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Activité — Probabilités conditionnelles

Chapitre 2  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire

Objectifs :

Situation professionnelle — Contrôle qualité panneaux bois

Responsable qualité : Clara Vidal — entrepôt Bois & Panneaux Sud-Ouest, Agen.

L'entrepôt reçoit des panneaux MDF de deux fournisseurs :

FournisseurPart du stockTaux de défauts
Fournisseur A60 %5 %
Fournisseur B40 %12 %

Un panneau est tiré au hasard dans le stock. On note :
\(A\) : « le panneau vient du fournisseur A »  |  \(D\) : « le panneau est défectueux »

Arbre pondéré

Ω P(A) = 0,60 P(Ā) = 0,40 A Ā (B) P_A(D)=0,05 P_A(D̄)=0,95 P_Ā(D)=0,12 P_Ā(D̄)=0,88 D : 0,030 D̄ : 0,570 D : 0,048 D̄ : 0,352

Sur chaque chemin, on multiplie les probabilités conditionnelles. La somme des 4 issues vaut 1.

Problématique : Si l'on tire un panneau défectueux au hasard dans le stock, de quel fournisseur provient-il le plus probablement ?

Question 1  APP

  1. Écris les probabilités \(P(A)\), \(P(\overline{A})\).
  2. Quelle est la probabilité qu'un panneau du fournisseur A soit défectueux ? Note-la \(P_A(D)\).
  3. Même question pour le fournisseur B : \(P_{\overline{A}}(D) = \,?\)
  1. \(P(A) = 0{,}60\)  |  \(P(\overline{A}) = 0{,}40\)
  2. \(P_A(D) = 0{,}05\) (5 % de défauts chez A)
  3. \(P_{\overline{A}}(D) = 0{,}12\) (12 % de défauts chez B)

Question 2  REA

Construis l'arbre de probabilités à deux niveaux (fournisseur → état).

Pour chaque branche terminale, calcule la probabilité de l'issue.

Règle : probabilité d'une issue = produit des probabilités sur le chemin.
Fournisseur A (0,60) ──→ Défectueux D    (0,05) → 0,60 × 0,05 = 0,030
                    └──→ Conforme  D̄    (0,95) → 0,60 × 0,95 = 0,570

Fournisseur B (0,40) ──→ Défectueux D    (0,12) → 0,40 × 0,12 = 0,048
                    └──→ Conforme  D̄    (0,88) → 0,40 × 0,88 = 0,352
Total : \(0{,}030 + 0{,}570 + 0{,}048 + 0{,}352 = 1{,}000\) ✔

Question 3  REA

Calcule la probabilité qu'un panneau tiré au hasard soit défectueux (formule des probabilités totales).

\(P(D) = P(A) \times P_A(D) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(D)\)
\(P(D) = 0{,}60 \times 0{,}05 + 0{,}40 \times 0{,}12 = 0{,}030 + 0{,}048 = 0{,}078\)
Il y a 7,8 % de chances qu'un panneau tiré au hasard soit défectueux.

Question 4  ANA

Clara découvre qu'un panneau est défectueux. Elle veut savoir de quel fournisseur il vient.

Calcule la probabilité que ce panneau défectueux vienne du fournisseur A : \(P_D(A)\).

\(P_D(A) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)}\)
\(P(A \cap D) = 0{,}030\) (branche A → D de l'arbre)
\(P_D(A) = \dfrac{0{,}030}{0{,}078} \approx 0{,}385 = 38{,}5\,\%\)
Si le panneau est défectueux, il y a 38,5 % de chances qu'il vienne du fournisseur A (et 61,5 % du fournisseur B).

Question 5  VAL

Clara commande 500 panneaux (répartition 60/40 habituelle).

  1. Combien de panneaux défectueux s'attend-elle à recevoir en moyenne ?
  2. Le fournisseur B réduit son taux de défauts à 8 %. Recalcule \(P(D)\).
  1. \(500 \times 0{,}078 = 39\) panneaux défectueux attendus.
  2. \(P(D) = 0{,}60 \times 0{,}05 + 0{,}40 \times 0{,}08 = 0{,}030 + 0{,}032 = 0{,}062 = 6{,}2\,\%\)
Pour aller plus loin (bonus)

Clara veut limiter les défauts à 5 % au total dans son stock. Elle peut choisir la part p du fournisseur A (les 1−p restants viendront de B). Sachant que A produit 5 % de défauts et B 12 %, quelle proportion p minimale doit-elle commander chez A pour atteindre cet objectif ?

On cherche p tel que : \(0{,}05 \cdot p + 0{,}12 \cdot (1-p) = 0{,}05\). Soit \(0{,}05 p + 0{,}12 - 0{,}12 p = 0{,}05\), donc \(-0{,}07 p = -0{,}07\), donc \(p = 1\).

Avec ces taux, il faudrait commander 100 % chez A : impossible si on veut conserver les 2 fournisseurs. Clara doit donc soit baisser le taux de B, soit accepter un objectif moins strict (par exemple 6 % donne \(p \approx 0{,}86\), soit 86 % chez A et 14 % chez B).

À retenir

Probabilités conditionnelles

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Probabilités conditionnelles), §2 (Arbre pondéré) et §3 (Probabilités totales) de la leçon Ch02.

Cours Ch02 →