Indicateurs statistiques | Seconde Pro MA-MA
Dernière mise à jour : 11 mai 2026
Un technicien de maintenance a relevé les durées de ses interventions sur une journée (en minutes) :
\(n = 8\) interventions.
2. Somme des durées :\(25 + 30 + 18 + 42 + 15 + 28 + 35 + 22 = \mathbf{215}\) minutes.
3. Moyenne :\(\bar{x} = \dfrac{215}{8} = 26{,}875 \approx \mathbf{27 \text{ min}}\)
4. Interprétation :27 min < 30 min, donc le technicien est dans les temps. Sa durée moyenne respecte l'objectif du service.
Un menuisier relève la durée (en minutes) de ses 9 dernières interventions de pose de plinthes :
35 42 28 55 38 42 31 47 42
1. Série triée : 28 ; 31 ; 35 ; 38 ; 42 ; 42 ; 42 ; 47 ; 55.
2. Étendue = 55 − 28 = 27 min.
3. Somme = 28 + 31 + 35 + 38 + 42 + 42 + 42 + 47 + 55 = 360. Moyenne = \(\dfrac{360}{9} = \mathbf{40{,}0}\) min.
4. 9 valeurs → la médiane est la 5e valeur : Me = 42 min.
5. Le mode est 42 (apparaît 3 fois).
6. \(N = 9\) → Rang de \(Q_1 = \lceil 9/4 \rceil = 3\) → \(Q_1\) = 3e valeur = 35 min.
Rang de \(Q_3 = \lceil 27/4 \rceil = 7\) → \(Q_3\) = 7e valeur = 42 min.
Écart interquartile : \(Q_3 - Q_1 = 42 - 35 = \mathbf{7}\) min.
Un technicien en génie climatique relève les températures (en °C) d'un circuit de chauffage pendant 9 jours :
55 58 60 62 65 67 68 71 72
2. Étendue :Min = 55 °C | Max = 72 °C
Étendue = 72 − 55 = 17 °C
La série comporte \(n = 9\) valeurs (nombre impair). La médiane est la valeur de rang \(\dfrac{9+1}{2} = 5\).
La 5e valeur est 65 °C → Me = 65 °C.
55 °C est inférieur à 58 °C (minimum normal) → anormalement basse.
71 °C et 72 °C dépassent 70 °C → anormalement élevées.
Le technicien doit vérifier ces 3 jours.
Voici les temps de réparation (en minutes) relevés par un technicien sur 12 interventions, déjà triés :
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Durée (min) | 12 | 15 | 18 | 20 | 23 | 25 | 28 | 30 | 35 | 38 | 42 | 50 |
Me = \(\dfrac{25 + 28}{2} = \mathbf{26{,}5}\) min
Q1 = 3e valeur = 18 min (rang \(\lceil 12/4 \rceil = 3\))
Q3 = 9e valeur = 35 min (rang \(\lceil 36/4 \rceil = 9\))
IQR = 35 − 18 = 17 min
2. Interprétation :50 % des interventions durent entre 18 min et 35 min.
La boîte contient les 50 % centraux de la série. La médiane (rouge) sépare les 50 % inférieurs des 50 % supérieurs.
Deux techniciens ont réalisé chacun 8 interventions. Voici leurs durées (en minutes) :
| Technicien | Int. 1 | Int. 2 | Int. 3 | Int. 4 | Int. 5 | Int. 6 | Int. 7 | Int. 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Technicien A | 45 | 30 | 60 | 35 | 40 | 55 | 50 | 38 |
| Technicien B | 25 | 70 | 20 | 80 | 30 | 65 | 28 | 72 |
Technicien A : Somme = 353 → Moyenne = \(\dfrac{353}{8} \approx \mathbf{44{,}1}\) min. Médiane = \(\dfrac{40+45}{2} = \mathbf{42{,}5}\) min. Étendue = 30 min.
Technicien B : Somme = 390 → Moyenne = \(\dfrac{390}{8} \approx \mathbf{48{,}8}\) min. Étendue = 60 min.
2-3. Interprétation :Le technicien A est plus régulier car son étendue est de 30 min contre 60 min pour B. Les durées de A sont bien groupées, alors que B alterne entre interventions très courtes et très longues.
Plus l'étendue est petite (technicien A en vert), plus la série est régulière. L'étendue traduit visuellement la dispersion.
Un responsable de maintenance suit le nombre de pannes par équipement sur 30 jours :
| Nombre de pannes (xi) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de jours (ni) | 6 | 8 | 7 | 5 | 3 | 1 | 30 |
| ni × xi | 0 | 8 | 14 | …… | …… | …… | …… |
\(5 \times 3 = 15\), \(3 \times 4 = 12\), \(1 \times 5 = 5\)
Total = 0 + 8 + 14 + 15 + 12 + 5 = 54
Moyenne = \(\dfrac{54}{30} = \mathbf{1{,}8}\) panne/jour.
