Chapitre 12 – Théorème de Pythagore et réciproque | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 3 juillet 2026
💡 Notions centrales : leçon (théorème de Pythagore et sa réciproque). Dans un triangle rectangle : \(\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}^2 + \text{côté}^2\).
Un hauban est le câble tendu en biais, du sol jusqu'au mât, pour l'empêcher de basculer. À ton avis, ce câble est-il plus court, aussi long ou plus long que la hauteur à laquelle il est accroché sur le mât ?
Il est plus long. Le hauban est le côté en biais du triangle rectangle : c'est l'hypoténuse, toujours le plus grand côté. Il « rattrape » à la fois la hauteur (sur le mât) et la distance au sol.
Attention au raccourci faux : sa longueur n'est pas la somme (hauteur + distance au sol). On verra que \(\sqrt{a^2+b^2}\neq a+b\).
Léa installe une petite éolienne domestique chez un particulier. L'éolienne est fixée en haut d'un mât haubané : le mât est maintenu bien droit par des câbles tendus (les haubans) fixés d'un côté sur le mât, de l'autre à des points d'ancrage plantés dans le sol. Avant de commander les câbles, Léa doit calculer la longueur de chaque hauban ; après la pose, elle doit vérifier que le mât est parfaitement vertical.
On modélise le mât, le sol et un hauban par un triangle \(ABC\) rectangle en \(B\) (le pied du mât), car le mât est vertical et le sol horizontal :
Premier niveau de haubans : distance au sol \(AB = 6\ \text{m}\) ; hauteur d'attache \(BC = 8\ \text{m}\) ; longueur du hauban \(AC = ?\)
Sur la figure, le mât est vertical et le sol est horizontal.
a) Où se trouve l'angle droit du triangle \(ABC\) ?
b) Quel côté est l'hypoténuse ? Justifie.
a) L'angle droit est au pied du mât, en \(B\) : le mât (vertical) et le sol (horizontal) se coupent à \(90^\circ\).
b) L'hypoténuse est \([AC]\), c'est-à-dire le hauban : c'est le côté opposé à l'angle droit (en \(B\)), et le plus long côté du triangle.
Écris l'égalité du théorème de Pythagore pour le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\).
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
Pour le premier niveau, la distance au sol est \(AB = 6\ \text{m}\) et la hauteur d'attache \(BC = 8\ \text{m}\). Calcule la longueur du hauban \(AC\).
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
\(AC = \sqrt{100} = \mathbf{10\ \text{m}}\).
(On reconnaît le triplet 6 – 8 – 10, multiple de 3 – 4 – 5 : le résultat est exact.)
Le mât est tenu par 3 haubans identiques à ce niveau (Document 2). Pour chacun, il faut ajouter \(0{,}40\ \text{m}\) de câble pour les boucles de serrage. Quelle longueur totale de câble Léa doit-elle commander ?
Longueur d'un hauban avec les boucles : \(10 + 0{,}40 = 10{,}40\ \text{m}\).
Pour les 3 haubans : \(3 \times 10{,}40 = \mathbf{31{,}2\ \text{m}}\).
Léa commande donc au moins \(31{,}2\ \text{m}\) de câble (en pratique, on arrondit au mètre supérieur : \(32\ \text{m}\)).
Sur un second niveau, plus haut, un hauban de \(AC = 13\ \text{m}\) est accroché à \(BC = 12\ \text{m}\) de hauteur. À quelle distance \(AB\) du pied du mât Léa doit-elle planter le point d'ancrage ?
Ici on cherche un côté de l'angle droit : on soustrait les carrés.
\(AB^2 = AC^2 - BC^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\).
\(AB = \sqrt{25} = \mathbf{5\ \text{m}}\).
(Triplet 5 – 12 – 13 : le point d'ancrage est à 5 m du pied.)
Une fois le premier hauban posé, Léa veut être sûre que le mât est bien vertical. Elle mesure les trois longueurs réelles : hauteur d'attache \(8\ \text{m}\), distance au sol \(6\ \text{m}\), hauban \(10\ \text{m}\). À l'aide de la réciproque de Pythagore, le mât est-il bien à la verticale ?
Plus grand côté : le hauban, \(10\ \text{m}\) → candidat hypoténuse. \(10^2 = 100\).
Somme des carrés des deux autres : \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
\(100 = 100\) ✓ : d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle en \(B\). Le pied du mât forme donc un angle droit avec le sol : le mât est bien à la verticale. ✓
Avant l'installation, Léa dresse un petit mât de mesure du vent. Un hauban y est accroché à \(BC = 6\ \text{m}\) et ancré à \(AB = 4\ \text{m}\) du pied. Calcule la longueur \(AC\) de ce hauban : donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centimètre.
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\).
Valeur exacte : \(AC = \sqrt{52}\ \text{m}\).
Valeur arrondie : \(AC \approx \mathbf{7{,}21\ \text{m}}\) (au centimètre).
Ici, aucun triplet d'entiers ne convient : le résultat n'est pas « rond », il faut arrondir.
Rédige 2 à 3 phrases pour la fiche de pose : quelle longueur de hauban pour le premier niveau (distance au sol 6 m, hauteur d'attache 8 m), et comment Léa a-t-elle contrôlé que le mât est bien vertical ?
Exemple de rédaction : « Pour le premier niveau (distance au sol \(6\ \text{m}\), hauteur d'attache \(8\ \text{m}\)), chaque hauban mesure 10 m d'après le théorème de Pythagore : \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\). La verticalité du mât a été contrôlée par la réciproque de Pythagore : les mesures 6 m, 8 m et 10 m vérifient \(10^2 = 6^2 + 8^2\), donc le pied du mât forme bien un angle droit avec le sol. »
\(AC^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180\).
\(AC = \sqrt{180} \approx \mathbf{13{,}42\ \text{m}}\) (au centimètre).
Le hauban est plus long qu'avant (10 m) car le point d'attache est plus haut sur le mât.
Réponse à la problématique : le théorème de Pythagore donne la longueur du hauban (l'hypoténuse) à partir de la hauteur d'attache et de la distance au sol ; sa réciproque permet de vérifier que le mât est bien à la verticale.
📚 §2 (théorème de Pythagore) et §3 (réciproque) de la leçon Ch12.
Contexte : haubanage d'un mât de petite éolienne / mât de mesure du vent. Dimensions choisies pour former des triangles rectangles à valeurs « propres » (6 – 8 – 10 ; 5 – 12 – 13) sauf en Q7 (résultat à arrondir) afin de travailler aussi les cas non entiers.