Chapitre 4 – Fluctuations et probabilités | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 11:15
💡 Notions centrales : leçon §4 (probabilité d'un événement), §6 (fluctuation des fréquences), §7 (loi des grands nombres).
Sophie, responsable qualité dans une usine de préfabrication, contrôle les blocs béton (parpaings) avant expédition sur les chantiers. Un bloc est « non conforme » s'il présente une fissure ou un éclat. Sur un lot complet de 200 blocs entièrement inspecté, elle a relevé 12 blocs non conformes.
| Échantillon | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Blocs contrôlés | 50 | 50 | 50 | 50 |
| Non conformes | 2 | 4 | 3 | 5 |
On prélève un bloc au hasard dans le lot. Décris l'expérience aléatoire : quelles sont les deux issues possibles ?
Expérience : prélever un bloc au hasard et regarder son état. Les deux issues sont : « conforme » ou « non conforme ». L'univers est \(\{\text{conforme}\,;\,\text{non conforme}\}\).
Calcule la probabilité qu'un bloc pris au hasard dans le lot soit non conforme, puis qu'il soit conforme.
\(P(\text{non conforme})=\dfrac{12}{200}=\mathbf{0{,}06}=6\,\%\).
\(P(\text{conforme})=\dfrac{188}{200}=0{,}94=94\,\%\) (on vérifie : \(0{,}06+0{,}94=1\)).
Que signifie concrètement « la probabilité d'un bloc non conforme est de 6 % » ? Est-on sûr que le prochain bloc tiré sera défectueux ou non ?
Cela signifie que sur un grand nombre de blocs, environ 6 % seront non conformes. Pour un bloc précis, on ne peut rien affirmer : la probabilité décrit une tendance globale, pas un résultat individuel.
Pour chaque échantillon du Document 2, calcule la fréquence observée de blocs non conformes (en %).
A : \(\frac{2}{50}=4\,\%\) ; B : \(\frac{4}{50}=8\,\%\) ; C : \(\frac{3}{50}=6\,\%\) ; D : \(\frac{5}{50}=10\,\%\).
Les quatre échantillons donnent des fréquences différentes (4 %, 8 %, 6 %, 10 %) alors qu'ils viennent de la même production. Comment s'appelle ce phénomène ? L'un des échantillons est-il « faux » ?
C'est la fluctuation d'échantillonnage : d'un échantillon à l'autre, la fréquence observée varie autour de la probabilité. Aucun échantillon n'est faux : chacun donne une estimation, et c'est normal qu'elles diffèrent sur seulement 50 blocs.
Le service qualité a suivi la fréquence de non-conformes en cumulant les contrôles (50, 100, 200, 500 puis 1000 blocs). Vers quelle valeur la fréquence se rapproche-t-elle ? Quel lien avec la Question 2 ?
La courbe se rapproche de 6 % quand le nombre de blocs augmente. C'est la loi des grands nombres : la fréquence observée se stabilise vers la probabilité (6 % = 0,06), exactement la valeur trouvée à la Question 2.
Une commande de 500 blocs part sur un chantier. En utilisant la probabilité, estime le nombre de blocs non conformes à prévoir.
\(0{,}06\times 500 = \mathbf{30\ \text{blocs}}\) non conformes à prévoir sur la commande. Le nombre réellement observé peut fluctuer.
Rédige 2 à 3 phrases pour la fiche qualité : quelle est la proportion estimée de blocs non conformes, et pourquoi un seul échantillon de 50 ne suffit-il pas à la mesurer précisément ?
Exemple : « La proportion de blocs non conformes est estimée à 6 % (12 sur 200). Un seul échantillon de 50 blocs ne suffit pas car la fréquence fluctue d'un prélèvement à l'autre (de 4 % à 10 % ici). En contrôlant beaucoup de blocs, la fréquence tend à se stabiliser autour de la probabilité de défaut (loi des grands nombres). »
Minimum : 4 %. Maximum : 10 %. Étendue : \(10-4=\mathbf{6}\) points de pourcentage. Cette étendue montre que les fréquences fluctuent d'un échantillon de 50 blocs à l'autre.
Réponse à la problématique : on estime la proportion de défauts par la probabilité \(\frac{\text{non conformes}}{\text{total}}\). Un petit échantillon donne une fréquence qui fluctue ; c'est en cumulant beaucoup de contrôles que la fréquence se rapproche de la probabilité.
📚 Cette activité s'appuie sur §4 (probabilité), §6 (fluctuation des fréquences) et §7 (loi des grands nombres) de la leçon Ch04.
Source : contrôle qualité en préfabrication béton (échantillonnage et taux de non-conformité). Valeurs choisies réalistes et arrondies pour rester accessibles.