2. Interprétation :1,8 < 2 → l'objectif est atteint.
Consommation mensuelle d'un climatiseur (en kWh) sur 6 mois :
| xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |
|---|---|---|
| 120 | 120 − 137 = −17 | (−17)² = 289 |
| 145 | 145 − 137 = …… | (……)² = …… |
| 132 | …… | …… |
| 158 | …… | …… |
| 128 | …… | …… |
| 139 | …… | …… |
| Somme | …… |
| xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |
|---|---|---|
| 120 | −17 | 289 |
| 145 | +8 | 64 |
| 132 | −5 | 25 |
| 158 | +21 | 441 |
| 128 | −9 | 81 |
| 139 | +2 | 4 |
| Somme | 0 | 904 |
Variance = \(\dfrac{904}{6} \approx 150{,}7\) kWh²
Écart-type = \(\sqrt{150{,}7} \approx \mathbf{12{,}3}\) kWh
3. Interprétation :12,3 kWh représente environ 9 % de la moyenne (137 kWh). La dispersion est modérée : la consommation varie légèrement selon les mois.
L'écart-type quantifie la dispersion. 4/6 valeurs sont dans le fuseau jaune [x̄−σ ; x̄+σ] ; 2 valeurs (120 et 158) sont les plus excentrées.
Voici les temps (en secondes) de 10 élèves au sprint de 100 m, déjà triés :
La 5e valeur est 14,2 et la 6e valeur est 14,6.
Me = \(\dfrac{14{,}2 + 14{,}6}{2} = \mathbf{14{,}4 \text{ s}}\)
2. Interprétation :La moitié des élèves court en moins de 14,4 s, l'autre moitié court en plus de 14,4 s.
3. Comparaison :16,4 s > 14,4 s → cet élève est au-dessus de la médiane : il fait partie de la moitié la plus lente. Il peut viser un temps sous 14,4 s pour rejoindre la première moitié.
Voici la boîte à moustaches des fréquences cardiaques au repos (en bpm) mesurées chez 30 élèves :
Min = 55 bpm, Q1 = 65 bpm, Me = 72 bpm, Q3 = 82 bpm, Max = 98 bpm.
2. Étendue et IQR :Étendue = 98 − 55 = 43 bpm
IQR = Q3 − Q1 = 82 − 65 = 17 bpm
3. Interprétation :50 % des élèves ont une fréquence cardiaque entre 65 bpm et 82 bpm.
4. Positionnement :95 bpm est supérieur à Q3 (82 bpm) mais inférieur au Max (98 bpm). Cet élève se situe dans la moustache droite : il fait partie des 25 % ayant le rythme le plus élevé.
Un menuisier mesure la longueur (en cm) de 25 planches découpées. Les résultats sont regroupés par classes :
| Classe (cm) | [95 ; 100[ | [100 ; 105[ | [105 ; 110[ | [110 ; 115[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 4 | 10 | 8 | 3 | 25 |
| Centre \(c_i\) | …… | …… | …… | …… | |
| \(n_i \times c_i\) | …… | …… | …… | …… | …… |
\(c_1 = \dfrac{95+100}{2} = 97{,}5\) ; \(c_2 = \dfrac{100+105}{2} = 102{,}5\) ; \(c_3 = \dfrac{105+110}{2} = 107{,}5\) ; \(c_4 = \dfrac{110+115}{2} = 112{,}5\)
2. Produits :\(4 \times 97{,}5 = 390\) ; \(10 \times 102{,}5 = 1\,025\) ; \(8 \times 107{,}5 = 860\) ; \(3 \times 112{,}5 = 337{,}5\)
Total = 390 + 1 025 + 860 + 337,5 = 2 612,5
3. Moyenne :\(\bar{x} = \dfrac{2\,612{,}5}{25} = \mathbf{104{,}5 \text{ cm}}\)
4. Interprétation :104,5 cm < 105 cm : les planches sont en moyenne légèrement plus courtes que la cible. Le réglage de la scie doit être vérifié.
On pèse 11 échantillons de bois (en grammes). Voici les masses déjà triées :
Me = 6e valeur = 55 g
Q1 = valeur au rang \(\lceil 11/4 \rceil = 3\) = 48 g
Q3 = valeur au rang \(\lceil 33/4 \rceil = 9\) = 64 g
IQR = 64 − 48 = 16 g
2. Analyse de la valeur 78 g :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 64 + 1,5 × 16 = 64 + 24 = 88 g.
78 g < 88 g → la valeur n'est pas aberrante selon la règle des 1,5 × IQR, mais elle est au-dessus de Q3, donc dans les 25 % les plus lourds.
Voici les distances (en mètres) de 12 lancers de poids, déjà triées :
Min = 5,2 m | Max = 9,6 m
Me = \(\dfrac{7{,}2 + 7{,}5}{2} = \mathbf{7{,}35}\) m
Q1 = valeur au rang 3 = 6,1 m
Q3 = valeur au rang 9 = 8,3 m
2. Boîte à moustaches :5,2 ──────[ 6,1 │── 7,35 ──│ 8,3 ]────── 9,6 Min Q1 Me Q3 Max
3. Écart interquartile :IQR = Q3 − Q1 = 8,3 − 6,1 = 2,2 m
50 % des lancers se situent entre 6,1 m et 8,3 m. L'IQR montre que la moitié centrale des lancers couvre une plage de 2,2 m.
