Chapitre 1 – Statistiques à deux variables | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 55 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Une souris vit quatre ans, un éléphant en vit soixante-cinq. Chacun sait que les gros animaux vivent plus longtemps que les petits. Mais de combien ? Un éléphant est 230 000 fois plus lourd qu'une souris : vit-il 230 000 fois plus longtemps ? Les biologistes disposent aujourd'hui de bases de données qui recensent, espèce par espèce, la masse adulte et la durée de vie maximale observée. Vous allez y chercher la relation.
La masse m est la masse moyenne d'un adulte, en kilogrammes. La durée de vie T est la longévité maximale observée pour l'espèce, en années : c'est l'âge du plus vieil individu jamais enregistré, pas l'espérance de vie moyenne.
| Animal | Masse m (kg) | Durée de vie T (années) |
|---|---|---|
| Souris domestique | 0,0205 | 4 |
| Rat brun | 0,300 | 3,8 |
| Hérisson d'Europe | 0,750 | 11,7 |
| Lapin de garenne | 1,80 | 13 |
| Renard roux | 4,10 | 21,3 |
| Loup gris | 26,6 | 20,6 |
| Sanglier | 135 | 27 |
| Cerf élaphe | 200 | 31,5 |
| Girafe | 800 | 39,5 |
| Éléphant d'Afrique | 4 800 | 65 |
| Baleine bleue | 136 000 | 110 |
Source : base de données AnAge, Human Ageing Genomic Resources (University of Birmingham), consultée en septembre 2026.
Seuls des animaux sauvages figurent dans ce tableau. Les animaux domestiques en sont écartés volontairement : la durée de vie d'une vache dépend de l'âge d'abattage, celle d'un cheval ou d'un chat des soins vétérinaires. Ces chiffres-là ne mesurent plus seulement la biologie de l'espèce.
Pour faire tenir la baleine bleue sur ce graphique, il faudrait une feuille 27 fois plus large.
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (droite de régression), §4 (coefficient de corrélation), §6 (changements de variable) et §7 (interpolation et extrapolation).
Observer le document 2.
a. Le nuage est-il croissant ?
b. Pourquoi ce graphique est-il inutilisable pour étudier la relation ?
a. Oui, il est croissant : la girafe (800 kg) vit plus longtemps que le renard (4 kg), l'éléphant (4 800 kg) plus longtemps que la girafe. Plus l'animal est lourd, plus il vit vieux.
b. Parce que les masses sont beaucoup trop différentes entre elles. De la souris (0,0205 kg) à la baleine (136 000 kg), le rapport est de plus de 6 millions. Sur un axe gradué de 0 à 5 000 kg, les huit animaux de moins de 200 kg se retrouvent tous collés contre l'axe vertical : on ne peut ni les distinguer, ni voir la forme du nuage. Et la baleine ne tient même pas sur la feuille.
Le problème n'est pas la relation : c'est l'échelle.
Entrer les colonnes m et T dans la calculatrice et lancer une régression linéaire. Vérifier que l'on obtient :
T = 0,00065 × m + 23,2 avec r = 0,845
a. D'après le tableau du cours, cet ajustement affine est-il acceptable ?
b. Avec ce modèle, calculer la durée de vie prévue pour la souris (m = 0,0205) et pour l'éléphant (m = 4 800). Comparer aux valeurs réelles.
c. Expliquer pourquoi la droite se trompe à ce point.
a. r = 0,845, donc |r| ≤ 0,85 : d'après le tableau du cours, la liaison est faible et l'ajustement affine est à rejeter. Il faut changer de modèle.
b. Souris : 0,00065 × 0,0205 + 23,2 ≈ 23,2 ans, alors qu'elle vit 4 ans. Le modèle se trompe d'un facteur 6.
Éléphant : 0,00065 × 4 800 + 23,2 = 3,1 + 23,2 = 26,3 ans, alors qu'il vit 65 ans. Il en manque 39.
c. La baleine pèse à elle seule plus que tous les autres animaux réunis, et de très loin. C'est donc elle qui impose la droite : la calculatrice ajuste presque uniquement sur ce point-là. Tous les autres animaux, tassés entre 0 et 4 800 kg, sont traités comme s'ils avaient à peu près la même masse — d'où la même durée de vie prévue pour la souris et pour le loup, environ 23 ans.
