Chapitre 1 – Statistiques à deux variables | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Une planète proche du Soleil fait vite le tour : Mercure boucle son « année » en 88 jours. Une planète lointaine met beaucoup plus longtemps : Neptune met 165 ans. Mais de combien exactement ? Au début du XVIIe siècle, l'astronome Johannes Kepler dispose des relevés très précis de Tycho Brahe et cherche pendant près de vingt ans la relation entre ces deux grandeurs. Vous allez refaire ce travail à la calculatrice, en une séance.
La distance d est donnée en unités astronomiques (UA) : 1 UA = distance Terre-Soleil = 149,6 millions de km. La période de révolution T est la durée d'un tour complet autour du Soleil, exprimée en années terrestres.
| Planète | Distance au Soleil d (UA) | Période de révolution T (années) |
|---|---|---|
| Mercure | 0,387 | 0,241 |
| Vénus | 0,723 | 0,615 |
| Terre | 1,000 | 1,000 |
| Mars | 1,524 | 1,881 |
| Jupiter | 5,203 | 11,86 |
| Saturne | 9,537 | 29,46 |
| Uranus | 19,19 | 84,01 |
| Neptune | 30,07 | 164,8 |
Source : NASA, Planetary Fact Sheet, et IMCCE (Observatoire de Paris).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (droite de régression), §4 (coefficient de corrélation), §6 (changements de variable) et §7 (interpolation et extrapolation).
Observer le document 2. Décrire l'allure du nuage : est-il croissant ? est-il rectiligne ?
Le nuage est nettement croissant : plus une planète est loin, plus son tour dure longtemps. C'est logique, elle a plus de chemin à parcourir.
Mais il n'est pas rectiligne : les quatre premières planètes sont tassées tout en bas à gauche (de 0,24 à 1,88 an), puis la montée s'accélère. Entre Uranus et Neptune, un écart de 11 UA coûte déjà 81 années de plus.
Le nuage est courbé, tourné vers le haut.
Entrer les colonnes d et T dans la calculatrice et lancer une régression linéaire. Vérifier que l'on obtient :
T = 5,385 × d − 8,794 avec r = 0,988
a. D'après la règle du cours, comment qualifier cet ajustement ?
b. Avec ce modèle, calculer la période de révolution de Mercure (d = 0,387) puis celle de la Terre (d = 1,000).
c. Que penser de ces résultats ?
a. r = 0,988 > 0,95 : d'après le tableau du cours, la liaison est très forte et l'ajustement semble excellent.
b. Mercure : 5,385 × 0,387 − 8,794 = 2,084 − 8,794 = −6,7 ans.
Terre : 5,385 × 1,000 − 8,794 = −3,4 ans.
c. Ces résultats sont impossibles : une durée ne peut pas être négative. Et on sait que la Terre met 1 an, pas −3,4 ans. Le modèle donne d'ailleurs une durée négative pour les quatre planètes les plus proches du Soleil.
Leçon importante : un r proche de 1 ne suffit pas. Ici la droite colle bien aux quatre planètes lointaines, très éloignées les unes des autres, qui « tirent » le calcul ; elle passe complètement à côté des quatre premières. Il faut toujours regarder le nuage et vérifier que les résultats ont un sens. Le nuage est courbe : il faut changer de modèle.
On tente donc un ajustement puissance. Le cours indique le changement de variable : on pose u = log(d) et z = log(T).
Compléter les trois cases vides du tableau (arrondir au centième).
| Planète | Mercure | Vénus | Terre | Mars | Jupiter | Saturne | Uranus | Neptune |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| u = log(d) | −0,41 | −0,14 | … | 0,18 | … | 0,98 | 1,28 | 1,48 |
| z = log(T) | −0,62 | −0,21 | 0,00 | 0,27 | 1,07 | 1,47 | 1,92 | … |
Terre : u = log(1,000) = 0,00 (le logarithme de 1 vaut 0).
Jupiter : u = log(5,203) ≈ 0,72.
Neptune : z = log(164,8) ≈ 2,22.
Entrer les deux nouvelles listes u et z dans la calculatrice et lancer une régression linéaire de z en fonction de u. Donner l'équation obtenue et la valeur de r.
La calculatrice donne :
z = 1,50 × u + 0,00 avec r = 1,000
À partir des valeurs arrondies du tableau, la calculatrice affiche précisément 1,501 et −0,002 : ce sont les arrondis du tableau qui font ce petit écart, on retient 1,50 et 0,00.
r = 1 : les huit points sont parfaitement alignés. Et l'ordonnée à l'origine est nulle : la droite passe par l'origine du repère.
Aucune série de mesures physiques ne donne r = 1 par hasard. Un tel alignement signale une vraie loi, pas une coïncidence.