Voici les temps de réparation (en minutes) relevés par un technicien sur 12 interventions, déjà triés :
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Durée (min) | 12 | 15 | 18 | 20 | 23 | 25 | 28 | 30 | 35 | 38 | 42 | 50 |
Guide — Calculer Q1 et Q3 pour n = 12 valeurs :
Me = moyenne des valeurs de rang 6 et 7 = \(\dfrac{25 + 28}{2} = \mathbf{26{,}5 \text{ min}}\)
2. Q1 et Q3 :Rang de Q1 = \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → Q1 = valeur au rang 3 de la série triée = 18 min
Rang de Q3 = \(\lceil 36/4 \rceil = 9\) → Q3 = valeur au rang 9 de la série triée = 35 min
3. Écart interquartile :\(\text{IQR} = Q3 - Q1 = 35 - 18 = \mathbf{17 \text{ min}}\)
L'IQR représente la plage de durée des 50 % d'interventions « du milieu » (ni les plus courtes, ni les plus longues). Il mesure la dispersion sans être perturbé par les valeurs extrêmes.
50 % des interventions durent entre 18 min et 35 min.
Deux techniciens ont réalisé chacun 8 interventions. Voici leurs durées (en minutes) :
| Technicien | Int. 1 | Int. 2 | Int. 3 | Int. 4 | Int. 5 | Int. 6 | Int. 7 | Int. 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Technicien A | 45 | 30 | 60 | 35 | 40 | 55 | 50 | 38 |
| Technicien B | 25 | 70 | 20 | 80 | 30 | 65 | 28 | 72 |
Technicien A : \(\bar{x}_A = \dfrac{45+30+60+35+40+55+50+38}{8} = \dfrac{353}{8} \approx \mathbf{44{,}1 \text{ min}}\)
Technicien B : \(\bar{x}_B = \dfrac{25+70+20+80+30+65+28+72}{8} = \dfrac{390}{8} \approx \mathbf{48{,}8 \text{ min}}\)
2. Médianes (séries triées) :A trié : 30, 35, 38, 40, 45, 50, 55, 60 → Me\(_A\) = \(\dfrac{40+45}{2} = \mathbf{42{,}5 \text{ min}}\)
B trié : 20, 25, 28, 30, 65, 70, 72, 80 → Me\(_B\) = \(\dfrac{30+65}{2} = \mathbf{47{,}5 \text{ min}}\)
3. Étendues :Étendue A = 60 − 30 = 30 min | Étendue B = 80 − 20 = 60 min
4. Régularité :Le technicien A a une étendue deux fois plus faible (30 min contre 60 min). Ses valeurs sont bien groupées autour de sa moyenne (44,1 min). Le technicien B alterne entre des interventions très courtes (20 min) et très longues (80 min) : il est beaucoup moins régulier.
→ Le technicien A est plus régulier.
Un responsable de maintenance suit le nombre de pannes par équipement sur 30 jours. Voici le tableau de relevé :
| Nombre de pannes (xi) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de jours (ni) | 6 | 8 | 7 | 5 | 3 | 1 |
| Fréquence (ni/30) | ||||||
| ni × xi |
\(6 + 8 + 7 + 5 + 3 + 1 = \mathbf{30}\) jours. ✔
2. Tableau complété :| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ni | 6 | 8 | 7 | 5 | 3 | 1 | 30 |
| Fréquence | 0,20 | 0,27 | 0,23 | 0,17 | 0,10 | 0,03 | 1,00 |
| ni × xi | 0 | 8 | 14 | 15 | 12 | 5 | 54 |
\(\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} = \dfrac{54}{30} = \mathbf{1{,}8 \text{ panne/jour}}\)
4. Interprétation :1,8 < 2 → l'objectif est atteint. En moyenne, il y a moins de 2 pannes par jour.
Un technicien relève la consommation mensuelle d'un climatiseur (en kWh) sur 6 mois :
\(\bar{x} = \dfrac{120 + 145 + 132 + 158 + 128 + 139}{6} = \dfrac{822}{6} = \mathbf{137 \text{ kWh}}\)
2. Tableau des écarts :| xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |
|---|---|---|
| 120 | −17 | 289 |
| 145 | +8 | 64 |
| 132 | −5 | 25 |
| 158 | +21 | 441 |
| 128 | −9 | 81 |
| 139 | +2 | 4 |
| Somme | 0 | 904 |
\(\sigma^2 = \dfrac{904}{6} \approx 150{,}7 \text{ kWh}^2\)
\(\sigma = \sqrt{150{,}7} \approx \mathbf{12{,}3 \text{ kWh}}\)
4. Interprétation :La consommation moyenne est de 137 kWh, avec un écart-type de 12,3 kWh (soit environ 9 % de la moyenne). La dispersion est modérée : la consommation varie entre les mois, probablement selon les saisons. On conseil de vérifier l'isolation du local et le réglage du thermostat pour lisser la consommation.
