Indicateurs statistiques | 2nde Bac Pro
Dernière mise à jour : 30 juillet 2026, 22:15
Un technicien de maintenance a relevé les durées de ses interventions sur une journée (en minutes) :
\(n = 8\) interventions.
2. Somme des durées :\(25 + 30 + 18 + 42 + 15 + 28 + 35 + 22 = \mathbf{215}\) minutes.
3. Moyenne :\(\bar{x} = \dfrac{215}{8} = 26{,}875 \approx \mathbf{27 \text{ min}}\)
4. Interprétation :27 min < 30 min, donc le technicien est dans les temps. Sa durée moyenne respecte l'objectif du service.
Un technicien en génie climatique relève les températures (en °C) d'un circuit de chauffage pendant 9 jours :
55 58 60 62 65 67 68 71 72
2. Étendue :Min = 55 °C | Max = 72 °C
Étendue = 72 − 55 = 17 °C
La série comporte \(n = 9\) valeurs (nombre impair). La médiane est la valeur de rang \(\dfrac{9+1}{2} = 5\).
La 5e valeur est 65 °C → Me = 65 °C.
55 °C est inférieur à 58 °C (minimum normal) → anormalement basse.
71 °C et 72 °C dépassent 70 °C → anormalement élevées.
Le technicien doit vérifier ces 3 jours.
Voici les temps de réparation (en minutes) relevés par un technicien sur 12 interventions, déjà triés :
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Durée (min) | 12 | 15 | 18 | 20 | 23 | 25 | 28 | 30 | 35 | 38 | 42 | 50 |
Me = \(\dfrac{25 + 28}{2} = \mathbf{26{,}5}\) min
Q1 = 3e valeur = 18 min (rang \(\lceil 12/4 \rceil = 3\))
Q3 = 9e valeur = 35 min (rang \(\lceil 36/4 \rceil = 9\))
IQR = 35 − 18 = 17 min
2. Interprétation :50 % des interventions durent entre 18 min et 35 min.
La boîte contient les 50 % centraux de la série. La médiane (rouge) sépare les 50 % inférieurs des 50 % supérieurs.
Deux techniciens ont réalisé chacun 8 interventions. Voici leurs durées (en minutes) :
| Technicien | Int. 1 | Int. 2 | Int. 3 | Int. 4 | Int. 5 | Int. 6 | Int. 7 | Int. 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Technicien A | 45 | 30 | 60 | 35 | 40 | 55 | 50 | 38 |
| Technicien B | 25 | 70 | 20 | 80 | 30 | 65 | 28 | 72 |
Technicien A : Somme = 353 → Moyenne = \(\dfrac{353}{8} \approx \mathbf{44{,}1}\) min. Médiane = \(\dfrac{40+45}{2} = \mathbf{42{,}5}\) min. Étendue = 30 min.
Technicien B : Somme = 390 → Moyenne = \(\dfrac{390}{8} \approx \mathbf{48{,}8}\) min. Étendue = 60 min.
2-3. Interprétation :Le technicien A est plus régulier car son étendue est de 30 min contre 60 min pour B. Les durées de A sont bien groupées, alors que B alterne entre interventions très courtes et très longues.
Plus l'étendue est petite (technicien A en vert), plus la série est régulière. L'étendue traduit visuellement la dispersion.
Un responsable de maintenance suit le nombre de pannes par équipement sur 30 jours :
| Nombre de pannes (xi) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de jours (ni) | 6 | 8 | 7 | 5 | 3 | 1 | 30 |
| ni × xi | 0 | 8 | 14 | …… | …… | …… | …… |
\(5 \times 3 = 15\), \(3 \times 4 = 12\), \(1 \times 5 = 5\)
Total = 0 + 8 + 14 + 15 + 12 + 5 = 54
Moyenne = \(\dfrac{54}{30} = \mathbf{1{,}8}\) panne/jour.
2. Interprétation :1,8 < 2 → l'objectif est atteint.
Consommation mensuelle d'un climatiseur (en kWh) sur 6 mois :
| xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |
|---|---|---|
| 120 | 120 − 137 = −17 | (−17)² = 289 |
| 145 | 145 − 137 = …… | (……)² = …… |
| 132 | …… | …… |
| 158 | …… | …… |
| 128 | …… | …… |
| 139 | …… | …… |
| Somme | …… |
| xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |
|---|---|---|
| 120 | −17 | 289 |
| 145 | +8 | 64 |
| 132 | −5 | 25 |
| 158 | +21 | 441 |
| 128 | −9 | 81 |
| 139 | +2 | 4 |
| Somme | 0 | 904 |
Variance = \(\dfrac{904}{6} \approx 150{,}7\) kWh²
Écart-type = \(\sqrt{150{,}7} \approx \mathbf{12{,}3}\) kWh
3. Interprétation :12,3 kWh représente environ 9 % de la moyenne (137 kWh). La dispersion est modérée : la consommation varie légèrement selon les mois.