Une droite ne peut pas décrire une relation dont les valeurs s'étalent sur six ordres de grandeur.
On tente un ajustement puissance, c'est-à-dire un modèle de la forme T = A × mk. Le cours indique le changement de variable : on pose u = log(m) et z = log(T).
Compléter les trois cases vides du tableau (arrondir au centième).
| Animal | u = log(m) | z = log(T) |
|---|---|---|
| Souris domestique | −1,69 | 0,60 |
| Rat brun | −0,52 | 0,58 |
| Hérisson d'Europe | −0,12 | 1,07 |
| Lapin de garenne | 1,11 | |
| Renard roux | 0,61 | 1,33 |
| Loup gris | 1,42 | 1,31 |
| Sanglier | 2,13 | 1,43 |
| Cerf élaphe | 2,30 | 1,50 |
| Girafe | 2,90 | 1,60 |
| Éléphant d'Afrique | 1,81 | |
| Baleine bleue | 5,13 |
Lapin : u = log(1,80) ≈ 0,26.
Éléphant : u = log(4 800) ≈ 3,68.
Baleine : z = log(110) ≈ 2,04.
Remarquer ce que le logarithme a fait : les masses allaient de 0,02 à 136 000, les valeurs de u vont de −1,69 à 5,13. Les onze animaux sont maintenant bien répartis, la baleine n'écrase plus personne.
Entrer les deux listes u et z dans la calculatrice et lancer une régression linéaire de z en fonction de u. Donner l'équation obtenue et la valeur de r. Conclure sur la qualité de cet ajustement.
La calculatrice donne :
z = 0,22 × u + 0,99 avec r = 0,96
r = 0,96 > 0,95 : d'après le tableau du cours, la liaison est très forte et l'ajustement est excellent. On est passé de « à rejeter » à « excellent » sans changer une seule donnée : seule l'échelle a changé.
Les points ne sont pas parfaitement alignés, contrairement aux planètes de l'activité 5 : le rat est un peu en dessous de la droite, le hérisson un peu au-dessus. C'est normal, ce sont des êtres vivants et non des astres. Le modèle décrit une tendance, pas une loi exacte.
Revenir aux variables de départ. Comme z = log(T) et u = log(m), l'équation trouvée s'écrit log(T) = 0,22 × log(m) + 0,99.
a. En élevant 10 à la puissance de chaque membre, montrer que T = 9,8 × m0,22.
b. Vérifier le modèle sur l'éléphant.
c. Par combien la durée de vie est-elle multipliée quand la masse est multipliée par 1 000 ? Répondre à la question posée dans la situation de départ.
a. log(T) = 0,22 log(m) + 0,99
donc T = 100,22 log(m) + 0,99 = 100,99 × 100,22 log(m) = 100,99 × m0,22.
Or 100,99 ≈ 9,8, d'où
T ≈ 9,8 × m0,22
Ne pas confondre. Le modèle final est une loi puissance, il ne contient plus aucun logarithme. Le logarithme n'a servi que d'outil pour redresser le nuage et pouvoir utiliser la régression linéaire de la calculatrice.
b. Éléphant : 9,8 × 4 8000,22 ≈ 9,8 × 6,46 ≈ 63 ans, pour 65 ans observés. L'écart est de 3 %.
c. Si la masse est multipliée par 1 000, la durée de vie est multipliée par 1 0000,22 ≈ 4,6.
Réponse à la question de départ : l'éléphant est 230 000 fois plus lourd que la souris, mais il ne vit pas 230 000 fois plus longtemps — seulement 16 fois plus. L'exposant 0,22 est très petit : la durée de vie augmente beaucoup, beaucoup plus lentement que la masse.
On utilise le modèle T = 9,8 × m0,22 sur deux animaux absents du tableau.
a. Le lion pèse 160 kg. Estimer sa durée de vie. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? La valeur observée est 28 ans : commenter.
b. La musaraigne carrelet pèse 9 g, soit 0,009 kg. Même travail ; la valeur observée est 3,2 ans.
a. T = 9,8 × 1600,22 ≈ 29,9 ans.