Voici les temps d'intervention (en minutes) d'un technicien sur 15 dépannages, triés par ordre croissant :
Min = 10 min | Max = 68 min
2. Médiane (n = 15) :La médiane est la valeur de rang \(\dfrac{15+1}{2} = 8\). La 8e valeur est Me = 30 min.
3. Q1 et Q3 :Rang de Q1 = \(\lceil 15/4 \rceil = 4\) → Q1 = valeur au rang 4 de la série triée = 20 min
Rang de Q3 = \(\lceil 45/4 \rceil = 12\) → Q3 = valeur au rang 12 de la série triée = 42 min
4. Les 5 indicateurs :| Min | Q1 | Me | Q3 | Max |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 20 | 30 | 42 | 68 |
Boîte à moustaches :
←—(10)———[20|=======30=======|42]——————(68)→
moustache Q1 [ boîte ] Q3 moustache
\(\text{IQR} = 42 - 20 = \mathbf{22 \text{ min}}\)
Seuil haut = \(Q3 + 1{,}5 \times \text{IQR} = 42 + 33 = 75 \text{ min}\)
68 < 75 → la valeur 68 n'est pas formellement aberrante selon la règle des 1,5×IQR, mais elle est nettement plus éloignée du reste du groupe. À surveiller.
Un fabricant de mobilier mesure la longueur (en cm) de 40 tasseaux après découpe. Les résultats sont regroupés :
| Classe (cm) | [58 ; 60[ | [60 ; 62[ | [62 ; 64[ | [64 ; 66[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 5 | 18 | 12 | 5 | 40 |
\(c_1 = \dfrac{58+60}{2} = 59\) ; \(c_2 = \dfrac{60+62}{2} = 61\) ; \(c_3 = \dfrac{62+64}{2} = 63\) ; \(c_4 = \dfrac{64+66}{2} = 65\)
2. Moyenne pondérée :\(\sum n_i c_i = 5 \times 59 + 18 \times 61 + 12 \times 63 + 5 \times 65 = 295 + 1\,098 + 756 + 325 = \mathbf{2\,474}\)
\(\bar{x} = \dfrac{2\,474}{40} = \mathbf{61{,}85}\) cm
3. Classe modale :La classe [60 ; 62[ a le plus grand effectif (18). C'est la classe modale : la majorité des tasseaux mesure entre 60 et 62 cm.
4. Conformité :La moyenne (61,85 cm) est légèrement inférieure à 62 cm. Les tasseaux sont proches de la cible mais tendent à être un peu courts. Un léger ajustement du réglage de la scie est conseillé.
La tension systolique (en mmHg) de 16 patients d'un cabinet médical a été mesurée :
115, 118, 120, 122, 125, 128, 130, 132, 135, 136, 138, 140, 142, 145, 148, 155
2. Médiane (n = 16, pair) :Me = moyenne des rangs 8 et 9 = \(\dfrac{132 + 135}{2} = \mathbf{133{,}5}\) mmHg
3. Q1 et Q3 :Rang de Q1 = \(\lceil 16/4 \rceil = 4\) → Q1 = valeur au rang 4 de la série triée = 122 mmHg
Rang de Q3 = \(\lceil 48/4 \rceil = 12\) → Q3 = valeur au rang 12 de la série triée = 140 mmHg
IQR = 140 − 122 = 18 mmHg
4. Estimation de l'hypertension :Q3 = 140 mmHg, donc environ 25 % des patients ont une tension supérieure ou égale à Q3 = 140 mmHg. En comptant exactement : 140, 142, 145, 148, 155 → 5 patients sur 16, soit environ 31 %.
Un technicien chauffagiste compare la consommation journalière (en kWh) de deux chaudières sur 20 jours. Voici les indicateurs résumés :
| Indicateur | Chaudière A | Chaudière B |
|---|---|---|
| Minimum | 18 | 25 |
| Q1 | 22 | 30 |
| Médiane | 28 | 35 |
| Q3 | 35 | 38 |
| Maximum | 52 | 42 |
Chaudière A : Étendue = 52 − 18 = 34 kWh | IQR = 35 − 22 = 13 kWh
Chaudière B : Étendue = 42 − 25 = 17 kWh | IQR = 38 − 30 = 8 kWh
2. Consommation :La chaudière A a une médiane de 28 kWh contre 35 kWh pour B. La chaudière A consomme globalement moins.
3. Régularité :La chaudière B a un IQR de 8 kWh (contre 13) et une étendue de 17 kWh (contre 34). La chaudière B est plus régulière.
4. Valeur aberrante :Seuil haut pour A = Q3 + 1,5 × IQR = 35 + 1,5 × 13 = 35 + 19,5 = 54,5 kWh.
52 < 54,5 → la valeur 52 kWh n'est pas aberrante selon cette règle, mais elle est élevée.
Pour une consommation prévisible, la chaudière B est préférable : son IQR est plus faible (8 kWh) et son étendue est moitié moindre. Sa consommation est plus stable jour après jour, même si elle est un peu plus élevée en moyenne.
