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Activité — Solides usuels, volumes et agrandissement

Chapitre 14  |  Seconde Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 35 min

Objectifs :

Situation professionnelle — Fabrication de caissons en bois

Fabricant de mobilier : Antoine Saunier — atelier Caisson Pro Sud, Tarbes.

Antoine fabrique des caissons de rangement en bois MDF. Voici la commande du jour :

RéférenceFormeDimensionsQuantité
CAI-01Pavé droitL=80 cm, l=40 cm, h=60 cm6
CAI-02Cylindrer=15 cm, h=50 cm4
CAI-03Pavé droitAgrandissement de CAI-01, rapport k=1,52
Problématique :

Comment calculer le volume et l'aire d'un solide pour estimer la quantité de matière nécessaire à sa fabrication ?

Question 1  APP

  1. Identifie les deux formes de solides présentes dans la commande.
  2. Donne la formule du volume d'un pavé droit (longueur × largeur × hauteur).
  3. Donne la formule du volume d'un cylindre droit (aire de la base × hauteur).
  1. Pavé droit et cylindre droit.
  2. Volume pavé : \(V = L \times \ell \times h\)
  3. Volume cylindre : \(V = \pi r^2 \times h\) (aire du disque × hauteur)

Question 2  REA

Calcule le volume d'un caisson CAI-01 (pavé droit : 80 × 40 × 60 cm).

  1. Donne le résultat en cm³.
  2. Convertis en dm³, puis en litres (1 dm³ = 1 L = 1 000 cm³).
  3. Quel est le volume total des 6 caissons CAI-01 ?
  1. \(V = 80 \times 40 \times 60 = 192\,000\,\text{cm}^3\)
  2. \(192\,000\,\text{cm}^3 = 192\,\text{dm}^3 = 192\,\text{L}\)
  3. Volume total : \(6 \times 192\,000 = 1\,152\,000\,\text{cm}^3 = 1\,152\,\text{L} = 1{,}152\,\text{m}^3\)

Question 3  REA

Calcule le volume d'un caisson CAI-02 (cylindre : r=15 cm, h=50 cm). Utilise \(\pi \approx 3{,}14\).

  1. Calcule l'aire de la base (disque de rayon 15 cm).
  2. Calcule le volume du cylindre.
  3. Quel est le volume total des 4 caissons cylindriques ?
  1. Aire base : \(\pi r^2 = 3{,}14 \times 15^2 = 3{,}14 \times 225 = 706{,}5\,\text{cm}^2\)
  2. Volume : \(706{,}5 \times 50 = 35\,325\,\text{cm}^3 \approx 35{,}3\,\text{L}\)
  3. Total 4 cylindres : \(4 \times 35\,325 = 141\,300\,\text{cm}^3 \approx 141\,\text{L}\)

Question 4  ANA

Le caisson CAI-03 est un agrandissement de CAI-01 avec le rapport \(k = 1{,}5\).

  1. Quelles seront les nouvelles dimensions (longueur, largeur, hauteur) ?
  2. Par combien chaque dimension est-elle multipliée ?
  1. Nouvelles dimensions : \(80 \times 1{,}5 = 120\,\text{cm}\)  |  \(40 \times 1{,}5 = 60\,\text{cm}\)  |  \(60 \times 1{,}5 = 90\,\text{cm}\)
  2. Chaque dimension est multipliée par \(k = 1{,}5\).

Question 5  REA

Calcule le volume d'un caisson CAI-03 (120 × 60 × 90 cm).

  1. Calcule directement le volume avec les nouvelles dimensions.
  2. Calcule aussi \(V_{\text{CAI-01}} \times k^3\). Obtiens-tu le même résultat ?
  3. Conclus : si on multiplie toutes les longueurs par \(k\), par combien est multiplié le volume ?
  1. \(V = 120 \times 60 \times 90 = 648\,000\,\text{cm}^3\)
  2. \(192\,000 \times 1{,}5^3 = 192\,000 \times 3{,}375 = 648\,000\,\text{cm}^3\) ✔
  3. Le volume est multiplié par \(k^3\). Ici \(1{,}5^3 = 3{,}375\) : le caisson agrandi fait 3,375 fois le volume de l'original.

Question 6  VAL

Antoine charge les caissons dans un camion. La remorque a un volume utile de 20 m³.

  1. Calcule le volume total de toute la commande (en m³) : 6×CAI-01 + 4×CAI-02 + 2×CAI-03.
  2. La commande tient-elle dans la remorque ?
  1. 6×CAI-01 : \(1\,152\,000\,\text{cm}^3 = 1{,}152\,\text{m}^3\)
    4×CAI-02 : \(141\,300\,\text{cm}^3 \approx 0{,}141\,\text{m}^3\)
    2×CAI-03 : \(2 \times 648\,000 = 1\,296\,000\,\text{cm}^3 = 1{,}296\,\text{m}^3\)
    Total : \(1{,}152 + 0{,}141 + 1{,}296 = 2{,}589\,\text{m}^3\)
  2. Oui, 2,59 m³ ≪ 20 m³ — la commande tient largement dans la remorque.

Question 7  COM

Complète le résumé :

Volume d'un pavé droit : \(V = \)____ × ____ × ____
Volume d'un cylindre : \(V = \pi r^2 \times \)____
Conversions : 1 m³ = ____ dm³ = ____ L
Si on multiplie toutes les longueurs par \(k\), le volume est multiplié par ____.
Pavé : \(V = L \times \ell \times h\)
Cylindre : \(V = \pi r^2 \times h\)
1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L
Longueurs × k → volume × \(k^3\)
À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité

Volumes des solides usuels

Conversions de volume

1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L  |  1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³

Agrandissement de rapport k

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