Chapitre 10 – Fonction carré et variations | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 16:40
💡 Notions centrales : leçon (fonction carré \(x\mapsto x^2\), tableau de valeurs, parabole, variations).
Sarah, technicienne en installations électriques, étudie l'échauffement d'un câble alimentant un radiateur. Quand un courant d'intensité \(I\) (en ampères) traverse une résistance \(R\), le câble dissipe une puissance \(P\) (en watts) par effet Joule : c'est ce qui chauffe le conducteur. Pour ce câble, \(R = 5\ \Omega\) (constant), et la formule est \(P = R\times I^2 = 5\,I^2\).
| Intensité \(I\) (A) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Puissance \(P=5\,I^2\) (W) | 0 | … | … | … | … |
La formule \(P=5\,I^2\) est-elle une situation de proportionnalité (du type \(P=k\,I\)) ou une fonction carré (du type \(P=k\,I^2\)) ? Justifie.
C'est une fonction carré : l'intensité apparaît au carré (\(I^2\)), multipliée par le coefficient \(k=5\). Ce n'est pas de la proportionnalité (sinon \(P\) serait du type \(k\,I\)).
Complète le tableau du Document 1 en calculant \(P=5\,I^2\) pour chaque intensité.
\(I=1\to 5\times1^2=\mathbf{5}\) ; \(I=2\to 5\times4=\mathbf{20}\) ; \(I=3\to 5\times9=\mathbf{45}\) ; \(I=4\to 5\times16=\mathbf{80}\) W.
Vérifie que les points du tableau sont bien placés sur la courbe du Document 2. Quelle est l'allure de cette courbe ?
Les points (0;0), (1;5), (2;20), (3;45), (4;80) sont sur la courbe. C'est une parabole (branche de la fonction carré pour \(I\ge 0\)), de plus en plus « raide » quand \(I\) augmente.
Quand l'intensité double (de \(I=1\) à \(I=2\)), par combien la puissance est-elle multipliée ? Et de \(I=2\) à \(I=4\) ?
De \(I=1\) à \(I=2\) : \(P\) passe de 5 à 20 W, soit ×4. De \(I=2\) à \(I=4\) : de 20 à 80 W, soit ×4 aussi. Avec une fonction carré, doubler \(I\) multiplie \(P\) par \(2^2=4\).
La puissance mesurée vaut \(P=45\) W. Retrouve l'intensité \(I\) correspondante (on cherche \(I\) tel que \(5\,I^2=45\)).
\(5\,I^2=45\Rightarrow I^2=9\Rightarrow I=\sqrt{9}=\mathbf{3\ \text{A}}\) (l'intensité est positive). On retrouve bien le point (3 ; 45) de la courbe.
Sur la branche \(I\ge 0\), la puissance \(P\) est-elle croissante ou décroissante ? Qu'est-ce que cela signifie pour l'échauffement du câble ?
Pour \(I\ge 0\), \(P\) est croissante : plus l'intensité augmente, plus le câble chauffe — et de plus en plus vite (croissance « en carré »). Il faut donc limiter l'intensité pour éviter la surchauffe.
Le câble ne doit pas dissiper plus de 80 W pour rester sûr. Quelle est l'intensité maximale admissible ?
\(5\,I^2=80\Rightarrow I^2=16\Rightarrow I=\sqrt{16}=\mathbf{4\ \text{A}}\). Au-delà de 4 A, le câble dépasse 80 W et risque de surchauffer.
Rédige 2 à 3 phrases pour expliquer à un apprenti pourquoi « doubler le courant » est bien plus dangereux pour l'échauffement que « doubler la longueur du câble ».
Exemple : « La puissance dissipée suit une fonction carré \(P=5\,I^2\). Si on double l'intensité, la puissance qui chauffe le câble est multipliée par 4, pas par 2. C'est pourquoi un courant trop fort fait surchauffer très vite ; l'intensité maximale ici est de 4 A (80 W). »
\(P=2\times 5^2=2\times 25=\mathbf{50\ \text{W}}\). La forme reste une fonction carré, seul le coefficient change.
Réponse à la problématique : la puissance dissipée suit une fonction carré de l'intensité (\(P=k\,I^2\)) : elle croît de plus en plus vite. Doubler l'intensité multiplie la puissance par 4.
📚 Cette activité s'appuie sur la fonction carré et ses variations (leçon Ch10).
Source : effet Joule \(P=R\,I^2\) (électrotechnique). Valeurs de R et d'intensité choisies pour des calculs accessibles ; ordres de grandeur réalistes pour un petit circuit.