Activité — Suites numériques

Chapitre 3 | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Reconnaître une suite géométrique à partir d'un tableau
Identifier la raison \(q\) et calculer le terme général \(u_n = u_0 \times q^n\)
Appliquer les suites à une situation de dépréciation

Situation professionnelle — Dépréciation d'une machine

Artisan menuisier : Paul Garnier — atelier Garnier Bois, Périgueux.

Paul achète une raboteuse pour 12 000 €. Chaque année, sa valeur diminue de 20 %.

Année \(n\)	0	1	2	3	4
Valeur \(u_n\) (€)	12 000	9 600	7 680	?	?

Évolution de la valeur (graphique)

La valeur décroît de manière géométrique : la perte annuelle diminue avec le temps (la décote n'est jamais nulle).

Problématique : Au bout de combien d'années la raboteuse aura-t-elle perdu plus de la moitié de sa valeur initiale ?

Question 1 APP

Calcule le rapport \(\dfrac{u_1}{u_0}\) puis \(\dfrac{u_2}{u_1}\). Que remarques-tu ?
Ce rapport constant s'appelle la raison \(q\). Quelle est sa valeur ? Explique pourquoi (lien avec −20 %).
Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ? Justifie.

\(\dfrac{9600}{12000} = 0{,}8\) et \(\dfrac{7680}{9600} = 0{,}8\) — le rapport est constant.
\(q = 0{,}8\). Perdre 20 % = garder 80 % = multiplier par \(1 - 0{,}20 = 0{,}8\).
C'est une suite géométrique : on passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante \(q\).

Question 2 REA

Complète le tableau pour \(n = 3\) et \(n = 4\).

\(u_3 = 7680 \times 0{,}8 = 6\,144\,€\)
\(u_4 = 6144 \times 0{,}8 = 4\,915{,}20\,€\)

Question 3 REA

Sans calculer tous les termes intermédiaires, calcule la valeur de la machine après 8 ans.

Terme général d'une suite géométrique : \(u_n = u_0 \times q^n\)

\(u_8 = 12\,000 \times 0{,}8^8 = 12\,000 \times 0{,}1678 \approx 2\,013\,€\)
Après 8 ans, la machine ne vaut plus que 2 013 €.

Question 4 ANA

La valeur de la machine peut-elle atteindre 0 € ? Justifie mathématiquement.
À partir de quelle année la machine vaut-elle moins de 1 000 € ? (Teste \(n = 12, 13, 14\).)

Non : \(u_n = 12000 \times 0{,}8^n > 0\) pour tout \(n\), car \(0{,}8^n\) ne vaut jamais 0. La valeur diminue indéfiniment sans atteindre 0.
\(u_{12} = 12000 \times 0{,}8^{12} \approx 12000 \times 0{,}0687 \approx 824\,€ < 1000\) ✔
\(u_{11} = 12000 \times 0{,}8^{11} \approx 1031\,€ > 1000\)
La machine passe sous 1 000 € à partir de l'année 12.

Question 5 REA

Un concurrent achète une fraiseuse à 20 000 € avec une dépréciation annuelle de 15 %.

Quelle est la raison \(q\) de sa suite ?
Calcule la valeur après 5 ans.

\(q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\)
\(u_5 = 20000 \times 0{,}85^5 = 20000 \times 0{,}4437 \approx 8\,874\,€\)

Pour aller plus loin (bonus)

Pour fiscalement amortir sa raboteuse, Paul applique un amortissement linéaire sur 6 ans (la valeur perd 1/6 de la valeur d'achat chaque année). Comparer la valeur fiscale au bout de 6 ans avec la valeur réelle (suite géométrique). Quel est l'écart ?

Valeur fiscale linéaire : au bout de 6 ans, l'amortissement total = 6 × (12000/6) = 12000 €. Valeur fiscale : 0 € (machine totalement amortie).

Valeur réelle (géométrique) : \(u_6 = 12\,000 \times 0{,}8^6 = 12\,000 \times 0{,}2621 \approx 3\,146\) €.

Écart : la machine a encore une valeur réelle de revente d'environ 3 150 € alors qu'elle est totalement amortie comptablement.

À retenir

Suite géométrique

Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par la raison \(q\) : \(u_{n+1} = u_n \times q\)
Terme général : \(u_n = u_0 \times q^n\)
Dépréciation de \(p\,\%\) par an → \(q = 1 - \dfrac{p}{100}\)
Si \(0 < q < 1\) : suite décroissante (dépréciation)

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Suites arithmétiques et géométriques), §2 (Terme général) et §3 (Sens de variation et applications) de la leçon CH03.