Fiche – Statistique à deux variables

Chapitre 5 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Un changement de variable bien choisi ramène un ajustement non affine à un ajustement affine.
\(y = ax^2+b\) ⇒ \(u=x^2\) ; \(y = \dfrac ax + b\) ⇒ \(u=\dfrac1x\) ; \(y = k\,a^x\) ⇒ \(v = \log y\).
Exponentiel : \(\log y = \log k + x\log a\) → pente \(=\log a\), ordonnée à l'origine \(=\log k\).
La droite des moindres carrés minimise \(\sum(y_i-(ax_i+b))^2\) : on l'obtient à la calculatrice.
Interpoler = dans la plage ; extrapoler = hors plage (avec prudence).

Définitions clés

Définition

Nuage de points : ensemble des points \((x_i\,;y_i)\) d'une série à deux variables, représentés dans un repère.

Définition

Ajustement affine : droite \(y = ax + b\) qui « résume » un nuage aligné (au jugé, droite de Mayer ou moindres carrés).

Définition

Droite des moindres carrés : la droite qui minimise \(\sum(y_i-(ax_i+b))^2\), somme des carrés des écarts verticaux (résidus).

À connaître par cœur

Changements de variable usuels \[y = a x^{2} + b \;\Rightarrow\; u = x^{2}\quad(\text{nuage }(u\,;y)\text{ affine})\] \[y = \frac{a}{x} + b \;\Rightarrow\; u = \frac1x\quad(\text{nuage }(u\,;y)\text{ affine})\] \[y = k\,a^{x} \;\Rightarrow\; v = \log y\quad(\text{nuage }(x\,;v)\text{ affine})\]

Cas exponentiel \[\log(y) = \log(k) + x\,\log(a)\] \[a = 10^{\text{pente}} \qquad k = 10^{\text{ordonnée à l'origine}}\]

Moindres carrés

Minimise \(S = \displaystyle\sum_i \big(y_i - (ax_i + b)\big)^2\).
On l'obtient à la calculatrice (régression linéaire) ou au tableur : aucune formule à connaître.

Méthode — Redresser un nuage par changement de variable

Méthode

Observer l'allure du nuage \((x\,;y)\) : courbé « vers le bas » (hyperbole ? \(u=\frac1x\)), « vers le haut » (parabole ? \(u=x^2\)), explosif (exponentiel ? \(v=\log y\)).
Créer la colonne de la variable transformée.
Tracer le nouveau nuage ; vérifier l'alignement.
Ajuster par une droite (au jugé ou moindres carrés).
Revenir aux variables initiales pour écrire le modèle.

Méthode — Prévoir avec un ajustement

Une fois le modèle établi, remplacer \(x\) (ou \(u\)) par la valeur voulue.
Vérifier si l'on interpole (valeur dans la plage) ou si l'on extrapole (hors plage → prudence).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Oublier de revenir aux variables initiales.

✅ Après ajustement sur \((u\,;y)\), réécrire le modèle en fonction de \(x\).

❌ Se tromper de changement de variable.

✅ Exponentiel → \(\log y\) ; hyperbolique → \(\frac1x\). Toujours vérifier l'alignement.

❌ Minimiser des écarts perpendiculaires.

✅ Les moindres carrés minimisent les écarts verticaux.

❌ Extrapoler très loin des données.

✅ Corrélation ≠ causalité ; un modèle n'est fiable qu'autour des données.

Exemple rapide

Exemple — modèle hyperbolique

Données : \((1\,;12),(2\,;7),(4\,;4{,}5),(5\,;4),(10\,;3)\), nuage courbé.

On pose \(u = \dfrac1x\) : le nuage \((u\,;y)\) devient aligné.
Ajustement : \(y = 10u + 2\).
Retour à \(x\) : \(y = \dfrac{10}{x} + 2\). Prévision pour \(x=8\) : \(y = 3{,}25\).