Chapitre 12 – Théorème de Pythagore et réciproque | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 22 juin 2026
💡 Notions centrales : leçon §2 (théorème de Pythagore) et §3 (réciproque). Réciproque : si \(c^2=a^2+b^2\) (avec \(c\) le plus grand côté), alors le triangle est rectangle.
Léa, technicienne géomètre, implante les fondations d'un local technique. L'angle entre deux murs doit être parfaitement droit (90°). Sans rapporteur géant sur le terrain, les géomètres utilisent une astuce très ancienne : la méthode 3-4-5, qui repose sur un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités.
Dans le triangle ABC du Document 1, quel côté serait l'hypoténuse si l'angle en A est droit ? Pourquoi ?
Ce serait BC : l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (ici en A), c'est aussi le plus grand côté du triangle.
Calcule \(AB^2+AC^2\) avec \(AB=3\) m et \(AC=4\) m.
\(AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=\mathbf{25}\) (en m²).
Premier essai : la diagonale mesurée est \(BC=5\) m. Calcule \(BC^2\).
\(BC^2=5^2=\mathbf{25}\) (en m²).
Compare \(BC^2\) et \(AB^2+AC^2\). En appliquant la réciproque du théorème de Pythagore, que peux-tu conclure sur l'angle en A ?
\(BC^2=25\) et \(AB^2+AC^2=25\) : ils sont égaux. D'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle en A : l'angle est bien droit. La fondation est d'équerre.
Pourquoi appelle-t-on cette technique la « méthode 3-4-5 » ? À quel ensemble de nombres correspond le triplet \((3\,;\,4\,;\,5)\) ?
Parce qu'on utilise les longueurs 3, 4 et 5. \((3\,;\,4\,;\,5)\) est un triplet pythagoricien : \(3^2+4^2=5^2\) (\(9+16=25\)). C'est le plus simple, donc le plus pratique sur chantier.
Deuxième angle du bâtiment : Léa relève \(AB=3\) m, \(AC=4\) m mais \(BC=5{,}2\) m. Calcule \(BC^2\) et compare à \(AB^2+AC^2\).
\(BC^2=5{,}2^2=27{,}04\). Or \(AB^2+AC^2=25\). On a \(27{,}04\neq 25\).
Que peut conclure Léa pour ce deuxième angle ? Doit-elle corriger le tracé avant de couler les fondations ?
Comme \(BC^2\neq AB^2+AC^2\), la réciproque de Pythagore n'est pas vérifiée : le triangle n'est pas rectangle, l'angle n'est pas droit. La diagonale est trop grande (5,2 m au lieu de 5 m), l'angle est légèrement ouvert. Léa doit corriger le tracé avant de couler les fondations.
Rédige 2 à 3 phrases pour expliquer à un apprenti la méthode 3-4-5 et le rôle de la réciproque de Pythagore pour vérifier un angle droit.
Exemple : « On reporte 3 m sur un mur et 4 m sur l'autre, puis on mesure la diagonale. Si elle vaut exactement 5 m, alors \(3^2+4^2=5^2\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, donc l'angle est droit. Si la diagonale est différente de 5 m, l'angle n'est pas droit et il faut corriger le tracé. »
\(6^2+8^2=36+64=100\) et \(10^2=100\). Comme \(6^2+8^2=10^2\), le triangle 6-8-10 est rectangle : il donne aussi un angle droit (c'est le triplet 3-4-5 multiplié par 2). Des cordeaux plus longs donnent un tracé plus précis.
Réponse à la problématique : on est certain qu'un angle est droit grâce à la réciproque du théorème de Pythagore. En reportant 3 m et 4 m puis en mesurant la diagonale : si elle vaut 5 m, alors \(3^2+4^2=5^2\) et l'angle est droit. Sinon, l'angle est faux et le tracé doit être corrigé.
📚 Cette activité s'appuie sur §2 (théorème de Pythagore) et §3 (réciproque) de la leçon Ch12.