Activité 7 – Les penaltys d'un footballeur DEVOIR MAISON

Chapitre 4 – Probabilités et fluctuation des fréquences | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 21 août 2026, 11:15

Objectifs :

Calculer la probabilité d'un événement par \(\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
Calculer une fréquence observée sur un échantillon et constater qu'elle fluctue
Relier fréquence et probabilité par la loi des grands nombres

💡 Notions centrales : leçon §4 (probabilité d'un événement), §5 (fréquence observée), §6 (fluctuation des fréquences), §7 (loi des grands nombres).

Situation – le tireur de penaltys

Camille est attaquante dans un club de football. Elle est la tireuse de penaltys de son équipe. Pour s'entraîner, elle imagine la cage divisée en 6 zones de même taille. Quand elle tire, la gardienne ne peut couvrir que 2 zones : si le ballon arrive dans l'une des 4 autres zones, c'est but.

Document 1 — la cage divisée en 6 zones égales

La cage est partagée en 6 zones de même taille ; la gardienne en couvre 2.

Document 2 — le carnet d'entraînement de Camille

Camille note ses tirs séance après séance. Pendant 5 séances, elle a tiré 4 penaltys à chaque fois :

Séance	Penaltys tirés	Buts marqués
Séance 1	4	3
Séance 2	4	4
Séance 3	4	2
Séance 4	4	3
Séance 5	4	4

Document 3 — le bilan de carrière

L'entraîneur a aussi gardé les statistiques de Camille depuis le début, au fil des matchs et des saisons :

Nombre de penaltys tirés \(n\)	Buts marqués
10	7
30	22
80	63
150	121
300	241

Problématique :

Quelle est la « vraie » réussite de Camille au penalty ? Pourquoi ses résultats changent-ils d'une séance à l'autre, et pourquoi peut-on faire davantage confiance à son bilan de carrière qu'à une seule séance ?

Question 1 APP

D'après le Document 1, combien la cage compte-t-elle de zones au total ? Combien de ces zones sont libres (non couvertes par la gardienne) ?

La cage est divisée en 6 zones de même taille (3 colonnes × 2 lignes).
La gardienne en couvre 2, il reste donc \(6 - 2 = \mathbf{4}\) zones libres.

Question 2 REA

On suppose que Camille a la même chance d'envoyer le ballon dans n'importe laquelle des 6 zones (issues équiprobables). En utilisant la formule \(P(A)=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\), calculer la probabilité théorique qu'elle marque un but, puis l'exprimer en pourcentage arrondi au dixième.

L'événement « but » est réalisé si le ballon arrive dans l'une des 4 zones libres. \[ P(\text{but}) = \frac{\text{zones libres}}{\text{zones totales}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667 \] Soit environ \(\mathbf{66{,}7\,\%}\).

Question 3 REA

À l'aide du Document 2, calculer la fréquence de buts pour chacune des 5 séances. Donner chaque résultat sous forme décimale.

La fréquence est \(f=\dfrac{\text{buts marqués}}{\text{penaltys tirés}}\) :

Séance	Calcul	\(f\)
1	\(3/4\)	0,75
2	\(4/4\)	1,00
3	\(2/4\)	0,50
4	\(3/4\)	0,75
5	\(4/4\)	1,00

Question 4 ANA

On a reporté les 5 fréquences sur le graphique ci-dessous. Entre quelles valeurs minimale et maximale les fréquences varient-elles ? Comment appelle-t-on ce phénomène vu en cours ?

Fréquence de buts observée sur chaque séance de 4 penaltys.

Les fréquences varient entre 0,50 (séance 3) et 1,00 (séances 2 et 5). Elles changent donc beaucoup d'une séance à l'autre.
Ce phénomène s'appelle la fluctuation des fréquences : sur un petit nombre d'essais (4 penaltys), la fréquence observée peut s'éloigner nettement de la probabilité théorique (\(\approx 0{,}667\)).