L'écart-type quantifie la dispersion. 4/6 valeurs sont dans le fuseau jaune [x̄−σ ; x̄+σ] ; 2 valeurs (120 et 158) sont les plus excentrées.
Voici les temps (en secondes) de 10 élèves au sprint de 100 m, déjà triés :
La 5e valeur est 14,2 et la 6e valeur est 14,6.
Me = \(\dfrac{14{,}2 + 14{,}6}{2} = \mathbf{14{,}4 \text{ s}}\)
2. Interprétation :La médiane partage le groupe en deux : 5 élèves sur 10 courent en 14,4 s au plus, les 5 autres en plus de 14,4 s. (Ici aucun élève ne fait exactement 14,4 s, puisque la médiane tombe entre deux temps.)
3. Comparaison :16,4 s > 14,4 s → cet élève est au-dessus de la médiane : il fait partie de la moitié la plus lente. Il peut viser un temps sous 14,4 s pour rejoindre la première moitié.
Voici la boîte à moustaches des fréquences cardiaques au repos (en bpm) mesurées chez 30 élèves :
Min = 55 bpm, Q1 = 65 bpm, Me = 70 bpm, Q3 = 80 bpm, Max = 95 bpm.
2. Étendue et IQR :Étendue = 95 − 55 = 40 bpm
IQR = Q3 − Q1 = 80 − 65 = 15 bpm
3. Interprétation :50 % des élèves ont une fréquence cardiaque entre 65 bpm et 80 bpm.
4. Positionnement :90 bpm est supérieur à Q3 (80 bpm) mais inférieur au Max (95 bpm). Cet élève se situe dans la moustache droite : il fait partie des 25 % ayant le rythme le plus élevé.
Un menuisier mesure la longueur (en cm) de 25 planches découpées. Les résultats sont regroupés par classes :
| Classe (cm) | [95 ; 100[ | [100 ; 105[ | [105 ; 110[ | [110 ; 115[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 4 | 10 | 8 | 3 | 25 |
| Centre \(c_i\) | …… | …… | …… | …… | |
| \(n_i \times c_i\) | …… | …… | …… | …… | …… |
\(c_1 = \dfrac{95+100}{2} = 97{,}5\) ; \(c_2 = \dfrac{100+105}{2} = 102{,}5\) ; \(c_3 = \dfrac{105+110}{2} = 107{,}5\) ; \(c_4 = \dfrac{110+115}{2} = 112{,}5\)
2. Produits :\(4 \times 97{,}5 = 390\) ; \(10 \times 102{,}5 = 1\,025\) ; \(8 \times 107{,}5 = 860\) ; \(3 \times 112{,}5 = 337{,}5\)
Total = 390 + 1 025 + 860 + 337,5 = 2 612,5
3. Moyenne :\(\bar{x} = \dfrac{2\,612{,}5}{25} = \mathbf{104{,}5 \text{ cm}}\)
4. Interprétation :104,5 cm < 105 cm : les planches sont en moyenne légèrement plus courtes que la cible. Le réglage de la scie doit être vérifié.
On pèse 11 échantillons de bois (en grammes). Voici les masses déjà triées :
Me = 6e valeur = 55 g
Q1 = valeur au rang \(\lceil 11/4 \rceil = 3\) = 48 g
Q3 = valeur au rang \(\lceil 33/4 \rceil = 9\) = 64 g
IQR = 64 − 48 = 16 g
2. Position de la valeur 78 g :78 g > Q3 = 64 g → la valeur est au-dessus de Q3, donc l'échantillon fait partie des 25 % les plus lourds.
3. Prolongement (au-delà du programme) :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 64 + 1,5 × 16 = 64 + 24 = 88 g.
78 g < 88 g → selon ce critère hors-programme, la valeur ne serait pas considérée comme aberrante. Elle reste simplement parmi les plus lourdes.
Voici les distances (en mètres) de 12 lancers de poids, déjà triées :
Min = 5,2 m | Max = 9,6 m
Me = \(\dfrac{7{,}2 + 7{,}5}{2} = \mathbf{7{,}35}\) m
Q1 = valeur au rang 3 = 6,1 m
Q3 = valeur au rang 9 = 8,3 m
2. Boîte à moustaches :IQR = Q3 − Q1 = 8,3 − 6,1 = 2,2 m
50 % des lancers se situent entre 6,1 m et 8,3 m. L'IQR montre que la moitié centrale des lancers couvre une plage de 2,2 m.