On relève le nombre de jours de pluie par mois dans une ville sur une année :
| Nb de jours de pluie | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de mois | 1 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 |
\(1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = \mathbf{12}\) mois. ✔
2. Moyenne pondérée :\(\sum n_i x_i = 1 \times 3 + 2 \times 5 + 3 \times 7 + 3 \times 9 + 2 \times 11 + 1 \times 13 = 3 + 10 + 21 + 27 + 22 + 13 = \mathbf{96}\)
\(\bar{x} = \dfrac{96}{12} = \mathbf{8}\) jours de pluie par mois.
3. Série ordonnée et médiane :3 ; 5 ; 5 ; 7 ; 7 ; 7 ; 9 ; 9 ; 9 ; 11 ; 11 ; 13
n = 12 (pair) → Me = moyenne des rangs 6 et 7 = \(\dfrac{7 + 9}{2} = \mathbf{8}\) jours.
4. Q1 et Q3 :Rang de Q1 = \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → Q1 = valeur au rang 3 de la série triée = 5 jours.
Rang de Q3 = \(\lceil 36/4 \rceil = 9\) → Q3 = valeur au rang 9 de la série triée = 9 jours.
IQR = 9 − 5 = 4 jours.
5. Interprétation :L'IQR de 4 jours est modéré par rapport à la moyenne de 8 jours. Les précipitations sont relativement régulières au fil de l'année : 50 % des mois comptent entre 5 et 9 jours de pluie.
Deux menuisiers assemblent des meubles. Voici les temps de montage (en minutes) de 5 meubles chacun :
| Meuble 1 | Meuble 2 | Meuble 3 | Meuble 4 | Meuble 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Menuisier P | 45 | 48 | 50 | 47 | 50 |
| Menuisier Q | 35 | 60 | 42 | 55 | 48 |
Menuisier P : \(\bar{x}_P = \dfrac{45+48+50+47+50}{5} = \dfrac{240}{5} = \mathbf{48}\) min
Menuisier Q : \(\bar{x}_Q = \dfrac{35+60+42+55+48}{5} = \dfrac{240}{5} = \mathbf{48}\) min
2. Écarts-types :Menuisier P :
Écarts : (−3)² + (0)² + (2)² + (−1)² + (2)² = 9 + 0 + 4 + 1 + 4 = 18
\(\sigma_P = \sqrt{\dfrac{18}{5}} = \sqrt{3{,}6} \approx \mathbf{1{,}9}\) min
Menuisier Q :
Écarts : (−13)² + (12)² + (−6)² + (7)² + (0)² = 169 + 144 + 36 + 49 + 0 = 398
\(\sigma_Q = \sqrt{\dfrac{398}{5}} = \sqrt{79{,}6} \approx \mathbf{8{,}9}\) min
Les deux menuisiers ont exactement la même moyenne (48 min), mais le menuisier P a un écart-type de 1,9 min contre 8,9 min pour Q. Le menuisier P est beaucoup plus régulier.
4. Conseil :Pour un client exigeant un délai garanti, il faut envoyer le menuisier P : ses temps de montage sont très prévisibles (entre 45 et 50 min), alors que le menuisier Q peut prendre de 35 à 60 min, ce qui rend le planning incertain.
Un technicien a réalisé 10 interventions. Le service lui communique :
On lui dit qu'une valeur aberrante (une intervention exceptionnellement longue) fausse la moyenne. Les 9 autres valeurs sont :
\(\bar{x} = 35 \text{ et } n = 10 \Rightarrow \sum x_i = 35 \times 10 = \mathbf{350 \text{ min}}\)
2. Somme des 9 valeurs connues :\(20 + 25 + 28 + 30 + 28 + 32 + 35 + 27 + 26 = \mathbf{251 \text{ min}}\)
3. Valeur manquante :\(x_{10} = 350 - 251 = \mathbf{99 \text{ min}}\)
La 10e intervention a duré 99 minutes (soit près d'1h40).
Oui : la valeur 99 min est très éloignée des autres (qui sont toutes entre 20 et 35 min). Elle « tire » la moyenne vers le haut (35 min) alors que la médiane, insensible aux extrêmes, reste à 28 min. C'est un cas typique où la médiane est plus représentative que la moyenne.
5. Moyenne sans la valeur aberrante :\(\bar{x}_{\text{sans}} = \dfrac{251}{9} \approx \mathbf{27{,}9 \text{ min}}\)
Cette valeur (~28 min) est cohérente avec la médiane et donne une image bien plus réaliste du rythme habituel de travail du technicien.
