cm.
Pour aller plus loin (bonus)

Si la plaque carrée mesurait 60 cm de côté (au lieu de 30 cm), quelle serait la nouvelle expression de V(x) ? Pour quelle valeur de x le volume serait-il alors maximal ?

Avec une plaque de 60 cm : \(V(x) = x(60-2x)^2 = 4x^3 - 240x^2 + 3\,600x\), avec \(0 < x < 30\).

\(V'(x) = 12x^2 - 480x + 3\,600 = 12(x^2-40x+300)\). Discriminant : 1600−1200=400, donc \(x = (40\pm 20)/2 = 10\) ou 30 (exclu).

Le volume est maximal pour \(x = \mathbf{10 \text{ cm}}\) : \(V(10) = 10 \times 40^2 = 16\,000\) cm³ = 16 L. (On note que x est doublé quand le côté double : la solution est homothétique.)

À retenir

Fonctions polynômes de degré 3

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Fonctions polynômes), §2 (Dérivée et tableau de variation) et §3 (Optimisation et extremum local) de la leçon CH04.

Cours Ch04 →