Lors d'un diagnostic énergétique, un technicien du bâtiment relève l'épaisseur d'isolant (en cm) présente dans les combles de 30 maisons. Les résultats sont regroupés par classes :
| Classe (cm) | [4 ; 6[ | [6 ; 8[ | [8 ; 10[ | [10 ; 12[ | [12 ; 14[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 3 | 7 | 12 | 5 | 3 | 30 |
| Centre \(c_i\) | 5 | …… | …… | …… | …… | |
| \(n_i \times c_i\) | 15 | …… | …… | …… | …… | …… |
\(c_1 = 5\) ; \(c_2 = \dfrac{6+8}{2} = 7\) ; \(c_3 = \dfrac{8+10}{2} = 9\) ; \(c_4 = \dfrac{10+12}{2} = 11\) ; \(c_5 = \dfrac{12+14}{2} = 13\)
2. Produits et total :\(3 \times 5 = 15\) ; \(7 \times 7 = 49\) ; \(12 \times 9 = 108\) ; \(5 \times 11 = 55\) ; \(3 \times 13 = 39\)
Total = 15 + 49 + 108 + 55 + 39 = 266
3. Moyenne :\(\bar{x} = \dfrac{266}{30} \approx \mathbf{8{,}9}\) cm
4. Classe modale :La classe [8 ; 10[ a le plus grand effectif (12 maisons sur 30). C'est la classe modale : l'épaisseur d'isolant la plus courante se situe entre 8 cm et 10 cm.
5. Comparaison avec l'objectif de 30 cm :8,9 cm < 30 cm : l'objectif n'est pas atteint, et de loin. Il manque en moyenne 30 − 8,9 = 21,1 cm d'isolant.
Aucune des 30 maisons n'atteint 30 cm (la classe la plus épaisse s'arrête à 14 cm) : tous ces combles doivent être réisolés.
Un technicien de maintenance énergétique compte le nombre de radiateurs de chaque logement dans une résidence de 20 logements. Le tableau ci-dessous est entièrement rempli : la dernière ligne indique quels rangs de la série triée correspondent à chaque valeur.
| Nombre de radiateurs \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de logements \(n_i\) | 2 | 5 | 6 | 4 | 3 | 20 |
| Effectif cumulé | 2 | 7 | 13 | 17 | 20 | |
| Rangs occupés | 1 à 2 | 3 à 7 | 8 à 13 | 14 à 17 | 18 à 20 |
Les rangs 10 et 11 sont dans la plage « 8 à 13 », qui correspond à la valeur 3 → Me = \(\dfrac{3+3}{2} = \mathbf{3}\) radiateurs.
Le rang 5 est dans la plage « 3 à 7 » → Q1 = 2 radiateurs.
Le rang 15 est dans la plage « 14 à 17 » → Q3 = 4 radiateurs.
IQR = 4 − 2 = 2 radiateurs.
2. Mode :Le plus grand effectif est 6 (pour la valeur 3). Le mode est 3 radiateurs : c'est le nombre de radiateurs le plus fréquent.
3. Interprétation :50 % des logements possèdent entre 2 et 4 radiateurs.
4. Nombre de robinets :Total de radiateurs = \(1 \times 2 + 2 \times 5 + 3 \times 6 + 4 \times 4 + 5 \times 3 = 2 + 10 + 18 + 16 + 15 = \mathbf{61}\) radiateurs.
Il faut commander 61 robinets thermostatiques (soit en moyenne \(\dfrac{61}{20} = 3{,}05\) radiateurs par logement).
Deux installateurs thermiques, notés A et B, posent des radiateurs. On a représenté la durée de pose (en minutes) de leurs chantiers par deux boîtes à moustaches tracées sur le même axe gradué :
| Min | Q1 | Me | Q3 | Max | |
|---|---|---|---|---|---|
| Installateur A | 20 | 30 | 35 | 45 | 60 |
| Installateur B | 25 | 35 | 40 | 45 | 50 |
Installateur A : Étendue = 60 − 20 = 40 min | IQR = 45 − 30 = 15 min
Installateur B : Étendue = 50 − 25 = 25 min | IQR = 45 − 35 = 10 min
3. Le plus rapide :La médiane de l'installateur A est 35 min, celle de l'installateur B est 40 min. L'installateur A est plus rapide : la moitié de ses poses dure 35 min au plus, contre 40 min pour l'installateur B.
