Chapitre 13 – Théorème de Thalès dans le triangle | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 3 juillet 2026
💡 Notions centrales : leçon §2 (théorème de Thalès) et §4 (mesurer une hauteur par visée). \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\).
Peut-on connaître la hauteur d'une éolienne de plusieurs mètres sans y grimper ni utiliser d'appareil coûteux, avec seulement un bâton gradué planté dans le sol ?
Oui ! En plantant un jalon vertical et en alignant son regard (œil → sommet du jalon → sommet du mât), on forme deux triangles emboîtés. Le théorème de Thalès relie alors la hauteur connue du jalon à la hauteur cherchée du mât. C'est une méthode ancienne, précise… et gratuite.
Karim intervient sur une petite éolienne (aérogénérateur) installée sur un site agricole. Avant de préparer son matériel d'accès en hauteur (échelle, harnais, ligne de vie), il doit connaître la hauteur du mât — du pied jusqu'à la nacelle — sans pouvoir y grimper. Par une belle journée, il utilise la méthode de la visée : il s'allonge, place son œil au ras du sol en \(A\), plante un jalon gradué vertical devant lui, puis recule jusqu'à ce que, d'un seul coup d'œil, le sommet du jalon et le sommet du mât soient exactement alignés sur la même ligne de visée.
L'œil est en \(A\), au niveau du sol. Le jalon \([DE]\) est planté verticalement en \(D\) ; le mât \([BC]\) est vertical, planté en \(B\). Le regard part de \(A\), passe par le sommet \(E\) du jalon et atteint le sommet \(C\) du mât : les trois points \(A\), \(E\), \(C\) sont donc alignés.
Le jalon et le mât étant tous deux verticaux, les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont parallèles : on obtient une configuration de Thalès de sommet \(A\), avec \(D\in[AB]\) et \(E\in[AC]\).
Sur le schéma, l'œil de Karim est en \(A\), le pied du jalon en \(D\) et le pied du mât en \(B\) ; le sommet du jalon est en \(E\), le sommet du mât en \(C\). Quelles sont les deux droites parallèles ? Justifie, puis nomme la configuration.
Le jalon \([DE]\) et le mât \([BC]\) sont tous les deux verticaux : ils sont donc parallèles, \((DE)\parallel(BC)\). Avec le sommet commun \(A\) (l'œil), \(D\in[AB]\) et \(E\in[AC]\), on est dans une configuration de Thalès directe de sommet \(A\).
Écris l'égalité des trois rapports du théorème de Thalès dans le triangle \(ABC\), sachant que \((DE)\parallel(BC)\). Indique quel rapport est utile pour trouver la hauteur \(BC\).
D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}\). Pour la hauteur, on garde le rapport qui contient \(BC\) : \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\).
À l'aide des relevés (\(AD=2{,}40\) m, \(AB=24{,}0\) m, \(DE=1{,}50\) m), calcule la hauteur \(BC\) du mât. Détaille le produit en croix.
\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\Rightarrow\dfrac{2{,}40}{24{,}0}=\dfrac{1{,}50}{BC}\).
Produit en croix : \(2{,}40\times BC = 24{,}0\times 1{,}50 = 36{,}0\).
Donc \(BC=\dfrac{36{,}0}{2{,}40}=\mathbf{15\ \text{m}}\). Le mât mesure 15 mètres.
Le mât d'une petite éolienne mesure en général entre 10 m et 20 m jusqu'à la nacelle. Le résultat trouvé est-il cohérent ?
Oui : \(15\) m est bien compris entre \(10\) m et \(20\) m. La hauteur trouvée est réaliste pour un mât de petite éolienne : la mesure par visée est donc plausible.
Explique pourquoi il est indispensable que le jalon et le mât soient tous deux bien verticaux pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès ici.
Le théorème de Thalès exige deux droites parallèles \((DE)\parallel(BC)\). C'est la verticalité commune du jalon et du mât qui garantit ce parallélisme. Si le jalon était penché, \((DE)\) ne serait plus parallèle à \((BC)\) : l'égalité des rapports serait fausse et la hauteur calculée serait erronée.
Un collègue refait la mesure avec un jalon télescopique de 2,00 m. Depuis le même point d'observation, il doit le placer un peu plus loin : il relève \(AD'=3{,}20\) m et \(AB'=24{,}0\) m. Retrouve-t-il la même hauteur de mât ?
\(\dfrac{AD'}{AB'}=\dfrac{DE'}{BC}\Rightarrow\dfrac{3{,}20}{24{,}0}=\dfrac{2{,}00}{BC}\).
\(BC=\dfrac{2{,}00\times 24{,}0}{3{,}20}=\dfrac{48{,}0}{3{,}20}=\mathbf{15\ \text{m}}\).
Avec un jalon différent, on retrouve bien 15 m : la méthode est fiable et ne dépend pas de la hauteur du jalon choisi.
Avec les premiers relevés, calcule le rapport \(k=\dfrac{AD}{AB}\). Que représente ce nombre pour le petit triangle \(ADE\) par rapport au grand triangle \(ABC\) ?
\(k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2{,}40}{24{,}0}=0{,}10=\dfrac{1}{10}\).
Le triangle \(ADE\) est une réduction du triangle \(ABC\) de rapport \(\tfrac{1}{10}\) : toutes ses longueurs sont \(10\) fois plus petites. On le vérifie avec \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1{,}50}{15}=0{,}10\). Dans cette visée, le jalon se comporte comme une maquette du mât à l'échelle \(1/10\).
Rédige 2 à 3 phrases pour la fiche d'intervention de Karim : la méthode employée, la hauteur du mât trouvée, et une précaution à respecter pour que la mesure soit juste.
Exemple : « La hauteur du mât a été déterminée par la méthode de la visée (théorème de Thalès), à l'aide d'un jalon gradué : on obtient 15 m jusqu'à la nacelle. Précautions : planter le jalon bien vertical (pour que \((DE)\parallel(BC)\)) et vérifier que l'œil, le sommet du jalon et le sommet du mât sont parfaitement alignés au moment de la lecture. »
\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\Rightarrow\dfrac{2{,}40}{AB}=\dfrac{1{,}50}{30}=0{,}05\).
Donc \(AB=\dfrac{2{,}40}{0{,}05}=\mathbf{48\ \text{m}}\) : il faut s'éloigner à \(48\) m du pied du mât.
Réponse à la problématique : l'alignement du regard sur le sommet du jalon puis sur le sommet du mât crée une configuration de Thalès entre deux verticales. L'égalité des rapports donne alors la hauteur du mât à partir d'un jalon gradué et de deux distances mesurées au sol.
📚 §2 (théorème de Thalès) et §4 (mesurer une hauteur par visée) de la leçon Ch13.
Méthode de mesure de hauteur inaccessible par visée (jalon), appliquée au mât d'une petite éolienne. Longueurs choisies pour des rapports « propres ».