Théo reçoit une commande pour fabriquer des étagères murales en chêne dans une chambre.
Il dispose d'une planche de chêne brut de 240 cm de longueur.
Dans cette planche, il doit découper :
Pièce
Quantité
Longueur
Étagères identiques
4
? cm (longueur à trouver)
Tasseau de renfort
1
30 cm
Chute (déchet inévitable)
—
18 cm
Total utilisé
—
240 cm
Théo se demande : quelle doit être la longueur de chaque étagère pour utiliser exactement toute la planche ?
Problématique :
Comment traduire une contrainte professionnelle par une équation pour trouver la valeur inconnue ?
Question 1 APP
Lis attentivement le document d'atelier.
Quelle est la longueur totale de la planche ?
Combien d'étagères Théo doit-il découper ?
Quelles longueurs sont déjà connues ? Lesquelles restent à trouver ?
La planche mesure 240 cm.
Théo doit découper 4 étagères identiques.
Longueurs connues : tasseau (30 cm) et chute (18 cm).
Longueur inconnue : celle de chaque étagère.
Question 2 APP
On note \(x\) la longueur (en cm) d'une étagère.
Pourquoi dit-on que \(x\) est une inconnue ?
Les 4 étagères font chacune \(x\) cm. Quelle est la longueur totale occupée par les 4 étagères (en fonction de \(x\)) ?
\(x\) est une inconnue car c'est la quantité qu'on cherche — on ne la connaît pas encore.
Les 4 étagères occupent \(4 \times x = 4x\) cm.
Question 3 ANA
La planche est entièrement utilisée. On peut écrire :
(longueur des étagères) + (longueur du tasseau) + (chute) = (longueur de la planche)
Remplace chaque terme par sa valeur ou son expression en \(x\).
Écris l'égalité obtenue.
Longueur des étagères : \(4x\) —
Longueur du tasseau : \(30\) —
Chute : \(18\) —
Longueur de la planche : \(240\)
L'égalité est : \(\quad 4x + 30 + 18 = 240\)
Question 4 ANA
L'égalité \(4x + 30 + 18 = 240\) peut se simplifier.
Calcule \(30 + 18\).
Réécris l'équation sous la forme \(4x + \ldots = 240\).
\(30 + 18 = 48\)
L'équation simplifiée est : \(\quad 4x + 48 = 240\)
Question 5 REA
On veut résoudre \(4x + 48 = 240\) pour trouver \(x\).
Principe : on peut effectuer la même opération des deux côtés d'une égalité sans changer la solution.
Soustrais 48 des deux membres. Réécris l'équation obtenue.
Divise les deux membres par 4. Quelle est la valeur de \(x\) ?
\(4x + 48 - 48 = 240 - 48\)
\(4x = 192\)
\(x = \dfrac{192}{4} = 48\) → la longueur d'une étagère est 48 cm.
Question 6 VAL
On a trouvé \(x = 48\). Vérifions.
Remplace \(x\) par 48 dans l'expression \(4x + 48\). Que trouves-tu ?
Ce résultat est-il égal à 240 ? Que peut-on conclure ?
Réponds à la question de Théo en une phrase complète avec l'unité.
\(4 \times 48 + 48 = 192 + 48 = 240\) ✔
On retrouve bien 240 cm. La solution est correcte.
Chaque étagère doit mesurer 48 cm.
Question 7 REA
Théo reçoit une deuxième commande. Cette fois, la planche fait 3 m.
Il doit y découper 5 étagères identiques, un tasseau de 40 cm,
et la chute sera de 20 cm.
Rappel : 3 m = 300 cm
Écris l'équation en posant \(x\) = longueur d'une étagère (en cm).
Parmi les égalités suivantes, entoure celles qui sont des équations du premier degré :
\(3x + 5 = 14\)
\(x^2 = 9\)
\(2x - 7 = x + 1\)
\(\dfrac{1}{x} = 4\)
\(5x = 0\)
\(x^2 + x = 3\)
Sont des équations du premier degré (l'inconnue apparaît seulement à la puissance 1) :
\(3x + 5 = 14\) ✔
\(2x - 7 = x + 1\) ✔
\(5x = 0\) ✔
Ne sont pas du premier degré :
\(x^2 = 9\) — degré 2 (présence de \(x^2\))
\(\dfrac{1}{x} = 4\) — \(x\) est au dénominateur (degré −1)
\(x^2 + x = 3\) — degré 2
Question 10 COM
À partir de ce que tu viens de découvrir dans cette activité, complète le résumé suivant :
Une équation du premier degré est une égalité qui contient une inconnue
(notée ____) apparaissant seulement au degré ____.
Pour la résoudre, on effectue les mêmes ____ de chaque côté pour isoler ____.
On vérifie en remplaçant \(x\) par la valeur trouvée dans ____.
On conclut toujours en phrase complète avec l'____.
Une équation du premier degré est une égalité qui contient une inconnue
(notée \(x\)) apparaissant seulement au degré 1.
Pour la résoudre, on effectue les mêmes opérations de chaque côté pour isoler \(x\).
On vérifie en remplaçant \(x\) par la valeur trouvée dans l'équation de départ.
On conclut toujours en phrase complète avec l'unité.
À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité
Équation du premier degré
Une équation du premier degré est une égalité de la forme \(ax + b = c\)
où \(x\) est l'inconnue apparaissant seulement à la puissance 1.
Les 5 étapes pour résoudre un problème
Nommer l'inconnue : choisir une lettre (\(x\)) et préciser ce qu'elle représente.
Écrire l'équation : traduire la situation concrète par une égalité.
Résoudre : isoler \(x\) en effectuant les mêmes opérations des deux côtés.
Vérifier : remplacer \(x\) par la valeur trouvée dans l'équation de départ.
Conclure : répondre en phrase complète avec l'unité.