Revenir aux variables de départ. Comme z = log(T) et u = log(d), l'équation trouvée s'écrit log(T) = 1,5 × log(d).
a. En élevant 10 à la puissance de chaque membre, montrer que T = d1,5.
b. En élevant au carré, en déduire une relation entre T² et d³.
c. Vérifier la relation sur Jupiter.
a. log(T) = 1,5 log(d)
donc T = 101,5 log(d) = (10log(d))1,5 = d1,5.
b. En élevant les deux membres au carré : T² = (d1,5)² = d3, soit
T² = d³
Ne pas confondre. La loi trouvée est une loi puissance, pas une loi logarithmique : elle s'écrit T = d1,5, sans logarithme. Une loi logarithmique monterait de moins en moins vite, alors qu'ici la montée s'accélère. Le logarithme n'a servi que d'outil pour redresser le nuage et pouvoir utiliser la régression linéaire de la calculatrice. Le modèle final se réécrit toujours dans les grandeurs de départ.
c. Jupiter : d1,5 = 5,2031,5 ≈ 11,87 ans, et la valeur mesurée est 11,86 ans. Écart : moins de 0,1 %.
Autre vérification : T² = 11,86² ≈ 140,7 et d³ = 5,203³ ≈ 140,9. ✓
C'est la troisième loi de Kepler, trouvée en 1618 et publiée l'année suivante, après près de vingt ans de calculs à la main. Une régression à la calculatrice la retrouve en cinq minutes.
Pluton, aujourd'hui classée parmi les planètes naines, est à d = 39,5 UA du Soleil.
a. Estimer la durée de sa révolution avec le modèle T = d1,5. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
b. Les astronomes mesurent 248 ans. Comparer. Que donnait le modèle affine de la question 2 ?
a. T = 39,51,5 ≈ 248 ans.
C'est une extrapolation : 39,5 UA est en dehors de l'intervalle des données [0,387 ; 30,07].
b. La valeur mesurée est 248 ans : le modèle tombe juste, alors qu'on est sorti de la zone des données.
Le modèle affine de la question 2 donnait : 5,385 × 39,5 − 8,794 ≈ 204 ans, soit 44 ans d'erreur (18 %).
Le cours rappelle que l'extrapolation est risquée. Elle l'est surtout quand le modèle est mal choisi : ici, le bon modèle reste fiable très loin des données, parce qu'il traduit une loi physique réelle.
Cérès est le plus gros astre de la ceinture d'astéroïdes, située entre Mars et Jupiter, à d = 2,77 UA.
a. Estimer sa période de révolution. Interpolation ou extrapolation ?
b. Rédiger en trois lignes ce que cette activité montre sur le choix d'un modèle d'ajustement.
a. T = 2,771,5 ≈ 4,6 ans. C'est une interpolation : 2,77 est compris entre Mars (1,524) et Jupiter (5,203), donc à l'intérieur des données. L'estimation est donc encore plus fiable qu'à la question 6. La valeur mesurée est 4,60 ans.
b. Exemple de rédaction :
« Le nuage était courbe, mais l'ajustement affine donnait quand même r = 0,988. En l'utilisant, on trouvait des durées de révolution négatives, ce qui est impossible : un coefficient r proche de 1 ne suffit donc pas à valider un modèle. Après le changement de variable u = log(d) et z = log(T), les points se sont alignés parfaitement et on a obtenu T² = d³. Ce modèle, lui, donne des résultats justes, même très loin des données. »
Un télescope spatial repère une exoplanète qui passe devant son étoile tous les 0,1 an (36,5 jours). Cette étoile a la même masse que le Soleil, la loi T² = d³ s'y applique donc.
On ne sait pas mesurer directement la distance de cette planète à son étoile. Peut-on la calculer ? Que peut-on alors dire de cette planète ?
On part de T² = d³, avec T = 0,1 :
d³ = 0,1² = 0,01, donc d = 0,011/3 ≈ 0,215 UA, soit environ 32 millions de km.
C'est plus près que Mercure (0,387 UA) : cette planète est brûlante, elle ne peut pas abriter d'eau liquide.
C'est exactement ainsi que travaillent les astronomes : la période se mesure facilement, il suffit de chronométrer les passages devant l'étoile ; la distance, elle, ne se mesure pas. Un modèle d'ajustement permet de calculer ce qu'on ne peut pas mesurer.
Attention : sous cette forme simple, la loi n'est valable qu'autour d'une étoile de même masse que le Soleil. Autour d'une étoile plus lourde, le rapport T²/d³ change.
🔬 Pour refaire ces quatre repères sans calculatrice, vérifier les résultats et tester deux autres jeux de données : simulation « Linéariser un nuage courbe ».