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Activité — Théorème de Thalès dans le triangle

Chapitre 13  |  Seconde Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 35 min

Objectifs :

Situation professionnelle — Réduction d'un plan d'agencement

Métreur : Inès Morel — bureau d'études Bois & Plans 33, Bordeaux.

Inès trace le plan d'une pièce en utilisant une droite parallèle pour créer une version réduite d'un triangle (méthode de division proportionnelle). Voici la configuration :

A B C D E AB = 4,80 m DE = ? (∥ AB) CD = 1,80 m CA = 2,70 m

DE est parallèle à AB. D est sur [CA], E est sur [CB].

Données : AB = 4,80 m  |  CD = 1,80 m  |  CA = 2,70 m. Trouver DE.

Problématique :

Comment calculer une distance inaccessible à partir de deux triangles en situation de Thalès ?

Question 1  APP

  1. Identifie les éléments de la configuration de Thalès : quelle droite est parallèle à quelle autre ?
  2. Où se trouvent les points D et E par rapport au triangle ABC ?
  3. Calcule le rapport \(\dfrac{CD}{CA}\). Que représente ce nombre ?
  1. DE est parallèle à AB.
  2. D est sur le côté [CA] du triangle, E est sur le côté [CB].
  3. \(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{1{,}80}{2{,}70} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667\) — c'est le rapport de réduction : le triangle CDE est réduit aux 2/3 du triangle CAB.

Question 2  ANA

Le théorème de Thalès dit que si DE ∥ AB, avec D sur [CA] et E sur [CB], alors :

\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{DE}{AB}\)

  1. Quel rapport est-on capable de calculer avec les données connues ?
  2. Écris l'égalité qui permet de calculer DE.
  1. On connaît \(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{1{,}80}{2{,}70}\) et on connaît AB.
  2. D'après Thalès : \(\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{CD}{CA}\), donc \(\dfrac{DE}{4{,}80} = \dfrac{1{,}80}{2{,}70}\)

Question 3  REA

Calcule la longueur DE à partir de l'égalité de la question 2.

\(\dfrac{DE}{4{,}80} = \dfrac{1{,}80}{2{,}70}\)

\(DE = 4{,}80 \times \dfrac{1{,}80}{2{,}70} = 4{,}80 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{9{,}60}{3} = 3{,}20\,\text{m}\)

Question 4  VAL

  1. Vérifie : \(\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{3{,}20}{4{,}80}\). Est-ce bien égal à \(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{1{,}80}{2{,}70}\) ?
  2. Conclus sur la longueur DE.
  1. \(\dfrac{3{,}20}{4{,}80} = \dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{1{,}80}{2{,}70} = \dfrac{2}{3}\) ✔ — les rapports sont bien égaux.
  2. DE = 3,20 m.

Question 5  REA

Inès veut agrandir un motif de 35 cm de largeur pour qu'il fasse 56 cm. Elle utilise le rapport d'agrandissement \(k = \dfrac{56}{35}\).

  1. Calcule \(k\). S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ?
  2. Le motif a aussi une hauteur de 20 cm. Quelle sera sa nouvelle hauteur après agrandissement ?
  1. \(k = \dfrac{56}{35} = 1{,}6\). Comme \(k > 1\), c'est un agrandissement.
  2. Nouvelle hauteur : \(20 \times 1{,}6 = 32\,\text{cm}\)

Question 6  ANA

Un plan est à l'échelle 1/50 (chaque cm sur le plan représente 50 cm en réalité).

  1. Sur le plan, une pièce mesure 8 cm × 6 cm. Quelles sont ses dimensions réelles ?
  2. Une poutre de 4,20 m en réalité mesure combien de cm sur le plan ?
  1. Rapport k = 50. Dimensions réelles : \(8 \times 50 = 400\,\text{cm} = 4\,\text{m}\) et \(6 \times 50 = 300\,\text{cm} = 3\,\text{m}\).
  2. Sur le plan : \(\dfrac{420\,\text{cm}}{50} = 8{,}4\,\text{cm}\)

Question 7  COM

Complète le résumé :

Si DE ∥ AB (D sur [CA], E sur [CB]), alors :
\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{DE}{____}\)
Ce rapport commun s'appelle le ____ d'agrandissement (ou de réduction).
Si \(k > 1\) : ____. Si \(k < 1\) : ____.
\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{DE}{\mathbf{AB}}\)
Ce rapport s'appelle le rapport d'agrandissement.
Si \(k > 1\) : agrandissement. Si \(k < 1\) : réduction.
À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité

Théorème de Thalès

Si DE ∥ AB, avec D sur [CA] et E sur [CB] :

\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{DE}{AB}\)

Rapport d'agrandissement

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