Question 5 REA

En regroupant les 5 séances du Document 2 (toujours 4 penaltys chacune), combien de penaltys Camille a-t-elle tirés au total ? Combien de buts a-t-elle marqués ? Calculer la fréquence de buts sur l'ensemble.

Penaltys tirés : \(5 \times 4 = \mathbf{20}\).
Buts marqués : \(3 + 4 + 2 + 3 + 4 = \mathbf{16}\).
Fréquence globale : \[ f = \frac{16}{20} = 0{,}80 = \mathbf{80\,\%} \] On constate qu'en regroupant les séances (échantillon plus grand), la fréquence est plus « stable » : 0,80, au lieu de valeurs allant de 0,50 à 1,00.

Question 6 REA

À l'aide du Document 3, calculer la fréquence de buts pour chaque valeur de \(n\). Arrondir au centième.

\(n\)	Buts	Fréquence \(f\)
10	7	\(7/10=0{,}70\)
30	22	\(22/30\approx 0{,}73\)
80	63	\(63/80\approx 0{,}79\)
150	121	\(121/150\approx 0{,}81\)
300	241	\(241/300\approx 0{,}80\)

Question 7 VAL

Lorsque \(n\) augmente (Document 3), que remarque-t-on sur la fréquence de buts ? Vers quelle valeur semble-t-elle se stabiliser ? Quel principe du cours cela illustre-t-il ?

Dans ce relevé, quand le nombre de penaltys \(n\) augmente, la fréquence varie moins et se rapproche d'une valeur stable, autour de 0,80 (soit 80 %).
C'est la loi des grands nombres : pour un grand nombre d'expériences, la fréquence observée tend à se stabiliser autour de la probabilité et permet de l'estimer.
Remarque : la vraie réussite de Camille (≈ 80 %) est même un peu meilleure que le modèle « zones » de la question 2 (66,7 %) : elle vise mieux que le hasard pur.

Question 8 COM

Un commentateur affirme : « Camille a raté un penalty à la séance 3, son taux de réussite est mauvais. » En une ou deux phrases, explique pourquoi ce raisonnement est trompeur, en utilisant les mots fluctuation et loi des grands nombres.

Une seule séance (4 penaltys) est un échantillon trop petit : la fréquence y fluctue fortement (de 0,50 à 1,00). Pour estimer la probabilité de réussite, il faut s'appuyer sur un grand nombre de tirs : d'après la loi des grands nombres, le bilan de carrière (300 penaltys, environ 80 %) fournit une estimation plus stable qu'une séance isolée.

🎯 Bonus

Avant la finale, Camille s'apprête à tirer son 301^e penalty. En s'appuyant sur le Document 3, quelle est, selon toi, la meilleure estimation de la probabilité qu'elle marque ce penalty ? Le fait qu'elle ait marqué ses 2 derniers penaltys augmente-t-il cette probabilité ?

La meilleure estimation est la fréquence obtenue sur le plus grand nombre de tirs, soit environ 0,80 (80 %).
Non : les buts passés ne changent pas la probabilité estimée pour le tir suivant (c'est le « sophisme du joueur »). Elle reste estimée à environ 80 %.

À retenir

Réponse à la problématique : la probabilité de réussite de Camille est estimée à environ 80 % à partir d'un grand nombre de penaltys. Ses résultats changent d'une séance à l'autre parce que, sur peu de tirs, la fréquence fluctue ; le bilan de carrière fournit une estimation plus stable.

Probabilité (théorique) : \(P(A)=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\), comprise entre 0 et 1.
Fréquence (observée) : \(f=\dfrac{\text{nombre d'occurrences}}{\text{nombre total d'essais}}\).
Fluctuation : sur peu d'essais, la fréquence peut s'éloigner de la probabilité — c'est normal.
Loi des grands nombres : quand le nombre d'essais augmente, la fréquence tend à se stabiliser autour de la probabilité.

📚 Cette activité s'appuie sur §4 (probabilité d'un événement), §5 (fréquence observée), §6 (fluctuation des fréquences) et §7 (loi des grands nombres) de la leçon Ch04.