Chapitre 12 – Théorème de Pythagore et réciproque | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 18:20
💡 Notions centrales : leçon §2 (théorème de Pythagore). Dans un rectangle, la diagonale et deux côtés forment un triangle rectangle : \(\text{diagonale}^2=\text{largeur}^2+\text{hauteur}^2\).
Quand on achète une télévision ou un smartphone, le vendeur annonce toujours une taille en pouces : « TV 59 pouces », « écran 6,8 pouces »… Mais cette mesure ne correspond ni à la largeur, ni à la hauteur de l'écran : c'est la longueur de sa diagonale. Un pouce (en anglais inch) vaut 2,54 cm. Sarah veut vérifier si la TV affichée « 59 pouces » dans une publicité a bien la taille annoncée.
Dans le triangle rectangle ABC (rectangle en B), quel côté est l'hypoténuse : la largeur BC, la hauteur AB, ou la diagonale AC ? Justifie.
L'hypoténuse est la diagonale AC : c'est le côté opposé à l'angle droit (situé en B), c'est aussi le plus grand côté du triangle.
Recopie le théorème de Pythagore adapté à ce triangle, en remplaçant l'hypoténuse et les deux côtés de l'angle droit par les noms AC, AB et BC.
Le triangle est rectangle en B, donc l'hypoténuse est AC : \[AC^2 = AB^2 + BC^2.\]
Calcule \(AB^2 + BC^2\) avec \(AB = 90\) cm et \(BC = 120\) cm.
\(AB^2 + BC^2 = 90^2 + 120^2 = 8\,100 + 14\,400 = \mathbf{22\,500}\) (en cm²).
Déduis-en la longueur de la diagonale \(AC\), en cm.
\(AC = \sqrt{22\,500} = \mathbf{150}\) cm. (On reconnaît le triplet 90-120-150, qui est le triplet 3-4-5 multiplié par 30.)
Sachant que 1 pouce = 2,54 cm, convertis la diagonale de 150 cm en pouces. Arrondis à l'unité.
On divise par 2,54 : \(\dfrac{150}{2{,}54} \approx 59{,}1\) pouces, soit environ 59 pouces.
La publicité annonce « 59 pouces ». D'après ton calcul, l'annonce est-elle correcte ? Réponds à la problématique.
La diagonale calculée vaut environ 59 pouces : l'annonce de la publicité est donc correcte. La « taille » d'un écran est bien la longueur de sa diagonale, et non sa largeur ou sa hauteur.
Le smartphone de Sarah a un écran de largeur 7,2 cm et de hauteur 15,6 cm. Calcule la diagonale de cet écran en cm (arrondis au mm), puis convertis-la en pouces (arrondis au dixième).
Diagonale² \(= 7{,}2^2 + 15{,}6^2 = 51{,}84 + 243{,}36 = 295{,}2\).
Diagonale \(= \sqrt{295{,}2} \approx \mathbf{17{,}2}\) cm (arrondi au mm).
En pouces : \(\dfrac{17{,}2}{2{,}54} \approx \mathbf{6{,}8}\) pouces. Le téléphone est donc un « 6,8 pouces ».
Rédige 2 à 3 phrases pour expliquer à un camarade pourquoi la taille d'un écran (TV ou smartphone) se calcule avec le théorème de Pythagore.
Exemple : « La taille annoncée d'un écran est la longueur de sa diagonale. Comme les coins de l'écran forment des angles droits, la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont la largeur et la hauteur. On la calcule donc avec le théorème de Pythagore : \(\text{diagonale}^2 = \text{largeur}^2 + \text{hauteur}^2\), puis on prend la racine carrée. Enfin, on divise par 2,54 pour passer des centimètres aux pouces. »
Diagonale² \(= 80^2 + 60^2 = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000\), donc diagonale \(= \sqrt{10\,000} = \mathbf{100}\) cm (triplet 60-80-100, multiple de 3-4-5).
En pouces : \(\dfrac{100}{2{,}54} \approx \mathbf{39{,}4}\) pouces. C'est donc un écran « 39 pouces » environ.
Réponse à la problématique : la diagonale de la TV vaut \(\sqrt{90^2+120^2}=150\) cm, soit \(150 \div 2{,}54 \approx 59\) pouces : l'annonce « 59 pouces » est correcte. La taille d'un écran est toujours la longueur de sa diagonale.
📚 Cette activité s'appuie sur §2 (théorème de Pythagore) de la leçon Ch12.