Chapitre 13 – Théorème de Thalès | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 20:10
💡 Notions centrales : leçon §1 (configuration de Thalès) et §2 (théorème de Thalès). \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\).
Léa, opératrice géomètre, doit relever la hauteur d'un immeuble en chantier sans pouvoir y monter. Elle utilise un piquet vertical (jalon) planté entre elle et le bâtiment, puis elle se baisse jusqu'à voir, dans le même alignement, le haut du piquet et le haut de l'immeuble.
Dans le triangle \(ABC\), le point \(D\) est sur \([AB]\) et \(E\) sur \([AC]\). Quelles sont les deux droites parallèles de la figure ? Pourquoi le sont-elles ?
Les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont parallèles : le piquet et la façade sont tous les deux verticaux, donc parallèles entre eux. On est dans une configuration de Thalès de sommet \(A\).
Écris l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès dans le triangle \(ABC\) avec \((DE)\parallel(BC)\).
\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}\). Pour le calcul de la hauteur, on utilise \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\).
À partir de \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\), calcule la hauteur \(BC\) de l'immeuble.
\(\dfrac{2}{15}=\dfrac{1{,}80}{BC}\) donc \(BC=\dfrac{1{,}80\times 15}{2}=\dfrac{27}{2}=\mathbf{13{,}5\ \text{m}}\).
Un étage d'immeuble fait environ 3 m de haut. La hauteur trouvée est-elle cohérente pour un bâtiment ? À combien d'étages cela correspond-il à peu près ?
13,5 m est tout à fait cohérent. \(13{,}5\div 3\approx 4{,}5\) : cela correspond à un immeuble d'environ 4 à 5 niveaux (R+4).
Si \((DE)\) n'était pas parallèle à \((BC)\) (piquet penché), pourrait-on encore utiliser le théorème de Thalès ? Explique.
Non : le théorème de Thalès n'égalise les rapports que si \((DE)\parallel(BC)\). Si le piquet est penché, l'égalité des rapports est fausse et le calcul donnerait une hauteur erronée. Il faut donc planter le piquet bien vertical.
Léa relève un second bâtiment avec le même piquet (\(DE=1{,}80\) m) : cette fois \(AD=3\) m et \(AB=24\) m. Calcule sa hauteur \(BC\).
\(\dfrac{3}{24}=\dfrac{1{,}80}{BC}\) donc \(BC=\dfrac{1{,}80\times 24}{3}=\dfrac{43{,}2}{3}=\mathbf{14{,}4\ \text{m}}\).
Vérifie ta hauteur autrement : simplifie le rapport \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{15}\), puis calcule \(\dfrac{DE}{BC}\) avec la hauteur que tu as trouvée. Que constates-tu ?
\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{15}=\dfrac{1}{7{,}5}\approx 0{,}133\). Avec \(BC=13{,}5\) m : \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1{,}80}{13{,}5}\approx 0{,}133\). Les deux rapports sont égaux : la configuration de Thalès est bien respectée et la hauteur \(BC=\mathbf{13{,}5\ \text{m}}\) est confirmée.
Rédige 2 à 3 phrases pour la fiche de relevé de Léa : quelle méthode a-t-elle utilisée, et quelle hauteur a-t-elle obtenue pour le premier immeuble ?
Exemple : « La hauteur a été obtenue par visée alignée sur un piquet vertical (méthode de Thalès). Avec AD = 2 m, AB = 15 m et un piquet de 1,80 m, on trouve une hauteur d'immeuble de 13,5 m, soit environ R+4. La mesure est fiable car le piquet a été planté parfaitement vertical (\((DE)\parallel(BC)\)). »
\(\dfrac{2}{AB}=\dfrac{1{,}80}{18}=0{,}1\) donc \(AB=\dfrac{2}{0{,}1}=\mathbf{20\ \text{m}}\). Il faudrait se placer à 20 m du mur.
Réponse à la problématique : en alignant l'œil, le haut d'un piquet et le haut du bâtiment, on crée une configuration de Thalès. L'égalité des rapports permet de calculer la hauteur inaccessible à partir de mesures faites au sol.
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (configuration de Thalès) et §2 (théorème de Thalès) de la leçon Ch13.
Source : méthode de mesure indirecte de hauteur par visée (topographie / géomètre). Distances et hauteurs choisies réalistes pour un chantier.