Un gestionnaire de bâtiment dispose des relevés de consommation d'énergie (en kWh) sur 12 mois :
| Mois | Jan | Fév | Mar | Avr | Mai | Jun | Jul | Aoû | Sep | Oct | Nov | Déc |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Conso. (kWh) | 820 | 790 | 650 | 520 | 410 | 380 | 350 | 360 | 430 | 590 | 710 | 980 |
\(\bar{x} = \dfrac{820+790+650+520+410+380+350+360+430+590+710+980}{12} = \dfrac{6990}{12} = \mathbf{582{,}5 \text{ kWh}}\)
2. Série triée et indicateurs de position :350, 360, 380, 410, 430, 520, 590, 650, 710, 790, 820, 980
Médiane (n=12) : moyenne des rangs 6 et 7 = \(\dfrac{520+590}{2} = \mathbf{555 \text{ kWh}}\)
Rang de Q1 = \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → Q1 = valeur au rang 3 de la série triée = 380 kWh
Rang de Q3 = \(\lceil 36/4 \rceil = 9\) → Q3 = valeur au rang 9 de la série triée = 710 kWh
3. Étendue et IQR :Étendue = 980 − 350 = 630 kWh
IQR = Q3 − Q1 = 710 − 380 = 330 kWh
4. Écart-type (calcul complet) :| Mois | xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |
|---|---|---|---|
| Jan | 820 | +237,5 | 56 406 |
| Fév | 790 | +207,5 | 43 056 |
| Mar | 650 | +67,5 | 4 556 |
| Avr | 520 | −62,5 | 3 906 |
| Mai | 410 | −172,5 | 29 756 |
| Jun | 380 | −202,5 | 41 006 |
| Jul | 350 | −232,5 | 54 056 |
| Aoû | 360 | −222,5 | 49 506 |
| Sep | 430 | −152,5 | 23 256 |
| Oct | 590 | +7,5 | 56 |
| Nov | 710 | +127,5 | 16 256 |
| Déc | 980 | +397,5 | 158 006 |
| Σ | 6990 | 0 | 479 822 |
\(\sigma^2 = \dfrac{479\,822}{12} \approx 39\,985\) → \(\sigma = \sqrt{39\,985} \approx \mathbf{200 \text{ kWh}}\)
5. Détection des mois anormaux :Seuil bas = \(Q1 - 1{,}5 \times \text{IQR} = 380 - 1{,}5 \times 330 = 380 - 495 = -115 \text{ kWh}\)
→ Pas de mois anormalement bas (toutes les consommations sont positives).
Seuil haut = \(Q3 + 1{,}5 \times \text{IQR} = 710 + 495 = \mathbf{1\,205 \text{ kWh}}\)
→ Aucune valeur ne dépasse 1 205 kWh. Pas de mois formellement aberrant selon cette règle.
Cependant, Décembre (980 kWh) est la valeur la plus éloignée de la médiane (+ 425 kWh) et nettement au-dessus de Q3. À surveiller.
6. Interprétation technique :La consommation suit une logique saisonnière nette : basse en été (350–430 kWh en juillet–août), haute en hiver (820–980 kWh en janvier et décembre). L'écart-type de ~200 kWh confirme une forte variabilité annuelle.
Actions préventives conseillées :
Un métreur compare la précision de deux scies numériques (A et B). Il mesure l'écart (en mm) entre la longueur coupée et la longueur programmée pour 15 pièces sur chaque machine. Les résultats triés sont :
| Machine A | −1,2 | −0,8 | −0,5 | −0,3 | −0,1 | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,5 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | 1,3 | 1,8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Machine B | −0,4 | −0,3 | −0,2 | −0,1 | 0,0 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 2,5 |
| Min | Q1 | Me | Q3 | Max | |
|---|---|---|---|---|---|
| Machine A | −1,2 | −0,3 | 0,2 | 0,8 | 1,8 |
| Machine B | −0,4 | −0,1 | 0,2 | 0,4 | 2,5 |
Détail : Rang de Q1 = \(\lceil 15/4 \rceil = 4\) → Q1 = 4e valeur de la série triée. Rang de Q3 = \(\lceil 45/4 \rceil = 12\) → Q3 = 12e valeur de la série triée.
2. IQR :IQR(A) = 0,8 − (−0,3) = 1,1 mm | IQR(B) = 0,4 − (−0,1) = 0,5 mm
3. Moyennes :Machine A : \(\bar{x}_A = \dfrac{-1{,}2-0{,}8-0{,}5-0{,}3-0{,}1+0+0{,}1+0{,}2+0{,}3+0{,}5+0{,}6+0{,}8+1{,}0+1{,}3+1{,}8}{15} = \dfrac{3{,}7}{15} \approx \mathbf{0{,}25}\) mm
Machine B : \(\bar{x}_B = \dfrac{-0{,}4-0{,}3-0{,}2-0{,}1+0+0{,}1+0{,}1+0{,}2+0{,}2+0{,}3+0{,}3+0{,}4+0{,}5+0{,}6+2{,}5}{15} = \dfrac{4{,}2}{15} \approx \mathbf{0{,}28}\) mm
Les deux moyennes sont proches de 0, mais la machine A (0,25 mm) est légèrement plus centrée.
4. Valeur aberrante pour B :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 0,4 + 1,5 × 0,5 = 0,4 + 0,75 = 1,15 mm.
2,5 > 1,15 → Oui, 2,5 mm est une valeur aberrante. Cette pièce a un défaut de découpe anormal.
Machine A : (−1,2)───[−0,3│──0,2──│0,8]───(1,8) Machine B : (−0,4)─[−0,1│0,2│0,4]──────────(2,5)* * aberrant
La boîte de B est beaucoup plus étroite (IQR = 0,5 mm) que celle de A (IQR = 1,1 mm), mais la moustache droite de B est très longue à cause de la valeur aberrante.
