Chapitre 4 – Probabilités et fluctuation des fréquences | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 11:15
💡 Notions mobilisées : leçon Ch04 — §4 (probabilité d'un événement), §5 (fréquence observée), §6 (fluctuation des fréquences), §7 (loi des grands nombres).
Un vendeur t'assure : « sur mes 10 derniers panneaux, aucun n'était défectueux, donc mes panneaux ne tombent jamais en panne ». Peux-tu le croire ?
Non. « 0 défaut sur 10 » peut arriver et ne prouve pas que la probabilité de défaut est nulle. Pour mieux l'estimer, il faut tester davantage de panneaux et observer la stabilisation éventuelle de la fréquence.
Sofiane travaille dans l'entreprise « Soleil Sud Énergies ». Avant d'équiper un grand chantier, il doit choisir son fournisseur de panneaux photovoltaïques. Un panneau défectueux ne produit pas (ou mal) l'électricité attendue : il part au rebut. Aucun fournisseur ne communique son vrai taux de défauts, alors Sofiane teste lui-même les panneaux qu'il reçoit et note, lot par lot, combien sont défectueux. Il hésite entre deux fournisseurs, Soléo et Hélios.
| Lot testé | Panneaux testés | Panneaux défectueux |
|---|---|---|
| Lot 1 | 100 | 8 |
| Lot 2 | 200 | 10 |
| Lot 3 | 200 | 12 |
| Total | 500 | 30 |
| Lot testé | Panneaux testés | Panneaux défectueux |
|---|---|---|
| Lot 1 | 250 | 15 |
| Lot 2 | 250 | 5 |
| Total | 500 | 20 |
Sofiane prend un panneau au hasard dans une livraison et le teste. Décris l'expérience aléatoire, donne ses deux issues et écris l'univers \(\Omega\).
Expérience aléatoire : prendre un panneau au hasard et le tester. Les deux issues sont « défectueux » ou « en bon état ». L'univers est \(\Omega=\{\text{défectueux}\,;\,\text{en bon état}\}\).
Pour le fournisseur Soléo (A), calcule la fréquence de panneaux défectueux de chacun de ses 3 lots (en %).
Lot 1 : \(\dfrac{8}{100}=0{,}08=\mathbf{8\,\%}\).
Lot 2 : \(\dfrac{10}{200}=0{,}05=\mathbf{5\,\%}\).
Lot 3 : \(\dfrac{12}{200}=0{,}06=\mathbf{6\,\%}\).
Les trois lots de Soléo donnent des fréquences différentes (8 %, 5 %, 6 %) alors qu'ils viennent du même fournisseur. Comment s'appelle ce phénomène ? L'un des lots est-il « faux » ? Sur quel lot serait-il risqué de juger Soléo, et pourquoi ?
C'est la fluctuation des fréquences : d'un lot à l'autre, la fréquence observée varie. Aucun lot n'est « faux » : chaque fréquence est exacte pour l'échantillon sur lequel elle a été mesurée. Il serait risqué de juger Soléo sur le seul lot 1 (100 panneaux, 8 %), car c'est le plus petit échantillon, donc le plus sensible au hasard. Le cumul des contrôles fournit une estimation plus stable.
Estime la probabilité qu'un panneau soit défectueux pour chaque fournisseur, en cumulant tous les panneaux testés (total défectueux ÷ total testé). Donne \(P_A\) puis \(P_B\).
Soléo (A) : \(P_A=\dfrac{30}{500}=0{,}06=\mathbf{6\,\%}\).
Hélios (B) : \(P_B=\dfrac{20}{500}=0{,}04=\mathbf{4\,\%}\).
Obtenues sur 500 panneaux chacune, ces valeurs estiment la probabilité de défaut de chaque fournisseur.
À l'aide du diagramme en barres, compare les deux fournisseurs. Lequel a la plus faible probabilité de panneau défectueux ? La comparaison est-elle équitable ? Justifie.
Sur les contrôles réalisés, Hélios (B) présente la fréquence cumulée la plus faible : \(4\,\% < 6\,\%\). Les deux fournisseurs ont été testés sur le même effectif de 500 panneaux ; ces fréquences permettent d'estimer Hélios plus fiable, sans certitude sur les prochains lots.
Le fournisseur SolarPlus (C) annonce « 0 panneau défectueux sur 20 testés », soit une fréquence de 0 %. Sofiane peut-il en conclure que C est le plus fiable des trois ? Justifie avec la loi des grands nombres.
Non. \(\dfrac{0}{20}=0\,\%\), mais 20 panneaux, c'est un échantillon beaucoup trop petit : une fréquence de 0 % sur 20 tests ne prouve rien. D'après la loi des grands nombres, il faudrait en tester beaucoup plus pour estimer sa probabilité de défaut. On ne peut pas comparer C (20 panneaux) à A et B (500 panneaux chacun) : la comparaison ne serait pas équitable.
Sofiane choisit Hélios (B) pour équiper le parc solaire de 800 panneaux. Estime le nombre de panneaux défectueux à prévoir. Quelle aurait été la prévision avec Soléo (A) ?
Avec Hélios : \(0{,}04\times 800 = \mathbf{32}\) panneaux défectueux à prévoir.
Avec Soléo : \(0{,}06\times 800 = 48\) panneaux.
Les deux prévisions diffèrent de \(48-32=\mathbf{16}\) panneaux. Les nombres réellement observés peuvent fluctuer.
Rédige 2 à 3 phrases pour conseiller Sofiane : quel fournisseur choisir, comment tu l'as déterminé, et pourquoi il ne faut pas se fier au « 0 % sur 20 » de SolarPlus.
Exemple : « Je recommande le fournisseur Hélios : sa probabilité de panneau défectueux, estimée sur 500 panneaux testés, est de 4 %, contre 6 % pour Soléo. La comparaison est fiable car les deux ont été testés sur un grand nombre de panneaux. En revanche, le "0 % sur 20 panneaux" de SolarPlus n'est pas fiable : l'échantillon est trop petit (loi des grands nombres). Sur le parc de 800 panneaux, prévoir environ 32 panneaux de rechange. »
Il faut cumuler : \(8+10+12=30\) panneaux défectueux sur \(100+200+200=500\) panneaux testés, soit une fréquence cumulée \(\frac{30}{500}=\mathbf{0{,}06}=6\,\%\).
Additionner les trois pourcentages puis diviser par 3 donnerait \(\frac{8+5+6}{3}\approx 6{,}3\,\%\) : ce n'est pas la bonne méthode, car elle donne autant de poids au petit lot de 100 panneaux qu'aux deux lots de 200. Le cumul, lui, respecte la taille de chaque lot.
Réponse à la problématique : on estime la probabilité de défaut d'un fournisseur en cumulant tous ses tests (\(P=\frac{\text{défectueux}}{\text{testés}}\)), puis on choisit celui dont la probabilité est la plus faible — ici Hélios (4 %) plutôt que Soléo (6 %).
📚 Cette activité s'appuie sur §4 (probabilité), §5 (fréquence), §6 (fluctuation) et §7 (loi des grands nombres) de la leçon Ch04.