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Activité — Fonctions polynômes de degré 3

Chapitre 4  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 35 min

Mis à jour le 5 octobre 2026

Objectifs :

Situation — Fabrication d'une boîte de rangement

Martin souhaite fabriquer une boîte de rangement en carton.

Martin découpe une feuille carrée de carton de 30 cm de côté. Il enlève un carré de côté \(x\) cm à chaque coin, puis relève les côtés pour former une boîte ouverte.

Le volume de la boîte est : \(V(x) = x(30 - 2x)^2\), avec \(0 < x < 15\).

En développant : \(V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x\).

Schéma de la découpe

Carton 30 × 30 cm x x x x Boîte (30−2x) × (30−2x) × x on plie

On découpe 4 carrés de côté x aux coins, puis on plie pour former une boîte ouverte de hauteur x et de base (30−2x).

Problématique : Pour quelle valeur de \(x\) le volume de la boîte est-il maximal ?

Question 1  APP

  1. Quel est le degré de \(V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x\) ? Identifie les coefficients \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).
  2. Que représente \(x\) physiquement ? Pourquoi doit-on avoir \(0 < x < 15\) ?
  3. Calcule \(V(5)\) et \(V(10)\). Que représentent ces valeurs ?
  1. Degré 3 : \(a=4\), \(b=-120\), \(c=900\), \(d=0\).
  2. \(x\) est le côté du carré découpé. Si \(x \geq 15\), il ne reste rien à relever.
  3. \(V(5) = 4 \times 125 - 120 \times 25 + 900 \times 5 = 500 - 3000 + 4500 = \mathbf{2\,000\,\text{cm}^3}\)
    \(V(10) = 4 \times 1000 - 120 \times 100 + 900 \times 10 = 4000 - 12000 + 9000 = \mathbf{1\,000\,\text{cm}^3}\)

Question 2  REA

Calcule la dérivée \(V'(x)\) de \(V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x\).

Rappel \((ax^3)' = 3ax^2\)  |  \((bx^2)' = 2bx\)  |  \((cx)' = c\)
\(V'(x) = 3 \times 4x^2 - 2 \times 120x + 900 = 12x^2 - 240x + 900\)

Question 3  REA

Pour trouver les extremums, on résout \(V'(x) = 0\).

  1. Mets en évidence un facteur commun dans \(V'(x) = 12x^2 - 240x + 900\).
  2. Vérifie que \(x^2-20x+75=(x-5)(x-15)\), puis résous \(V'(x)=0\).
  3. Les solutions sont-elles dans l'intervalle \(]0\,;\,15[\) ?
  1. \(V'(x) = 12(x^2 - 20x + 75)\)
  2. \(12(x-5)(x-15)=0\), donc \(x=5\) ou \(x=15\).
  3. \(x_1 = 5 \in \,]0\,;\,15[\) ✔  |  \(x_2 = 15 \notin \,]0\,;\,15[\) (borne exclue)

Question 4  ANA

Signe de \(V'(x) = 12(x-5)(x-15)\) sur \(]0\,;\,15[\).

  1. Étudie les signes : pour \(0 < x < 5\), le facteur \((x-5)\) est-il positif ou négatif ? Et \((x-15)\) ?
  2. En déduire le signe de \(V'(x)\) sur chaque intervalle.
  3. La fonction \(V\) est-elle croissante ou décroissante sur \(]0\,;\,5[\) ? Sur \(]5\,;\,15[\) ?
  1. Sur \(]0\,;\,5[\) : \((x-5) < 0\) et \((x-15) < 0\).
    Sur \(]5\,;\,15[\) : \((x-5) > 0\) et \((x-15) < 0\).
  2. Sur \(]0\,;\,5[\) : \(V'(x) = 12 \times (-) \times (-) > 0\) — positif.
    Sur \(]5\,;\,15[\) : \(V'(x) = 12 \times (+) \times (-) < 0\) — négatif.
  3. \(V\) est croissante sur \(]0\,;\,5[\) puis décroissante sur \(]5\,;\,15[\).

Question 5  ANA

  1. La fonction \(V\) admet-elle un maximum ou un minimum en \(x = 5\) ? Justifie.
  2. Calcule \(V(5)\). Quelle doit être la découpe pour maximiser le volume ?
  3. Quelles sont les dimensions de la boîte optimale ?
  1. En \(x=5\), \(V'\) change de signe de \(+\) à \(-\) → c'est un maximum local.
  2. \(V(5) = 4 \times 125 - 120 \times 25 + 900 \times 5 = 500 - 3000 + 4500 = \mathbf{2\,000\,\text{cm}^3}\)
    Il faut découper des carrés de 5 cm de côté.
  3. Longueur = largeur = \(30 - 2 \times 5 = 20\) cm, hauteur = 5 cm → boîte 20 × 20 × 5 cm.
Pour aller plus loin (bonus)

Si la plaque carrée mesurait 60 cm de côté (au lieu de 30 cm), quelle serait la nouvelle expression de V(x) ? Pour quelle valeur de x le volume serait-il alors maximal ?

Avec une plaque de 60 cm : \(V(x) = x(60-2x)^2 = 4x^3 - 240x^2 + 3\,600x\), avec \(0 < x < 30\).

\(V'(x)=12(x-10)(x-30)\). La racine 30 est exclue. Sur ]0 ; 10[, la dérivée est positive ; sur ]10 ; 30[, elle est négative.

Le volume est maximal pour \(x = \mathbf{10 \text{ cm}}\) : \(V(10) = 10 \times 40^2 = 16\,000\) cm³ = 16 L. (On note que x est doublé quand le côté double : la solution est homothétique.)

À retenir

Fonctions polynômes de degré 3

Retrouve la dérivée, les variations et l’optimisation dans la leçon du chapitre.

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