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Activité — Notion de fonction

Chapitre 7  |  Seconde Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 30 min

Objectifs :
xy

Situation professionnelle — Tarifs de pose de sol

Artisan poseur de sol : Alex Dumas — entreprise Sol Pro 31, Toulouse.

Alex pose des revêtements de sol. Il facture 15 € par m² de surface posée, auxquels il ajoute un forfait matériel de 30 € par chantier.

Voici les données de quatre chantiers récents :

Chantier Surface posée \(x\) (m²) Montant facturé (€)
Appartement A10180
Appartement B20330
Bureau C35555
Villa D50780

Alex utilise une formule de calcul pour établir rapidement ses factures. Quelle est cette formule ?

Problématique :

Comment modéliser une relation entre deux grandeurs par une fonction, et l'exploiter pour prendre une décision ?

Question 1  APP

Lis le document d'Alex.

  1. Quelle grandeur joue le rôle d'entrée (ce qu'on connaît) ?
  2. Quelle grandeur joue le rôle de sortie (ce qu'on calcule) ?
  3. Pour le chantier A (10 m²), le montant facturé est 180 €. Vérifie ce calcul avec la description du tarif.
  1. L'entrée est la surface posée \(x\) (en m²).
  2. La sortie est le montant facturé (en €).
  3. \(15 \times 10 + 30 = 150 + 30 = 180\,€\) ✔

Question 2  ANA

On note \(f(x)\) le montant facturé pour une surface de \(x\) m².

  1. D'après la description du tarif, propose une formule pour \(f(x)\).
  2. Vérifie que ta formule donne bien 330 € pour le chantier B (20 m²).
  3. Vérifie également pour le chantier D (50 m²).
  1. \(f(x) = 15x + 30\) (15 €/m² + 30 € de forfait).
  2. \(f(20) = 15 \times 20 + 30 = 300 + 30 = 330\,€\) ✔
  3. \(f(50) = 15 \times 50 + 30 = 750 + 30 = 780\,€\) ✔

Question 3  REA

Avec \(f(x) = 15x + 30\), calcule les images suivantes.

  1. \(f(0)\) — qu'est-ce que cela représente concrètement ?
  2. \(f(8)\)
  3. \(f(25)\)
  4. \(f(100)\)
  1. \(f(0) = 15 \times 0 + 30 = 30\,€\) — c'est le forfait matériel seul, sans aucune surface posée.
  2. \(f(8) = 15 \times 8 + 30 = 120 + 30 = 150\,€\)
  3. \(f(25) = 15 \times 25 + 30 = 375 + 30 = 405\,€\)
  4. \(f(100) = 15 \times 100 + 30 = 1\,500 + 30 = 1\,530\,€\)

Question 4  ANA

Un client demande à Alex : « Pour quelle surface ma facture sera-t-elle exactement de 480 € ? »

On cherche donc \(x\) tel que \(f(x) = 480\), c'est-à-dire \(15x + 30 = 480\).

  1. Résous cette équation pour trouver \(x\).
  2. Ce nombre \(x\) s'appelle l'antécédent de 480 par \(f\). Explique ce mot avec tes propres mots.
  1. \(15x + 30 = 480\)
    \(15x = 480 - 30 = 450\)
    \(x = \dfrac{450}{15} = 30\,\text{m}²\)
  2. L'antécédent de 480, c'est la valeur d'entrée (la surface) qui donne 480 € en sortie. Ici, 30 m² est l'antécédent de 480 par \(f\).

Question 5  REA

Complète le tableau de valeurs de \(f(x) = 15x + 30\) :

\(x\) (m²) 051015203040
\(f(x)\) (€) ??180?330??
\(x\) 051015203040
\(f(x)\) 30105180255330480630

Question 6  ANA

Alex peut-il poser une surface négative ? Peut-il poser une surface de 0 m² ?

  1. Quelles valeurs de \(x\) ont un sens concret dans ce contexte professionnel ?
  2. On appelle cet ensemble de valeurs le domaine de définition de la fonction. Que vaut-il ici ?
  1. La surface doit être positive ou nulle : \(x \geq 0\). On ne peut pas poser une surface négative. 0 m² est théoriquement possible (forfait seul).
  2. Le domaine de définition est \([0\,;\,+\infty[\) — tous les réels positifs ou nuls.

Question 7  VAL

Un concurrent d'Alex, Paul, facture selon la formule \(g(x) = 18x\) (sans forfait fixe).

  1. Calcule \(g(10)\), \(g(20)\) et \(g(30)\).
  2. Pour chaque surface, lequel de Paul ou Alex est moins cher ?
  3. À partir de quelle surface Alex devient-il moins cher que Paul ? (Résoudre \(f(x) = g(x)\).)
  1. \(g(10) = 180\,€\) ; \(g(20) = 360\,€\) ; \(g(30) = 540\,€\)
  2. Pour 10 m² : Alex = 180 €, Paul = 180 € → même prix
    Pour 20 m² : Alex = 330 €, Paul = 360 € → Alex moins cher
    Pour 30 m² : Alex = 480 €, Paul = 540 € → Alex moins cher
  3. \(f(x) = g(x) \Rightarrow 15x + 30 = 18x \Rightarrow 30 = 3x \Rightarrow x = 10\,\text{m}²\)
    Pour \(x > 10\,\text{m}²\), Alex est moins cher. À partir de 10 m², il vaut mieux choisir Alex.

Question 8  COM

Complète le résumé en t'appuyant sur l'activité :

Une fonction est une règle qui, à chaque valeur d'entrée \(x\), associe une seule et unique valeur de sortie notée ____.
Calculer \(f(3)\), c'est calculer l'____ de 3 par \(f\).
Trouver \(x\) tel que \(f(x) = 480\), c'est trouver l'____ de 480 par \(f\).
Pour trouver un antécédent, on résout une ____.
Une fonction est une règle qui, à chaque valeur d'entrée \(x\), associe une seule et unique valeur de sortie notée \(f(x)\).
Calculer \(f(3)\) : c'est calculer l'image de 3 par \(f\).
Trouver \(x\) tel que \(f(x) = 480\) : c'est trouver l'antécédent de 480 par \(f\).
Pour trouver un antécédent, on résout une équation.
À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité

Fonction

Une fonction \(f\) est une règle qui, à chaque valeur \(x\), associe une seule et unique valeur \(f(x)\) (lire : « f de x »).

Image et antécédent