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Activité — Fonction affine

Chapitre 9  |  Seconde Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 35 min

Dernière mise à jour : 7 mai 2026

Objectifs :

Situation professionnelle — Tarifs de deux artisans menuisiers

Entreprise de menuiserie : Atelier du Bois Gascon, Agen.

Un responsable de chantier doit choisir entre deux artisans menuisiers pour des interventions de pose de placards. Voici les tarifs affichés :

Artisan DUVAL
  • Forfait déplacement : 60 €
  • Taux horaire : 45 € / heure

Facture : \(D(h) = 45h + 60\)

Artisan MARTIN
  • Forfait déplacement : 90 €
  • Taux horaire : 40 € / heure

Facture : \(M(h) = 40h + 90\)

Le responsable veut choisir l'artisan le moins cher selon la durée de l'intervention.

Problématique :

Comment modéliser l'évolution d'un tarif par une fonction affine et exploiter sa représentation graphique pour choisir l'artisan le moins cher ?

Question 1  APP

Analyse les deux fiches tarifaires.

  1. Dans \(D(h) = 45h + 60\), identifie \(a\) et \(b\). Que représentent-ils concrètement ?
  2. Fais de même pour \(M(h) = 40h + 90\).
  3. Que se passe-t-il si l'intervention dure 0 heure (\(h = 0\)) ? Calcule \(D(0)\) et \(M(0)\).
  1. Pour Duval : \(a = 45\) (taux horaire en €/h), \(b = 60\) (forfait déplacement en €).
  2. Pour Martin : \(a = 40\) (taux horaire), \(b = 90\) (forfait déplacement).
  3. \(D(0) = 45 \times 0 + 60 = 60\,€\) — seulement le déplacement, sans travail.
    \(M(0) = 40 \times 0 + 90 = 90\,€\) — idem pour Martin.

Question 2  REA

Complète le tableau de valeurs des deux fonctions :

Durée \(h\) (heures) 0123456
\(D(h) = 45h + 60\) (€) 60??????
\(M(h) = 40h + 90\) (€) 90??????
\(h\) 0123456
\(D(h)\) 60105150195240285330
\(M(h)\) 90130170210250290330

Question 3  ANA

Observe les valeurs du tableau.

  1. Quand \(h\) augmente de 1 heure, de combien augmente la facture de Duval ? Et celle de Martin ?
  2. Qu'est-ce que cela représente par rapport aux formules \(D(h)\) et \(M(h)\) ?
  3. Les factures augmentent-elles ou diminuent-elles quand \(h\) augmente ? Que peut-on dire du signe de \(a\) ?
  1. Duval : +45 € par heure. Martin : +40 € par heure.
  2. C'est le coefficient directeur \(a\) — il mesure l'augmentation de la facture par heure supplémentaire (la pente).
  3. Les factures augmentent quand \(h\) augmente → les deux fonctions sont croissantes car \(a > 0\) dans les deux cas.
h (heures) € 1 2 3 4 5 6 7 100 200 300 400 D(h) M(h) (6 ; 330)
Représentation graphique de D(h) et M(h) — intersection en h = 6

Question 4  ANA

En observant le tableau, pour quelle durée les deux artisans facturent-ils le même montant ?

  1. Lis la réponse dans le tableau.
  2. Pour les interventions courtes (moins de cette durée), lequel est moins cher ?
  3. Pour les interventions longues (plus de cette durée), lequel est moins cher ?
  1. Pour \(h = 6\) heures, les deux facturent 330 €.
  2. Pour les interventions courtes (\(h < 6\)) : Duval est moins cher (ex. 3h : 195 € contre 210 €).
  3. Pour les interventions longues (\(h > 6\)) : Martin est moins cher (taux horaire plus faible).

Question 5  REA

Vérifie algébriquement que \(h = 6\) est bien le point d'égalité.

  1. Résous l'équation \(D(h) = M(h)\), c'est-à-dire \(45h + 60 = 40h + 90\).
  2. Vérification : calcule \(D(6)\) et \(M(6)\).
  1. \(45h + 60 = 40h + 90\)
    \(45h - 40h = 90 - 60\)
    \(5h = 30\)
    \(h = 6\)
  2. \(D(6) = 45 \times 6 + 60 = 270 + 60 = 330\,€\)
    \(M(6) = 40 \times 6 + 90 = 240 + 90 = 330\,€\) ✔

Question 6  REA

Un troisième artisan, Petit, propose un tarif différent : son taux horaire augmente avec la durée, selon la formule \(P(h) = h^2 + 50\).

  1. Calcule \(P(1)\), \(P(2)\), \(P(3)\), \(P(4)\).
  2. Quand \(h\) augmente de 1 heure, la facture augmente-t-elle du même montant à chaque fois ?
  3. Le tarif de Petit est-il une fonction affine ? Justifie.
  1. \(P(1) = 1 + 50 = 51\,€\) ; \(P(2) = 4 + 50 = 54\,€\) ; \(P(3) = 9 + 50 = 59\,€\) ; \(P(4) = 16 + 50 = 66\,€\)
  2. Non : de \(h=1\) à \(h=2\) : +3 €. De \(h=2\) à \(h=3\) : +5 €. De \(h=3\) à \(h=4\) : +7 €. L'augmentation n'est pas constante.
  3. \(P(h) = h^2 + 50\) n'est pas une fonction affine : elle contient \(h^2\) (degré 2, pas degré 1).

Question 7  REA

On ajoute une contrainte : l'artisan Duval augmente ses tarifs de 10 % l'année prochaine. Écris la nouvelle formule \(D'(h)\) après augmentation.

Rappel : augmenter de 10 % = multiplier par 1,10
\(D'(h) = 1{,}10 \times (45h + 60) = 49{,}5h + 66\)
Soit : forfait = 66 €, taux horaire = 49,50 €/h.
C'est toujours une fonction affine, avec \(a = 49{,}5\) et \(b = 66\).

Question 8  COM

Complète le résumé à partir de ce que tu viens de découvrir :

Une fonction affine est de la forme \(f(x) = \)____ \(+ \)____.
Le coefficient \(a\) s'appelle le ____ directeur : il mesure l'augmentation de \(f(x)\) quand \(x\) augmente de 1.
Le coefficient \(b\) est l'____ à l'origine : c'est la valeur de \(f(0)\).
Si \(a > 0\), la fonction est ____. Si \(a < 0\), elle est ____.
Une fonction affine est de la forme \(f(x) = \mathbf{a}x + \mathbf{b}\).
\(a\) : coefficient directeur — augmentation de \(f(x)\) par unité de \(x\).
\(b\) : ordonnée à l'origine — valeur en \(x = 0\).
Si \(a > 0\) : fonction croissante. Si \(a < 0\) : fonction décroissante.
À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité

Fonction affine \(f(x) = ax + b\)

Sens de variation

Comparer deux fonctions affines

Pour trouver le point d'égalité, on résout \(f(x) = g(x)\) — c'est une équation du premier degré.

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