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Activité — Probabilités et fluctuation des fréquences

Chapitre 4  |  Seconde Bac Pro  |  Mathématiques  |  ⏱ 30 min

Objectifs :

Situation professionnelle — Contrôle qualité de vis

Responsable qualité : Éric Talon — quincaillerie Métal Pro Sud, Toulouse.

Un lot de 200 vis en inox arrive en atelier. D'après l'historique du fournisseur, dans un lot de ce type, 20 vis sur 200 sont habituellement défectueuses (filetage imparfait).

Éric tire au hasard une vis dans le lot pour contrôle.

État de la visNombre dans le lot
Conforme180
Défectueuse20
Total200
Problématique :

Comment estimer la probabilité d'un événement à partir de la fréquence observée lors d'une expérience aléatoire ?

Question 1  APP

Décris l'expérience aléatoire.

  1. Pourquoi cette expérience est-elle aléatoire ? (Peut-on prévoir le résultat ?)
  2. Quelles sont les issues possibles ? (Il y en a deux.)
  3. Écris l'univers \(\Omega\) en listant les issues.
  1. C'est aléatoire car on ne sait pas à l'avance si la vis tirée sera conforme ou défectueuse.
  2. Issues : « la vis est conforme » ou « la vis est défectueuse ».
  3. \(\Omega = \{\text{conforme}\,;\,\text{défectueuse}\}\)

Question 2  REA

On note \(D\) l'événement « la vis tirée est défectueuse ».

  1. Combien de vis défectueuses y a-t-il dans le lot ? Combien de vis en tout ?
  2. Calcule la probabilité \(P(D)\).
  3. Calcule la probabilité de l'événement contraire \(\overline{D}\) (« la vis est conforme »).
Rappel : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\)  (équiprobabilité)
  1. 20 vis défectueuses sur 200 au total.
  2. \(P(D) = \dfrac{20}{200} = 0{,}10 = 10\,\%\)
  3. \(P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90 = 90\,\%\)

Question 3  ANA

  1. Si Éric tire 50 vis au hasard (avec remise), combien s'attend-il à en trouver défectueuses en moyenne ?
  2. S'il en trouve exactement 7 défectueuses sur 50, quelle est la fréquence observée de défauts ?
  3. Cette fréquence est-elle égale à la probabilité théorique ? Pourquoi ?
  1. \(50 \times 0{,}10 = 5\) vis défectueuses attendues en moyenne.
  2. Fréquence observée : \(f = \dfrac{7}{50} = 0{,}14 = 14\,\%\)
  3. Non, \(14\,\% \neq 10\,\%\). Sur un petit échantillon, la fréquence observée fluctue autour de la probabilité théorique — elle n'est pas forcément égale. Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.

Question 4  REA

Éric reçoit un deuxième lot de 500 vis d'un autre fournisseur. Il contrôle 500 vis et en trouve 35 défectueuses.

  1. Calcule la fréquence de défauts observée dans ce lot.
  2. Ce fournisseur semble-t-il meilleur ou moins bon que le premier ? Justifie par les chiffres.
  1. \(f = \dfrac{35}{500} = 0{,}07 = 7\,\%\)
  2. Le deuxième fournisseur a un taux de défauts de 7 % contre 10 % pour le premier → il est meilleur en qualité. Sur 500 vis, l'échantillon est suffisamment grand pour que la fréquence soit représentative.

Question 5  VAL

On retourne au premier lot (200 vis, 20 défectueuses). Éric en tire maintenant deux vis successivement (sans remise).

Quel est le nombre total de vis après le premier tirage ? La probabilité de tirer une défectueuse au 2e tirage est-elle toujours 10 % ? Explique.

Après le premier tirage (sans remise), il reste 199 vis.
— Si la première vis était défectueuse : il reste 19 défectueuses sur 199 → \(P = \dfrac{19}{199} \approx 9{,}5\,\%\)
— Si la première vis était conforme : il reste 20 défectueuses sur 199 → \(P = \dfrac{20}{199} \approx 10{,}1\,\%\)
La probabilité change légèrement selon le résultat du premier tirage. Sur un grand lot, l'effet est faible.

Question 6  COM

Complète le résumé :

L'univers \(\Omega\) est l'ensemble de toutes les ____ possibles.
En équiprobabilité : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues ____}}{\text{nombre ____ d'issues}}\)
\(P(A)\) est toujours compris entre ____ et ____.
\(P(\overline{A}) = 1 - \)____
La fréquence observée fluctue autour de la probabilité ____ quand le nombre d'expériences augmente.
L'univers \(\Omega\) est l'ensemble de toutes les issues possibles.
En équiprobabilité : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\)
\(P(A)\) est toujours compris entre 0 et 1.
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
La fréquence observée fluctue autour de la probabilité théorique.
À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité

Probabilités

Fréquence et probabilité

La fréquence observée fluctue autour de la probabilité théorique. Plus l'expérience est répétée, plus elle s'en rapproche.

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