Chapitre 10 – Fonction carré et variations | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 22 juin 2026
💡 Notions centrales : leçon §2 (fonction carré \(f(x)=x^2\)) et §5 (sens de variation). Aire d'un carré de côté \(c\) : \(\mathcal{A}=c^2\).
Yanis, technicien géomètre, doit estimer la quantité de béton pour couler des dalles carrées de différentes tailles sur un chantier. Pour cela il doit d'abord calculer la surface de chaque dalle, qui dépend de son côté \(c\). Il remarque que l'aire « explose » dès que le côté augmente un peu.
| Côté \(c\) (m) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Aire \(\mathcal{A}=c^2\) (m²) | 1 | 4 | 9 | ? | ? | ? |
D'après le Document 1, quelle est la formule qui donne l'aire \(\mathcal{A}\) d'une dalle carrée en fonction de son côté \(c\) ?
\(\mathcal{A}=c\times c=\mathbf{c^2}\). C'est la fonction carré appliquée au côté.
Complète le Document 2 : calcule l'aire pour \(c=4\) m, \(c=5\) m et \(c=6\) m.
\(\mathcal{A}(4)=4^2=\mathbf{16\ \text{m}^2}\) ; \(\mathcal{A}(5)=5^2=\mathbf{25\ \text{m}^2}\) ; \(\mathcal{A}(6)=6^2=\mathbf{36\ \text{m}^2}\).
Observe le tableau complété : quand le côté \(c\) augmente, l'aire augmente-t-elle aussi ? La fonction carré est-elle croissante pour les côtés (qui sont toujours positifs) ?
Oui : plus \(c\) augmente, plus l'aire augmente (1 → 4 → 9 → 16 → 25 → 36). Pour des valeurs positives de \(c\), la fonction carré est croissante : sur \([0\,;\,+\infty[\) la courbe (parabole) monte.
Compare une dalle de côté \(c=2\) m et une dalle de côté \(c=4\) m (le côté est doublé). Donne les deux aires, puis le rapport entre la grande et la petite.
\(\mathcal{A}(2)=4\ \text{m}^2\) et \(\mathcal{A}(4)=16\ \text{m}^2\).
Rapport : \(\dfrac{16}{4}=\mathbf{4}\). En doublant le côté, l'aire est multipliée par 4, pas par 2 !
Vérifie sur un deuxième exemple : compare une dalle de côté \(c=3\) m et une dalle de côté \(c=6\) m (côté doublé). Le rapport des aires est-il encore 4 ?
\(\mathcal{A}(3)=9\ \text{m}^2\) et \(\mathcal{A}(6)=36\ \text{m}^2\). Rapport : \(\dfrac{36}{9}=\mathbf{4}\). Oui, c'est encore 4 : doubler le côté multiplie toujours l'aire par 4.
Explique algébriquement pourquoi le rapport vaut 4 : calcule l'aire d'une dalle dont le côté est \(2c\) et compare à \(c^2\).
Aire avec côté \(2c\) : \((2c)^2=2^2\times c^2=4c^2\). Or l'aire de départ est \(c^2\). Donc la nouvelle aire est \(4\times c^2\) : toujours 4 fois plus grande, quel que soit \(c\). Le « carré » fait que le facteur 2 devient \(2^2=4\).
Yanis prévoit \(0{,}15\) m³ de béton par m² de dalle (épaisseur 15 cm). Quel volume de béton faut-il pour la dalle de côté \(c=4\) m ?
Aire : \(\mathcal{A}(4)=16\ \text{m}^2\). Volume : \(16\times 0{,}15=\mathbf{2{,}4\ \text{m}^3}\) de béton.
Rédige 2 à 3 phrases pour expliquer à un client pourquoi une dalle « deux fois plus large » coûte quatre fois plus cher en béton, en t'appuyant sur la fonction carré.
Exemple : « L'aire d'une dalle carrée suit la fonction carré \(\mathcal{A}=c^2\). Quand on double le côté, l'aire n'est pas doublée mais multipliée par 4 (\((2c)^2=4c^2\)). Comme le béton se paie au m², une dalle deux fois plus large demande quatre fois plus de matière, donc coûte environ quatre fois plus cher. »
Aire : \(\mathcal{A}(5)=25\ \text{m}^2\). Profondeur : \(0{,}30\) m. Volume de déblai : \(25\times 0{,}30=\mathbf{7{,}5\ \text{m}^3}\) de terre à évacuer.
Réponse à la problématique : l'aire d'une dalle carrée suit la fonction carré \(\mathcal{A}(c)=c^2\), croissante pour \(c>0\). Quand on double le côté, l'aire est multipliée par 4, car \((2c)^2=4c^2\). L'augmentation n'est donc pas proportionnelle.
📚 Cette activité s'appuie sur §2 (la fonction carré) et §5 (sens de variation) de la leçon Ch10.