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Activité — Fonction carré et variations DÉCOUVERTE

Chapitre 10  |  Seconde Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 30 min

Objectifs :

Situation professionnelle — Panneaux carrés en bois

Fabricant de mobilier : Lucie Arnaud — atelier Bois Design 64, Pau.

Lucie fabrique des panneaux carrés en bois pour des portes de placards. Elle note la surface de chaque panneau selon la longueur de son côté.

Côté \(x\) (m)00,511,522,53
Surface \(f(x)\) (m²)???????

La surface d'un carré de côté \(x\) est donnée par \(f(x) = x^2\).

Problématique :

Comment déterminer les dimensions optimales d'une pièce pour maximiser ou minimiser une surface ?

Question 1  REA

Complète le tableau de valeurs de \(f(x) = x^2\) pour les valeurs positives.

\(x\)00,511,522,53
\(f(x)\)00,2512,2546,259

Question 2  ANA

Observe maintenant des valeurs négatives de \(x\) (même si une longueur ne peut pas être négative, c'est utile mathématiquement).

  1. Calcule \(f(2)\) et \(f(-2)\). Que remarques-tu ?
  2. Calcule \(f(3)\) et \(f(-3)\). Même question.
  3. Complète : « Deux nombres opposés ont toujours la même ____ par la fonction carré. »
  1. \(f(2) = 4\) et \(f(-2) = (-2)^2 = 4\). Ils sont égaux.
  2. \(f(3) = 9\) et \(f(-3) = 9\). Idem.
  3. Deux nombres opposés ont toujours la même image par la fonction carré. Propriété : \(f(-x) = f(x)\).

Question 3  ANA

Observe le tableau complet (valeurs positives et négatives) :

\(x\)−3−2−10123
\(f(x) = x^2\)9410149
  1. Quelle est la valeur minimale de \(f(x)\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-elle atteinte ?
  2. Sur \([-3\,;\,0]\), la fonction est-elle croissante ou décroissante ? Sur \([0\,;\,3]\) ?
  3. La fonction est-elle monotone sur \(\mathbb{R}\) entier (toujours croissante ou toujours décroissante) ?
  1. Valeur minimale : \(f(0) = 0\). Elle est atteinte en \(x = 0\).
  2. Sur \([-3\,;\,0]\) : de 9 à 0 → décroissante. Sur \([0\,;\,3]\) : de 0 à 9 → croissante.
  3. Non, elle n'est pas monotone : elle décroît puis croît. Elle n'est pas comme la droite (monotone partout).

Question 4  REA

Lucie double la taille d'un panneau : elle passe d'un côté de 1 m à un côté de 2 m.

  1. Par combien le côté est-il multiplié ?
  2. Calcule \(f(1)\) et \(f(2)\). Par combien la surface est-elle multipliée ?
  3. Est-ce que « doubler le côté = doubler la surface » ? Explique.
  1. Le côté est multiplié par 2.
  2. \(f(1) = 1\,\text{m}^2\) et \(f(2) = 4\,\text{m}^2\). La surface est multipliée par 4.
  3. Non ! Doubler le côté quadruple la surface. C'est dû au carré : \((2x)^2 = 4x^2\).

Question 5  REA

Lucie veut un panneau de surface exactement 6,25 m². Quel côté doit-elle choisir ?

  1. Écris l'équation : \(x^2 = \ldots\)
  2. À partir du tableau de la Q1, lis la réponse.
  1. \(x^2 = 6{,}25\)
  2. D'après le tableau : \(f(2{,}5) = 6{,}25\) → le côté doit être 2,5 m.

Question 6  COM

Complète le résumé :

La fonction carré est définie par \(f(x) = \)____.
Sa courbe est une ____ de sommet en \((0\,;\,0)\).
Propriété de symétrie : \(f(-x) = \)____ — deux opposés ont la même ____.
Minimum de \(f\) : \(f(0) = \)____, atteint en \(x = \)____.
Si on multiplie \(x\) par \(k\), la surface est multipliée par ____.
\(f(x) = x^2\). Courbe : parabole.
\(f(-x) = f(x)\) — deux opposés ont la même image.
Minimum : \(f(0) = 0\), en \(x = 0\).
Si on multiplie \(x\) par \(k\), la surface est multipliée par \(k^2\).
À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité

Fonction carré \(f(x) = x^2\)

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