C'est une interpolation : 160 kg est compris entre le sanglier (135 kg) et le cerf élaphe (200 kg), donc à l'intérieur de l'intervalle des données [0,0205 ; 136 000].
La valeur observée est 28 ans : l'écart est de 1,9 an, soit 7 %. L'estimation est bonne.
b. T = 9,8 × 0,0090,22 ≈ 3,5 ans.
C'est une extrapolation : 0,009 kg est en dessous de la plus petite masse du tableau (la souris, 0,0205 kg).
La valeur observée est 3,2 ans : l'écart est de 0,3 an, soit 9 %. Le modèle reste correct, mais on remarque qu'il est moins précis qu'en interpolation — ce que le cours annonce pour toute extrapolation.
On applique enfin le modèle à l'être humain : masse adulte 70 kg.
a. Quelle durée de vie le modèle prévoit-il ?
b. La personne la plus âgée jamais enregistrée, Jeanne Calment, a vécu 122 ans. Que faut-il en conclure : le modèle est-il faux ?
c. Rédiger en trois lignes ce que cette activité montre sur ce qu'un modèle d'ajustement peut, et ne peut pas, faire.
a. T = 9,8 × 700,22 ≈ 25 ans.
b. L'écart est énorme : 122 ans observés pour 25 prévus, l'être humain vit près de cinq fois plus longtemps que ce que sa masse laisse attendre. Le tableau recense des longévités maximales : c'est donc bien le record de Jeanne Calment qu'il faut comparer aux 25 ans du modèle, et non une durée de vie ordinaire.
Pour autant, le modèle n'est pas faux : il décrit correctement les onze espèces sur lesquelles il a été construit, et il vient de bien prévoir le lion et la musaraigne. L'être humain est un point aberrant : une espèce qui échappe à la tendance générale. Un modèle statistique décrit une tendance d'ensemble ; il ne dit rien des raisons biologiques qui font qu'une espèce s'en écarte.
c. Exemple de rédaction :
« Le nuage de départ était illisible car les masses allaient de 0,02 kg à 136 000 kg, et l'ajustement affine donnait r = 0,845, donc un modèle à rejeter : il prévoyait 23 ans pour une souris. Après le changement de variable u = log(m) et z = log(T), on a obtenu r = 0,96 et le modèle T = 9,8 × m0,22, qui estime correctement le lion et la musaraigne. Mais il prévoit 25 ans pour une espèce dont le doyen a vécu 122 ans : un modèle donne une tendance, il ne garantit rien sur un individu ou une espèce particulière. »
Deux autres espèces échappent complètement au modèle :
a. Calculer ce que prévoit le modèle pour chacune, puis le rapport entre la durée observée et la durée prévue.
b. Ces deux espèces passent leur vie à l'abri des prédateurs — l'une en volant, l'autre sous terre. En quoi cela peut-il expliquer l'écart ? Et l'être humain ?
a. Chauve-souris : 9,8 × 0,0070,22 ≈ 3,3 ans prévus, pour 41 ans observés, soit 12 fois plus.
Rat-taupe nu : 9,8 × 0,0350,22 ≈ 4,7 ans prévus, pour 31 ans observés, soit 6,6 fois plus.
b. Un petit mammifère est en général mangé avant de vieillir : une souris qui vit quatre ans en cage n'en vit presque jamais plus d'un dans la nature. Vivre longtemps ne lui sert donc à rien. Une chauve-souris, qui s'échappe en volant, et un rat-taupe nu, qui ne quitte pas son terrier, sont au contraire très peu exposés : chez eux, une longue vie est « rentable », et l'évolution a favorisé des organismes qui durent.
L'être humain relève de la même logique : depuis très longtemps, il est peu exposé aux prédateurs, et il a en plus ajouté l'hygiène, l'alimentation et la médecine.
Un dernier piège. Tout ce travail compare des espèces entre elles. À l'intérieur d'une même espèce, la relation peut s'inverser : chez le chien, ce sont les grandes races qui vivent le moins longtemps — un dogue allemand dépasse rarement 8 ans, un chihuahua en atteint 16. Un modèle n'est valable que sur le type de données qui a servi à le construire.
🔬 Pour refaire une linéarisation sans calculatrice et tester d'autres jeux de données : simulation « Linéariser un nuage courbe ».