6. Rapport :La machine B est recommandée pour les découpes de précision. En dehors de la valeur aberrante (2,5 mm, probablement un incident ponctuel), ses écarts sont concentrés dans un intervalle de seulement 0,5 mm (IQR), contre 1,1 mm pour la machine A. La machine B offre donc une meilleure reproductibilité. Il convient cependant d'identifier la cause du défaut à 2,5 mm pour l'éliminer.
Un artisan menuisier mesure le temps de séchage (en heures) de 15 panneaux en bois massif après vernissage. Les données triées sont :
Somme = 3,5+4,0+4,2+4,5+4,8+5,0+5,2+5,5+5,8+6,0+6,2+6,5+7,0+8,5+12,0 = 88,7
\(\bar{x} = \dfrac{88{,}7}{15} \approx \mathbf{5{,}91}\) h
2. Indicateurs de position (n = 15) :Mediane = 8e valeur = 5,5 h
Q1 (rang \(\lceil 15/4 \rceil = 4\)) = 4,5 h | Q3 (rang \(\lceil 45/4 \rceil = 12\)) = 6,5 h
3. IQR et etendue :IQR = 6,5 - 4,5 = 2 h | Etendue = 12,0 - 3,5 = 8,5 h
4. Comparaison moyenne/mediane :La moyenne (5,91 h) est légèrement supérieure à la médiane (5,5 h). Les valeurs élevées (8,5 h et 12 h) tirent la moyenne vers le haut.
5. Valeurs aberrantes :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 6,5 + 3 = 9,5 h. Seuil bas = Q1 - 1,5 × IQR = 4,5 - 3 = 1,5 h.
12,0 h > 9,5 h → valeur aberrante. 8,5 h < 9,5 h → pas aberrante mais elevee.
6. Moyenne corrigee :Sans 12,0 : somme = 76,7 pour 14 valeurs → \(\bar{x}_{\text{corr}} = \dfrac{76{,}7}{14} \approx \mathbf{5{,}48}\) h
La mediane (5,5 h) reste le meilleur indicateur : insensible aux extremes, elle represente le temps de sechage typique. Le panneau a 12 h a probablement ete verni dans des conditions particulieres (humidite, temperature basse).
Un artisan menuisier commande des planches de longueur nominale 250 cm aupres de deux fournisseurs. Il mesure 20 planches de chaque lot. Voici les indicateurs resumes :
| Indicateur | Fournisseur X | Fournisseur Y |
|---|---|---|
| Minimum | 246 | 248 |
| Q1 | 248 | 249 |
| Mediane | 250 | 251 |
| Q3 | 253 | 252 |
| Maximum | 258 | 254 |
| Moyenne | 250,8 | 250,6 |
X : IQR = 253 - 248 = 5 cm | Etendue = 258 - 246 = 12 cm
Y : IQR = 252 - 249 = 3 cm | Etendue = 254 - 248 = 6 cm
2. Regularite :Le fournisseur Y est nettement plus regulier : IQR de 3 cm (contre 5) et etendue de 6 cm (contre 12).
3. Planches hors tolerance [247 ; 253] :Fournisseur X : Min = 246 < 247 et Max = 258 > 253. De plus, Q3 = 253 donc ~25 % des planches risquent de depasser 253 cm. X a plus de risques de livrer des planches hors tolerance.
Fournisseur Y : Min = 248 ≥ 247 et Max = 254 > 253. Seules quelques planches (au-dessus de Q3 = 252) depassent 253 cm.
4. Valeur aberrante (X) :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 253 + 7,5 = 260,5 cm. 258 < 260,5 → pas formellement aberrante, mais tres eloignee.
5. Avis :Le fournisseur Y est recommande. Ses planches sont plus regulieres (IQR = 3 cm contre 5 cm pour X), avec une etendue deux fois plus faible (6 cm contre 12 cm). Bien que sa mediane soit legerement au-dessus de la cible (251 vs 250 cm), la quasi-totalite de ses planches reste dans l'intervalle de tolerance [247 ; 253]. Le fournisseur X presente un risque plus eleve de planches hors normes, avec un minimum a 246 cm et un maximum a 258 cm.
Un technicien chauffagiste releve la consommation journaliere (en kWh) d'une chaudiere sur 20 jours. Les données triées sont :
Me = moyenne des rangs 10 et 11 = \(\dfrac{31+32}{2} = \mathbf{31{,}5}\) kWh
Rang de Q1 = \(\lceil 20/4 \rceil = 5\) → Q1 = valeur au rang 5 de la série triée = 26 kWh
Rang de Q3 = \(\lceil 60/4 \rceil = 15\) → Q3 = valeur au rang 15 de la série triée = 36 kWh
2. IQR et seuils :IQR = 36 - 26 = 10 kWh
Seuil bas = 26 - 1,5 × 10 = 26 - 15 = 11 kWh
Seuil haut = 36 + 1,5 × 10 = 36 + 15 = 51 kWh
3. Valeurs aberrantes :55 kWh > 51 → aberrante. 72 kWh > 51 → aberrante. Il y a 2 valeurs aberrantes.
4. Moyennes :Somme totale = 677 → \(\bar{x} = \dfrac{677}{20} = \mathbf{33{,}85}\) kWh
Sans aberrantes : somme = 677 - 55 - 72 = 550 pour 18 valeurs → \(\bar{x}_{\text{corr}} = \dfrac{550}{18} \approx \mathbf{30{,}56}\) kWh
Ecart : 33,85 - 30,56 = 3,29 kWh (les 2 valeurs aberrantes augmentent la moyenne d'environ 10 %).
