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Activité — Théorème de Pythagore et réciproque

Chapitre 12  |  Seconde Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 30 min

Objectifs :

Situation professionnelle — Vérification d'équerrage sur chantier

Menuisier : Hugo Faure — entreprise Menuiserie Faure & Fils, Bordeaux.

Hugo installe une baie coulissante dans une ouverture. Il doit vérifier que les angles sont bien droits avant de poser le cadre. Sa règle : si les trois côtés d'un triangle forment un triplet pythagoricien, l'angle est droit.

b = 3,60 m a = ? c (hyp.) 4,80 m 90°

Triangle rectangle : base = 3,60 m, hypoténuse = 4,80 m

Problématique :

Comment calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle à partir des deux autres côtés ?

Question 1  APP

  1. Dans le triangle du schéma, quel côté est l'hypoténuse ? Comment la reconnaît-on ?
  2. Quels sont les deux autres côtés ? Lesquels connaît-on ? Lequel cherche-t-on ?
  1. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit — c'est le plus grand côté : ici \(c = 4{,}80\,\text{m}\).
  2. Les deux autres côtés : \(b = 3{,}60\,\text{m}\) (connu) et \(a\) (inconnu, hauteur de l'ouverture).

Question 2  ANA

Le théorème de Pythagore dit : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

  1. Écris cette relation avec les lettres \(a\), \(b\) et \(c\) (hypoténuse).
  2. Calcule \(c^2\) et \(b^2\) avec les valeurs du problème.
  3. En déduire \(a^2\), puis \(a\).
  1. \(c^2 = a^2 + b^2\) (triangle rectangle en l'angle entre \(a\) et \(b\))
  2. \(c^2 = 4{,}80^2 = 23{,}04\)  |  \(b^2 = 3{,}60^2 = 12{,}96\)
  3. \(a^2 = c^2 - b^2 = 23{,}04 - 12{,}96 = 10{,}08\)
    \(a = \sqrt{10{,}08} \approx 3{,}17\,\text{m}\)

Question 3  REA

Hugo mesure une diagonale d'un cadre rectangulaire de 90 cm × 200 cm. Calcule la longueur de la diagonale.

La diagonale est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par les deux côtés du rectangle.
\(d^2 = 90^2 + 200^2 = 8\,100 + 40\,000 = 48\,100\)
\(d = \sqrt{48\,100} \approx 219{,}3\,\text{cm} \approx 2{,}19\,\text{m}\)

Question 4  VAL

Pour équerrer un angle, Hugo utilise la méthode « 3-4-5 » : il mesure 3 dm sur un côté, 4 dm sur l'autre, et vérifie que la diagonale fait exactement 5 dm.

  1. Vérifie : est-ce que \(3^2 + 4^2 = 5^2\) ?
  2. Que peut-on conclure sur l'angle entre les deux côtés ?
  3. Cette vérification utilise quelle propriété (théorème ou réciproque) ?
  1. \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) ✔
  2. L'angle entre les deux côtés est droit (90°).
  3. C'est la réciproque du théorème de Pythagore : si \(a^2 + b^2 = c^2\), alors le triangle est rectangle.

Question 5  ANA

Un triangle a des côtés mesurant 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ?

  1. Quel côté serait l'hypoténuse (le plus grand) ?
  2. Vérifie si \(5^2 + 12^2 = 13^2\).
  3. Conclus.
  1. L'hypoténuse serait le côté de 13 cm (le plus grand).
  2. \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) ✔
  3. Le triangle est bien rectangle (angle droit entre les côtés de 5 et 12 cm).

Question 6  COM

Complète le résumé :

Dans un triangle rectangle en A, l'hypoténuse est le côté ____.
Théorème de Pythagore : \(BC^2 = \)____ + ____
Réciproque : Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle est ____ en ____.
L'hypoténuse est toujours le côté le ____ du triangle rectangle.
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
Réciproque : le triangle est rectangle en A.
L'hypoténuse est toujours le côté le plus grand.
À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle en A : \(\quad BC^2 = AB^2 + AC^2\)

(L'hypoténuse au carré = somme des carrés des deux autres côtés.)

Réciproque

Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle ABC est rectangle en A.

Application pro : vérifier qu'un angle est droit sur un chantier (méthode 3-4-5).

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