Chapitre 6 – Inéquations du premier degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 22 juin 2026
💡 Notion centrale : leçon §3 (résolution d'une inéquation) et §6 (mise en inéquation d'une contrainte). On comparera deux coûts : \(\text{coût PAC} \leq \text{coût gaz}\).
Karim, technicien chauffagiste, conseille une famille qui chauffe aujourd'hui sa maison au gaz. Elle hésite à installer une pompe à chaleur (PAC). Karim doit lui montrer à partir de combien d'années la PAC, plus chère à l'achat mais moins coûteuse à l'usage, devient finalement plus avantageuse.
D'après le Document 2, quelle solution est la plus chère à l'installation ? Et laquelle coûte le moins cher chaque année ?
La pompe à chaleur est la plus chère à installer (9 000 € contre 0 €). Mais c'est elle qui coûte le moins cher chaque année (700 €/an contre 1 800 €/an pour le gaz).
Pour \(n\) années d'utilisation, écris l'expression du coût total du gaz, puis du coût total de la PAC (installation + chauffage).
Coût du gaz : \(1\,800\,n\) (pas d'installation).
Coût de la PAC : \(9\,000 + 700\,n\) (l'installation se paie une seule fois, le chauffage chaque année).
Calcule et compare les deux coûts au bout de 5 ans (\(n = 5\)). Quelle solution est la moins chère sur 5 ans ?
Gaz : \(1\,800 \times 5 = \mathbf{9\,000}\) €.
PAC : \(9\,000 + 700 \times 5 = 9\,000 + 3\,500 = \mathbf{12\,500}\) €.
Sur 5 ans, le gaz reste moins cher (9 000 € < 12 500 €) : la PAC n'est pas encore rentabilisée.
Refais le même calcul au bout de 15 ans (\(n = 15\)). Quelle solution est la moins chère cette fois ?
Gaz : \(1\,800 \times 15 = \mathbf{27\,000}\) €.
PAC : \(9\,000 + 700 \times 15 = 9\,000 + 10\,500 = \mathbf{19\,500}\) €.
Sur 15 ans, la PAC est nettement moins chère (19 500 € < 27 000 €). Le seuil se situe donc entre 5 et 15 ans.
On veut que la PAC coûte moins cher que le gaz. Traduis cette condition par une inéquation d'inconnue \(n\).
« Coût PAC inférieur au coût gaz » s'écrit :
\[9\,000 + 700\,n < 1\,800\,n\]
Résous l'inéquation \(9\,000 + 700\,n < 1\,800\,n\). Donne la valeur de \(n\) à partir de laquelle la condition est vérifiée.
\(9\,000 + 700\,n < 1\,800\,n\)
On regroupe les termes en \(n\) du même côté :
\(9\,000 < 1\,800\,n - 700\,n\)
\(9\,000 < 1\,100\,n\)
On divise par 1 100 (positif → le sens ne change pas) :
\(n > \dfrac{9\,000}{1\,100} \approx 8{,}18\).
La PAC devient moins chère à partir de la 9ᵉ année d'utilisation.
Vérifie ton résultat : calcule les deux coûts pour \(n = 8\) puis pour \(n = 9\). La PAC devient-elle bien gagnante à la 9ᵉ année ?
Pour \(n = 8\) : gaz \(= 1\,800\times8 = 14\,400\) € ; PAC \(= 9\,000 + 700\times8 = 14\,600\) €. → la PAC est encore un peu plus chère.
Pour \(n = 9\) : gaz \(= 1\,800\times9 = 16\,200\) € ; PAC \(= 9\,000 + 700\times9 = 15\,300\) €. → la PAC est moins chère. ✓
Le seuil de bascule est bien franchi à la 9ᵉ année, cohérent avec \(n > 8{,}18\).
Rédige 2 à 3 phrases de conseil pour la famille : la PAC est-elle un bon choix, et à quelle condition ?
Exemple : « La pompe à chaleur coûte cher à installer (9 000 €), mais elle fait économiser 1 100 € par an de chauffage. Au bout de 9 ans, elle devient moins chère que le gaz, et l'écart augmente ensuite chaque année. Comme une PAC dure environ 15 à 20 ans, c'est un choix rentable si la famille reste durablement dans la maison. »
Nouvelle inéquation : \(6\,000 + 700\,n < 1\,800\,n\), soit \(6\,000 < 1\,100\,n\), donc \(n > \dfrac{6\,000}{1\,100} \approx 5{,}45\). Avec l'aide, la PAC devient rentable dès la 6ᵉ année : l'aide raccourcit le délai de 3 ans.
Réponse à la problématique : la pompe à chaleur devient moins chère que le gaz à partir de la 9ᵉ année (\(n > 8{,}18\)). C'est un investissement plus cher au départ mais rentable sur la durée.
📚 Cette activité s'appuie sur §3 (résolution d'une inéquation) et §6 (applications concrètes) de la leçon Ch06.
Ordres de grandeur : coût d'installation d'une PAC air/eau et économie de chauffage annuelle d'après l'ADEME et les guides de rénovation énergétique 2024-2025. Montants arrondis et simplifiés pour l'activité.