Activité — Probabilités et fluctuation des fréquences

Chapitre 4 | Seconde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 21 août 2026, 11:15

Objectifs :

Identifier l'univers et les événements d'une expérience aléatoire
Calculer des probabilités dans une situation d'équiprobabilité
Distinguer probabilité du modèle et fréquence observée

Arbre des issues lors du contrôle d’une vis choisie au hasard dans le lot.

Situation professionnelle — Contrôle qualité de vis

Responsable qualité : Éric Talon — quincaillerie Métal Pro Sud, Toulouse.

Un lot de 200 vis en inox arrive en atelier. D'après l'historique du fournisseur, dans un lot de ce type, 20 vis sur 200 sont habituellement défectueuses (filetage imparfait).

Éric tire au hasard une vis dans le lot pour contrôle.

État de la vis	Nombre dans le lot
Conforme	180
Défectueuse	20
Total	200

Problématique :

Comment distinguer la probabilité donnée par le modèle du fournisseur et les fréquences observées sur des échantillons ?

Question 1 APP

Décris l'expérience aléatoire.

Pourquoi cette expérience est-elle aléatoire ? (Peut-on prévoir le résultat ?)
Quelles sont les issues possibles ? (Il y en a deux.)
Écris l'univers \(\Omega\) en listant les issues.

C'est aléatoire car on ne sait pas à l'avance si la vis tirée sera conforme ou défectueuse.
Issues : « la vis est conforme » ou « la vis est défectueuse ».
\(\Omega = \{\text{conforme}\,;\,\text{défectueuse}\}\)

Question 2 REA

On note \(D\) l'événement « la vis tirée est défectueuse ».

Combien de vis défectueuses y a-t-il dans le lot ? Combien de vis en tout ?
Calcule la probabilité \(P(D)\).
Calcule la probabilité de l'événement contraire \(\overline{D}\) (« la vis est conforme »).

Rappel \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\) (équiprobabilité)

20 vis défectueuses sur 200 au total.
\(P(D) = \dfrac{20}{200} = 0{,}10 = 10\,\%\)
\(P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90 = 90\,\%\)

Question 3 ANA

Si Éric tire 50 vis au hasard (avec remise), quel nombre de vis défectueuses peut-il prévoir environ à partir de \(p=0{,}10\) ?
S'il en trouve exactement 7 défectueuses sur 50, quelle est la fréquence observée de défauts ?
Cette fréquence est-elle égale à la probabilité théorique ? Pourquoi ?

\(50 \times 0{,}10 = 5\) : il peut prévoir environ 5 vis défectueuses, sans certitude sur le nombre exact.
Fréquence observée : \(f = \dfrac{7}{50} = 0{,}14 = 14\,\%\)
Non, \(14\,\% \neq 10\,\%\). Sur un petit échantillon, la fréquence observée fluctue autour de la probabilité théorique — elle n'est pas forcément égale. Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.

Question 4 REA

Éric reçoit un deuxième lot de 500 vis d'un autre fournisseur. Il contrôle 500 vis et en trouve 35 défectueuses.

Calcule la fréquence de défauts observée dans ce lot.
Que peut-on dire à partir de ce contrôle, sans confondre observation et certitude ?

\(f = \dfrac{35}{500} = 0{,}07 = 7\,\%\)
La fréquence observée est plus faible : 7 % contre 10 %. Ce contrôle fournit donc un indice en faveur du deuxième fournisseur, mais il ne prouve pas que sa probabilité de défaut vaut exactement 7 %. Il faudrait répéter les contrôles avant de conclure.

Question 5 VAL

Éric réalise cinq échantillons de 50 vis avec remise.

Échantillon	1	2	3	4	5
Fréquence de défaut	0,06	0,10	0,14	0,08	0,12

Détermine la fréquence minimale, la fréquence maximale et l’étendue des fréquences. Que montre cette étendue ?

Fréquence minimale : \(0{,}06\). Fréquence maximale : \(0{,}14\).
Étendue : \(0{,}14-0{,}06=\mathbf{0{,}08}\), soit 8 points de pourcentage.
Les cinq fréquences ne sont pas identiques : elles fluctuent autour de la probabilité du modèle \(p=0{,}10\).

Question 6 COM

Complète le résumé :

L'univers \(\Omega\) est l'ensemble de toutes les ____ possibles.
En équiprobabilité : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues ____}}{\text{nombre ____ d'issues}}\)
\(P(A)\) est toujours compris entre ____ et ____.
\(P(\overline{A}) = 1 - \)____
L'étendue des fréquences vaut fréquence ____ moins fréquence ____.
La fréquence observée fluctue autour de la probabilité du ____.

L'univers \(\Omega\) est l'ensemble de toutes les issues possibles.
En équiprobabilité : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\)
\(P(A)\) est toujours compris entre 0 et 1.
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
L'étendue des fréquences vaut fréquence maximale moins fréquence minimale.
La fréquence observée fluctue autour de la probabilité du modèle.

À retenir — Ce que tu as découvert dans cette activité

Réponse à la problématique : la probabilité \(p=0{,}10\) appartient au modèle construit à partir de l’historique du fournisseur. Une fréquence, comme \(7/50=0{,}14\), est observée sur un échantillon et peut varier. On ne les confond pas.

Probabilités

Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues possibles
Événement : sous-ensemble de \(\Omega\) (une ou plusieurs issues)
Probabilité (équiprobabilité) : \(P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
\(0 \leq P(A) \leq 1\) | \(P(\Omega) = 1\) | \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)

Fréquence et probabilité

La fréquence observée fluctue autour de la probabilité du modèle. Quand la taille des échantillons augmente, les fréquences tendent à se stabiliser autour de cette probabilité.