Julien achète des moulures bois pour encadrer des panneaux. Le prix est de 8 € par mètre linéaire.
Longueur \(x\) (m)
1
2
5
10
15
Prix \(f(x)\) (€)
8
16
40
80
120
Problématique :
Qu'est-ce qui caractérise mathématiquement une relation de proportionnalité, et comment la reconnaître ?
Question 1 APP
Quel est le prix pour 1 m de moulure ? Pour 2 m ? Pour 5 m ?
Calcule le rapport \(\dfrac{\text{prix}}{x}\) pour chacune des valeurs du tableau. Que remarques-tu ?
Quel est le coefficient de proportionnalité \(k\) ?
1 m → 8 € ; 2 m → 16 € ; 5 m → 40 €.
\(\dfrac{8}{1} = \dfrac{16}{2} = \dfrac{40}{5} = \dfrac{80}{10} = \dfrac{120}{15} = 8\) — le rapport est toujours constant.
\(k = 8\,€/\text{m}\)
Question 2 ANA
On note \(f(x)\) le prix en euros pour \(x\) mètres de moulure.
Écris la formule de \(f(x)\).
Cette fonction passe-t-elle par l'origine (point (0 ; 0)) ? Calcule \(f(0)\) pour vérifier.
En quoi cette fonction est-elle différente du tarif \(g(x) = 8x + 30\) (avec forfait de 30 €) ?
\(f(x) = 8x\)
\(f(0) = 8 \times 0 = 0\) ✔ — oui, la droite passe par l'origine. Aucune moulure = aucun coût.
\(g(x) = 8x + 30\) est une fonction affine (pas linéaire) : elle a un forfait fixe de 30 €. \(g(0) = 30 \neq 0\). La droite ne passe pas par l'origine.
Question 3 REA
Complète le tableau de valeurs de \(f(x) = 8x\) :
\(x\) (m)
0
3
7
12
20
25
\(f(x)\) (€)
?
?
?
?
?
?
\(x\)
0
3
7
12
20
25
\(f(x)\)
0
24
56
96
160
200
Question 4 REA
Julien a un budget de 136 € pour les moulures. Combien de mètres peut-il acheter au maximum ?
Écris l'équation à résoudre : \(f(x) = \ldots\)
Résous cette équation pour trouver \(x\).
Ce \(x\) s'appelle l'antécédent de 136 par \(f\). Explique ce mot.
\(f(x) = 136\), soit \(8x = 136\)
\(x = \dfrac{136}{8} = 17\,\text{m}\)
L'antécédent de 136 par \(f\) est la longueur qui coûte exactement 136 €. Ici, 17 m est l'antécédent de 136.
Question 5 ANA
Un fournisseur concurrent propose des moulures à 6,50 €/m (pas de forfait).
On note \(g(x) = 6{,}50x\) son tarif.
Calcule \(f(20)\) et \(g(20)\). Lequel est moins cher pour 20 m ?
Est-ce toujours le même qui est moins cher, quelle que soit la longueur ? Justifie.
\(f(20) = 8 \times 20 = 160\,€\) — \(g(20) = 6{,}50 \times 20 = 130\,€\) → le fournisseur concurrent est moins cher.
Comme \(6{,}50 < 8\), pour toute longueur \(x > 0\) : \(g(x) < f(x)\). Le concurrent est toujours moins cher (il n'y a pas de point d'intersection, les deux droites passent par l'origine avec des pentes différentes).
Question 6 COM
Complète le résumé :
La fonction linéaire est de la forme \(f(x) = \)____.
Son coefficient \(k\) est le ____ de proportionnalité.
Sa courbe représentative est une droite passant par l'____.
Si \(k > 0\), la fonction est ____. Si \(k < 0\), elle est ____.
La fonction linéaire est \(f(x) = \mathbf{kx}\).
\(k\) est le coefficient de proportionnalité.
Sa courbe est une droite passant par l'origine.
Si \(k > 0\) : croissante. Si \(k < 0\) : décroissante.
À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité
Fonction linéaire \(f(x) = kx\)
\(k\) = coefficient de proportionnalité = coefficient directeur
La courbe est une droite passant par l'origine
\(f(0) = 0\) toujours
Si \(k > 0\) → croissante ; si \(k < 0\) → décroissante
Différence avec la fonction affine
La fonction linéaire \(f(x) = kx\) est un cas particulier de la fonction affine \(f(x) = ax + b\) avec \(b = 0\). Elle passe par l'origine — la fonction affine non (si \(b \neq 0\)).