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Activité — Inéquations du premier degré

Chapitre 6  |  Seconde Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 30 min

Objectifs :

Situation professionnelle — Budget de chantier

Chef de chantier : Sandra Vidal — entreprise Bois & Menuiserie 47, Agen.

Sandra doit acheter des tasseaux pour un chantier. Son budget est limité à 250 €.

ArticlePrix unitaireQuantitéSous-total
Tasseaux 45×45 mm (ml)3,50 € / ml\(x\) ml\(3{,}50x\) €
Quincaillerie (fixations)—forfait32 €
Total——\(3{,}50x + 32\) €

Sandra doit rester dans son budget : le total ne doit pas dépasser 250 €.

Problématique :

Comment déterminer toutes les valeurs possibles d'une quantité en respectant une contrainte donnée ?

Question 1  APP

  1. Quelle est l'inconnue ? Que représente-t-elle ?
  2. Quelle est la contrainte de Sandra en langage courant ?
  3. Traduis cette contrainte par une inégalité (utilise le signe ≤).
  1. \(x\) = nombre de mètres linéaires de tasseaux à acheter.
  2. Le total des dépenses ne doit pas dépasser 250 €.
  3. \(3{,}50x + 32 \leq 250\)

Question 2  ANA

Compare l'inéquation \(3{,}50x + 32 \leq 250\) avec l'équation \(3{,}50x + 32 = 250\).

  1. Pour l'équation, il y a une seule solution. Pour l'inéquation, y aura-t-il plus ou moins de solutions ?
  2. Est-ce que \(x = 50\) est une solution de l'inéquation ? Vérifie en calculant le total pour 50 ml.
  3. Est-ce que \(x = 70\) est une solution ? Même question.
  1. L'inéquation a une infinité de solutions (tous les \(x\) qui vérifient la contrainte).
  2. \(3{,}50 \times 50 + 32 = 175 + 32 = 207\,€ \leq 250\) ✔ — 50 ml est une solution.
  3. \(3{,}50 \times 70 + 32 = 245 + 32 = 277\,€\) → 277 > 250 ✗ — 70 ml dépasse le budget.

Question 3  REA

Résous l'inéquation \(3{,}50x + 32 \leq 250\) étape par étape.

  1. Soustrais 32 des deux membres.
  2. Divise les deux membres par 3,50. Le sens de l'inégalité change-t-il ?
  3. Quelle est la valeur maximale de \(x\) ? Arrondis au ml entier inférieur.
  1. \(3{,}50x \leq 250 - 32 = 218\)
  2. On divise par 3,50 > 0 → le sens ne change pas.
    \(x \leq \dfrac{218}{3{,}50} \approx 62{,}3\)
  3. Sandra peut acheter au maximum 62 ml de tasseaux (62,3 arrondi à l'entier inférieur car on ne peut pas acheter 0,3 ml).

Question 4  REA

Exprime la solution de l'inéquation \(x \leq 62{,}3\) :

  1. En notation intervalle (on sait que \(x > 0\) car c'est une longueur).
  2. Sur une droite numérique (dessine-la : flèche vers la gauche, crochet en 62,3).
  1. Solution : \(x \in ]0\,;\,62{,}3]\) — les valeurs de \(x\) supérieures à 0 et inférieures ou égales à 62,3.
  2. Sur la droite numérique : ←——————●] à 62,3 (crochet fermé car \(\leq\), pastille pleine).

Question 5  REA

Résous cette deuxième inéquation : \(5x - 18 > 42\)

  1. Résous-la en deux étapes.
  2. Exprime la solution en intervalle.
  3. Le crochet est-il ouvert ou fermé ? Pourquoi ?
  1. \(5x > 42 + 18 = 60\)  →  \(x > \dfrac{60}{5} = 12\)
  2. Solution : \(x \in ]12\,;\,+\infty[\)
  3. Le crochet est ouvert car le signe est strict (\(>\), pas \(\geq\)) : la valeur 12 n'est pas incluse.

Question 6  ANA

Attention ! Résous \(-2x + 10 \geq 4\).

Rappel : Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse (\(\geq\) devient \(\leq\)).
  1. Soustrais 10 des deux membres.
  2. Divise par −2 en changeant le sens de l'inégalité.
  3. Exprime la solution en intervalle.
  1. \(-2x \geq 4 - 10 = -6\)
  2. On divise par \(-2\) : le sens s'inverse → \(x \leq \dfrac{-6}{-2} = 3\)
  3. Solution : \(x \in ]-\infty\,;\,3]\)

Question 7  COM

Complète le résumé :

Une inéquation ressemble à une équation mais utilise les signes ____.
On résout une inéquation comme une équation, sauf si on multiplie/divise par un nombre ____ : le sens s'inverse.
Le crochet [ est fermé (valeur ____) avec les signes ≤ ou ≥.
Le crochet ] est ouvert (valeur ____) avec les signes < ou >.
Une inéquation utilise les signes <, >, ≤, ≥.
On multiplie/divise par un nombre négatif : sens inversé.
Crochet fermé : valeur incluse.
Crochet ouvert : valeur exclue.
À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité

Inéquation du premier degré

Une inéquation utilise <, >, ≤ ou ≥ au lieu du signe =. Elle a en général une infinité de solutions, exprimée sous forme d'intervalle.

Résolution

Notation intervalle

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