Chapitre 13 – Théorème de Thalès | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 20:10
💡 Notions centrales : leçon §1 (configuration de Thalès) et §2 (théorème de Thalès). \(\dfrac{SD}{SB}=\dfrac{DE}{BT}\).
Nadia, technicienne en énergies renouvelables, doit relever la hauteur d'un mât d'éclairage solaire avant d'y intervenir, sans pouvoir y grimper. Par temps ensoleillé, elle plante un piquet vertical et le déplace jusqu'à ce que l'ombre du piquet se termine exactement au même endroit que l'ombre du mât (le point S). Les rayons du soleil étant parallèles, elle obtient une configuration de Thalès.
Dans le triangle \(SBT\), le point \(D\) est sur \([SB]\) et \(E\) sur \([ST]\). Quelles sont les deux droites parallèles ? Pourquoi le sont-elles ?
Les droites \((DE)\) et \((BT)\) sont parallèles : le piquet et le mât sont tous deux verticaux. On est dans une configuration de Thalès de sommet \(S\) (le bout commun des deux ombres).
Écris l'égalité de Thalès dans le triangle \(SBT\) avec \((DE)\parallel(BT)\).
\(\dfrac{SD}{SB}=\dfrac{SE}{ST}=\dfrac{DE}{BT}\). Pour la hauteur, on utilise \(\dfrac{SD}{SB}=\dfrac{DE}{BT}\).
À partir de \(\dfrac{SD}{SB}=\dfrac{DE}{BT}\), calcule la hauteur \(BT\) du mât.
\(\dfrac{0{,}75}{6{,}00}=\dfrac{1{,}50}{BT}\) donc \(BT=\dfrac{1{,}50\times 6{,}00}{0{,}75}=\dfrac{9}{0{,}75}=\mathbf{12\ \text{m}}\).
Un mât d'éclairage public mesure en général entre 8 et 12 m. La hauteur trouvée est-elle cohérente ?
Oui : 12 m est une hauteur tout à fait réaliste pour un mât d'éclairage. La mesure par les ombres est donc plausible.
Pourquoi Nadia doit-elle mesurer les deux ombres au même moment ? Que se passerait-il si elle mesurait l'ombre du piquet une heure plus tard ?
Parce que la longueur des ombres dépend de la position du soleil, qui change au fil de la journée. Au même instant, les rayons ont la même inclinaison : les triangles sont semblables (Thalès). Une heure plus tard, l'ombre du piquet aurait une autre longueur et le calcul serait faussé.
Plus tard dans la journée, l'ombre du mât mesure \(SB = 9{,}00\) m et celle du piquet (1,50 m) mesure \(SD = 1{,}125\) m. Retrouve la hauteur du mât et vérifie qu'on obtient la même valeur.
\(BT=\dfrac{DE\times SB}{SD}=\dfrac{1{,}50\times 9{,}00}{1{,}125}=\dfrac{13{,}5}{1{,}125}=\mathbf{12\ \text{m}}\). Les ombres ont changé, mais la hauteur retrouvée est la même : c'est rassurant, la méthode est fiable.
Avec les premières mesures, le rapport \(\dfrac{SD}{SB}=\dfrac{0{,}75}{6{,}00}\) vaut combien ? Que représente ce nombre pour toutes les ombres prises au même instant ?
\(\dfrac{0{,}75}{6{,}00}=0{,}125\). Au même instant, le rapport \(\dfrac{\text{ombre}}{\text{hauteur}}\) est le même pour tous les objets verticaux : ici \(\dfrac{SB}{BT}=\dfrac{6{,}00}{12}=0{,}5\) et \(\dfrac{SD}{DE}=\dfrac{0{,}75}{1{,}50}=0{,}5\). C'est pourquoi le rapport des deux ombres est égal au rapport des deux hauteurs : \(\dfrac{SD}{SB}=\dfrac{DE}{BT}=\dfrac{1{,}50}{12}=0{,}125\) (Thalès).
Rédige 2 à 3 phrases pour la fiche d'intervention de Nadia : quelle méthode, quelle hauteur de mât, et quelle précaution prendre lors des mesures ?
Exemple : « La hauteur du mât a été déterminée par la méthode de l'ombre (Thalès), avec un piquet de 1,50 m : on trouve 12 m. Précaution : mesurer les deux ombres au même moment (les rayons du soleil doivent être parallèles) et planter le piquet bien vertical. »
\(\dfrac{SD}{SB}=\dfrac{DE}{BT}\Rightarrow \dfrac{1{,}00}{SB}=\dfrac{1{,}50}{12}=0{,}125\) donc \(SB=\dfrac{1{,}00}{0{,}125}=\mathbf{8\ \text{m}}\).
Réponse à la problématique : les rayons parallèles du soleil créent une configuration de Thalès entre un piquet et le mât. L'égalité des rapports donne la hauteur du mât à partir d'un piquet et des deux ombres.
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (configuration de Thalès) et §2 (théorème de Thalès) de la leçon Ch13.
Source : méthode de mesure de hauteur par l'ombre (gnomon), appliquée à un mât d'éclairage solaire. Longueurs choisies pour des rapports « propres ».