Chapitre 13 – Théorème de Thalès | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 15 juin 2026
🖥️ Pour t'entraîner : ouvre la simulation Lire un plan à l'échelle — change l'échelle (1:20, 1:50, 1:100) et vérifie tes conversions plan ↔ réel.
Léa, agenceuse de cuisines, reçoit le plan d'une cuisine que son client souhaite faire installer. Le plan est dessiné à l'échelle 1/50 (notation : « 1:50 » ou « 1/50 »). Sur le plan, la cuisine apparaît comme un rectangle de 8 cm × 6 cm avec un évier de 1,2 cm × 0,8 cm placé contre le mur.
Échelle 1/n : 1 cm sur le plan = n cm en réalité.
Exemple : 1/50 → 1 cm sur le plan = 50 cm en vrai = 0,50 m.
Pour passer du plan au réel : multiplier par n.
Pour passer du réel au plan : diviser par n.
| Échelle | Usage typique | Précision |
|---|---|---|
| 1/500 ou 1/200 | Plan de masse (terrain, bâtiment) | Vue d'ensemble |
| 1/100 | Plan de niveau (étage) | Architecture |
| 1/50 | Plan d'aménagement (cuisine, salle de bain) | Architecte d'intérieur |
| 1/20 | Détails de menuiserie | Plans d'agencement |
| 1/10 ou 1/5 | Plans de fabrication | Cotes précises |
| 1/1 (échelle réelle) | Gabarits | Découpe exacte |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (homothéties et agrandissements) et §4 (échelles dans les plans).
Que signifie « échelle 1/50 » pour la longueur ? Pour la surface ?
Pour les longueurs : 1 cm sur le plan = 50 cm = 0,50 m en réalité. Le rapport est k = 1/50 (réduction).
Pour les surfaces : attention, la surface est multipliée par k² ! 1 cm² sur le plan correspond à 50² = 2 500 cm² = 0,25 m² en réalité.
Ce facteur k² (et k³ pour les volumes) est une conséquence de la dimension : agrandir d'un facteur k augmente l'aire d'un facteur k².
Calculer les dimensions réelles de la cuisine (8 cm × 6 cm sur le plan, échelle 1/50).
Longueur réelle : 8 × 50 = 400 cm = 4 m.
Largeur réelle : 6 × 50 = 300 cm = 3 m.
Cuisine réelle : 4 m × 3 m = 12 m².
C'est une cuisine de taille moyenne pour un appartement familial.
Calculer les dimensions réelles de l'évier (1,2 cm × 0,8 cm sur le plan).
Longueur évier : 1,2 × 50 = 60 cm.
Largeur évier : 0,8 × 50 = 40 cm.
Évier réel : 60 × 40 cm.
✓ Conforme au standard d'un évier 1 cuve simple (60 × 40 ou 60 × 50).
Léa veut redessiner ce plan à l'échelle 1/25 (deux fois plus grand) pour mieux étudier les détails. Calculer les dimensions de la cuisine et de l'évier sur ce nouveau plan.
À l'échelle 1/25 : 1 cm = 25 cm.
Cuisine : 4 m = 400 cm → sur le plan : 400 / 25 = 16 cm.
3 m = 300 cm → 300 / 25 = 12 cm.
Cuisine sur nouveau plan : 16 × 12 cm.
Évier : 60 cm → 60 / 25 = 2,4 cm. 40 cm → 40 / 25 = 1,6 cm.
Le plan est 2 fois plus grand en linéaire (et 4 fois plus grand en surface), mais les dimensions réelles sont identiques.
Quel est l'avantage de redessiner à 1/25 plutôt qu'à 1/50 ?
À 1/25, on dispose de 2 fois plus de place sur le papier pour chaque mètre de cuisine. Donc :
Inconvénient : il faut un format de papier plus grand. Une cuisine de 4 m fait 16 cm à 1/25 (tient en A4) ; une grande pièce de 10 m ferait 40 cm (besoin d'un A3 ou A2).
Choix d'échelle = compromis entre précision du dessin et format papier.
Le plan total de l'appartement est fourni à l'échelle 1/100. La cuisine y mesure 4 cm × 3 cm. Calculer ses dimensions réelles. Cela cohère-t-il avec le plan à 1/50 ?
À 1/100 : 4 cm × 100 = 400 cm = 4 m, et 3 cm × 100 = 300 cm = 3 m.
Cuisine réelle : 4 m × 3 m. Cohérent avec le plan à 1/50.
Plus l'échelle est petite (1/100 < 1/50), plus le plan est réduit. C'est utile pour montrer un grand espace dans peu de papier.
Astuce de conversion entre échelles : à 1/100 (la cuisine fait 4 cm) et à 1/50 (elle fait 8 cm) → ratio 2. Donc pour passer de 1/100 à 1/50, on multiplie les dimensions par 2.
Léa veut faire un gabarit grandeur nature (échelle 1/1) pour la pose des meubles muraux. Calculer les dimensions des meubles si elle a un plan à 1/20 où ils mesurent 4 cm × 3 cm. Quel matériau utiliser pour le gabarit ?
Plan 1/20 : 4 cm × 20 = 80 cm, 3 cm × 20 = 60 cm.
Meuble réel : 80 × 60 cm.
Pour le gabarit 1/1 (taille réelle), utiliser :
L'avantage du 1/1 : tester le placement réel, vérifier les cotes avant achat, valider auprès du client visuellement.
Rédiger en 5 lignes la fiche pratique de Léa pour les conversions entre échelles.
Fiche pratique — Conversions plan ↔ réel
1. Lire l'échelle du plan (en bas à droite) : ex. 1/50, 1/100.
2. Plan → réel : multiplier les dimensions par n (= 50, 100…). Garder les unités cohérentes (cm, m).
3. Réel → plan : diviser par n.
4. Pour les surfaces, utiliser n² ; pour les volumes, n³.
5. Toujours vérifier la cohérence : une cuisine de 100 m² ou 0,1 m² ? → erreur d'échelle. Un évier 6 m ? → impossible.
Sur une carte routière à l'échelle 1/200 000, deux villes apparaissent à 25 cm. Calculer la distance réelle. À 90 km/h moyenne, combien de temps de trajet en voiture ?
Distance réelle : 25 × 200 000 = 5 000 000 cm = 50 000 m = 50 km.
Temps à 90 km/h : 50 / 90 ≈ 0,556 h ≈ 33 minutes (à vol d'oiseau).
En réalité, par la route (~1,3 fois plus long) : 50 × 1,3 = 65 km, soit ~43 min à 90 km/h.
Note : les cartes routières utilisent souvent 1/100 000 (cartes IGN détaillées) à 1/1 000 000 (cartes générales). Choisir l'échelle selon le besoin (orientation locale vs vue d'ensemble).