Chapitre 6 – Inéquations du premier degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 22 juin 2026
💡 Notion centrale : leçon §3 (résolution d'une inéquation) et §6 (mise en inéquation d'une contrainte). « Dépense \(\leq\) budget » : \(\text{prix} \times \text{quantité} \leq \text{budget}\).
Émilie, métreuse dans un bureau d'études du bâtiment, prépare la commande de mortier pour un chantier de maçonnerie. Le chef de chantier lui donne un budget précis pour ce poste. Elle doit commander le maximum de sacs sans dépasser ce budget, en tenant compte d'un forfait de livraison.
D'après le Document 2, quel est le coût fixe (qui ne dépend pas du nombre de sacs) ? Et le coût d'un seul sac ?
Le coût fixe est le forfait de livraison : 50 € (il ne change pas selon le nombre de sacs). Le coût d'un sac est de 8,50 €.
Si Émilie commande \(x\) sacs, exprime le coût des sacs seuls, puis la dépense totale (livraison comprise).
Coût des sacs : \(8{,}50\,x\).
Dépense totale : \(8{,}50\,x + 50\) (on ajoute le forfait de livraison).
Calcule la dépense totale si Émilie commande 40 sacs. Le budget de 600 € est-il respecté ?
Dépense : \(8{,}50 \times 40 + 50 = 340 + 50 = \mathbf{390}\) €.
\(390 \leq 600\) : le budget est respecté, et il reste même de la marge.
Pour respecter le budget, la dépense totale ne doit pas dépasser 600 €. Traduis cette contrainte par une inéquation d'inconnue \(x\).
« Dépense totale inférieure ou égale au budget » s'écrit :
\[8{,}50\,x + 50 \leq 600\]
Résous l'inéquation \(8{,}50\,x + 50 \leq 600\). Donne la valeur de \(x\) (résultat non arrondi).
\(8{,}50\,x + 50 \leq 600\)
\(8{,}50\,x \leq 600 - 50\)
\(8{,}50\,x \leq 550\)
On divise par 8,50 (positif → le sens ne change pas) :
\(x \leq \dfrac{550}{8{,}50} \approx 64{,}7\).
Le nombre de sacs doit être un nombre entier. Combien de sacs Émilie peut-elle commander au maximum ? Pourquoi arrondit-on vers le bas ?
On a \(x \leq 64{,}7\). On ne peut pas commander 0,7 sac, donc on arrondit vers le bas : Émilie peut commander au maximum 64 sacs. Arrondir à 65 dépasserait le budget (interdit).
Vérifie : calcule la dépense pour 64 sacs puis pour 65 sacs. Confirme que 64 est bien le maximum.
64 sacs : \(8{,}50 \times 64 + 50 = 544 + 50 = \mathbf{594}\) € → \(594 \leq 600\) ✓ (budget respecté).
65 sacs : \(8{,}50 \times 65 + 50 = 552{,}50 + 50 = \mathbf{602{,}50}\) € → \(602{,}50 > 600\) ✗ (budget dépassé).
Donc 64 sacs est bien le maximum.
Rédige 2 à 3 phrases à transmettre au chef de chantier : combien de sacs commander, pour quel montant, et reste-t-il de la marge ?
Exemple : « Avec un budget de 600 € et un forfait de livraison de 50 €, on peut commander 64 sacs de mortier pour une dépense de 594 €. Il reste 6 € de marge. Commander un sac de plus ferait passer la dépense à 602,50 €, ce qui dépasserait le budget. »
Sans le forfait : \(8{,}50\,x \leq 600\), soit \(x \leq \dfrac{600}{8{,}50} \approx 70{,}6\). Émilie peut alors commander 70 sacs (et la condition « plus de 60 sacs » pour la gratuité est bien remplie). La promotion permet 6 sacs de plus.
Réponse à la problématique : Émilie peut commander 64 sacs de mortier au maximum, pour 594 €, sans dépasser le budget de 600 €.
📚 Cette activité s'appuie sur §3 (résolution d'une inéquation) et §6 (applications concrètes) de la leçon Ch06.
Ordres de grandeur : prix d'un sac de mortier prêt à l'emploi (25 kg) et forfait de livraison d'après les tarifs publics de négoces de matériaux (Point.P, Gedimat) 2024-2025. Montants arrondis pour l'activité.