5. Interpretation technique :Les journees a 55 et 72 kWh sont anormales. Causes possibles : vague de froid exceptionnelle, dysfonctionnement du thermostat, porte ou fenetre restee ouverte, ou panne du systeme de regulation. Le technicien doit : verifier le thermostat, controler l'isolation du batiment, et mettre en place une alerte automatique si la consommation depasse le seuil de 51 kWh.
Un chef de chantier compare les temps de pose (en minutes) de panneaux de signaletique par trois equipes. Voici les resultats resumes :
| Equipe A | Equipe B | Equipe C | |
|---|---|---|---|
| Min | 15 | 25 | 10 |
| Q1 | 20 | 28 | 18 |
| Mediane | 25 | 32 | 30 |
| Q3 | 30 | 35 | 45 |
| Max | 38 | 40 | 62 |
| Moyenne | 25,2 | 32,0 | 31,5 |
| Effectif | 12 | 12 | 12 |
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| IQR | 10 min | 7 min | 27 min |
| Etendue | 23 min | 15 min | 52 min |
En mediane : A (25 min) est la plus rapide. En moyenne : A (25,2 min) est aussi la plus rapide.
3. Regularite :B est la plus reguliere (IQR = 7, etendue = 15). C est la moins reguliere (IQR = 27, etendue = 52) : elle alterne entre des poses tres rapides (10 min) et tres longues (62 min).
4. Valeur aberrante (C) :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 45 + 40,5 = 85,5 min. 62 < 85,5 → pas aberrante formellement, mais tres elevee.
5. Garantie < 40 min :L'equipe A est la seule dont le maximum (38 min) est inferieur a 40 min. L'equipe B a un max de 40 min (juste la limite). L'equipe C depasse largement.
6. Synthese :L'equipe A est la meilleure option. Elle est la plus rapide (mediane de 25 min, moyenne de 25,2 min), avec une regularite correcte (IQR de 10 min) et un maximum de 38 min qui respecte la garantie de 40 minutes. L'equipe B est reguliere mais plus lente en moyenne (32 min). L'equipe C est a eviter pour les chantiers a delai garanti en raison de sa forte variabilite (IQR de 27 min).
Une petite entreprise de menuiserie emploie 10 personnes. Voici les salaires mensuels nets (en euros) :
| Poste | Salaire | Effectif |
|---|---|---|
| Ouvrier | 1 500 € | 5 |
| Chef d'equipe | 1 800 € | 2 |
| Comptable | 2 200 € | 1 |
| Responsable commercial | 2 500 € | 1 |
| Dirigeant | 6 000 € | 1 |
\(\bar{x} = \dfrac{5 \times 1500 + 2 \times 1800 + 1 \times 2200 + 1 \times 2500 + 1 \times 6000}{10} = \dfrac{7500+3600+2200+2500+6000}{10} = \dfrac{21\,800}{10} = \mathbf{2\,180\,\text{€}}\)
2. Serie ordonnee et mediane :1500 ; 1500 ; 1500 ; 1500 ; 1500 ; 1800 ; 1800 ; 2200 ; 2500 ; 6000
n = 10 (pair) → Me = \(\dfrac{1500+1800}{2} = \mathbf{1\,650\,\text{€}}\)
3. Q1 et Q3 :Rang de Q1 = \(\lceil 10/4 \rceil = 3\) → Q1 = valeur au rang 3 de la série triée = 1 500 €
Rang de Q3 = \(\lceil 30/4 \rceil = 8\) → Q3 = valeur au rang 8 de la série triée = 2 200 €
IQR = 2200 - 1500 = 700 €
4. Valeur aberrante :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 2200 + 1050 = 3 250 €. 6000 > 3250 → oui, le salaire du dirigeant est aberrant.
5. Analyse :Le syndicaliste utilise la moyenne (2 180 €, qu'il arrondit a 2 200 €). L'ouvrier utilise le mode (1 500 €, le salaire le plus frequent). Les deux ont raison mathematiquement, mais la mediane (1 650 €) est l'indicateur le plus representatif. La moyenne est tiree vers le haut par le salaire du dirigeant. La moitie des salaries gagne moins de 1 650 €.
6. Impact d'une baisse de salaire du dirigeant :Nouvelle moyenne : \(\dfrac{21\,800 - 6000 + 4000}{10} = \dfrac{19\,800}{10} = \mathbf{1\,980\,\text{€}}\)
La moyenne baisse de 200 € (de 2 180 a 1 980). La mediane reste inchangee a 1 650 € : elle ne depend pas des valeurs extremes. Cela illustre la robustesse de la mediane.