4. Le plus régulier :L'installateur B a un IQR de 10 min (contre 15) et une étendue de 25 min (contre 40). L'installateur B est plus régulier : ses durées sont beaucoup plus resserrées.
5. Interprétation :50 % des poses de l'installateur B durent entre 35 min et 45 min.
Un chef de chantier contrôle l'épaisseur (en mm) de 5 dalles de béton coulées dans la journée. Les mesures sont déjà triées :
| xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |
|---|---|---|
| 196 | 196 − 200 = −4 | (−4)² = 16 |
| 198 | 198 − 200 = …… | (……)² = …… |
| 199 | …… | …… |
| 202 | …… | …… |
| 205 | …… | …… |
| Somme | …… |
| xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |
|---|---|---|
| 196 | −4 | 16 |
| 198 | −2 | 4 |
| 199 | −1 | 1 |
| 202 | +2 | 4 |
| 205 | +5 | 25 |
| Somme | 0 | 50 |
Variance = \(\dfrac{50}{5} = 10\) mm²
Écart-type = \(\sqrt{10} \approx \mathbf{3{,}2}\) mm
3. Conformité :La tolérance donne l'intervalle [195 ; 205]. Les 5 épaisseurs (196 ; 198 ; 199 ; 202 ; 205) sont toutes dans cet intervalle : les dalles sont conformes. La dalle de 205 mm est toutefois à la limite haute.
4. Interprétation :3,2 mm représente environ 1,6 % de la moyenne (200 mm) : l'écart-type est petit. Le coulage est donc régulier, les épaisseurs se ressemblent beaucoup d'une dalle à l'autre.
Une joueuse de handball a disputé 20 matchs cette saison. On a compté le nombre de buts qu'elle a marqués à chaque match. Le tableau ci-dessous est entièrement rempli sauf la ligne des produits : la dernière ligne indique quels rangs de la série triée correspondent à chaque valeur.
| Buts marqués \(x_i\) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de matchs \(n_i\) | 2 | 4 | 6 | 4 | 3 | 1 | 20 |
| \(n_i \times x_i\) | 4 | 12 | 24 | …… | …… | …… | …… |
| Rangs occupés | 1 à 2 | 3 à 6 | 7 à 12 | 13 à 16 | 17 à 19 | 20 |
\(2 + 4 + 6 + 4 + 3 + 1 = \mathbf{20}\) matchs ✓ — le total du tableau est correct.
2. Produits et moyenne :\(4 \times 5 = \mathbf{20}\) | \(3 \times 6 = \mathbf{18}\) | \(1 \times 7 = \mathbf{7}\)
Nombre total de buts : \(4 + 12 + 24 + 20 + 18 + 7 = \mathbf{85}\) buts.
\(\bar{x} = \dfrac{\sum n_i \times x_i}{N} = \dfrac{85}{20} = \mathbf{4{,}25}\) buts par match.
3. Mode :Le mode est la valeur dont l'effectif est le plus élevé. Le plus grand effectif est 6 (ligne \(n_i\)), il correspond à la valeur 4.
Le mode est \(\mathbf{4}\) buts : 4 buts est le score le plus fréquent, réalisé lors de 6 matchs sur 20.
4. Étendue :Étendue \(= x_{\max} - x_{\min} = 7 - 2 = \mathbf{5}\) buts.
C'est l'écart entre son meilleur et son moins bon match : ses totaux vont de 2 à 7 buts, soit une plage de 5 buts. L'étendue ne regarde que les deux valeurs extrêmes : elle ne dit rien de la façon dont les 20 matchs se répartissent à l'intérieur de cette plage.
5. Médiane :\(N = 20\) est pair : Me est la moyenne des valeurs de rang 10 et de rang 11.
D'après la ligne « rangs occupés », les rangs 7 à 12 correspondent à la valeur 4 : les rangs 10 et 11 valent donc tous les deux 4.
\(Me = \dfrac{4 + 4}{2} = \mathbf{4}\) buts. La moitié de ses matchs se termine à 4 buts ou moins.
6. « En général, je marque 4 buts » :Elle emploie le mode (le score le plus fréquent), qui vaut ici 4 buts — et qui coïncide avec la médiane, également égale à 4.
C'est cohérent. La moyenne, elle, vaut 4,25 buts : elle est légèrement plus élevée parce que ses gros matchs (6 et 7 buts) tirent la moyenne vers le haut. Les trois indicateurs de position restent très proches (4 ; 4 ; 4,25) : la série est assez symétrique autour de 4 buts, avec une légère traîne du côté des gros scores. ✓
Sur un chantier, un technicien géomètre doit connaître la dénivelée entre la borne A et le repère B, c'est-à-dire de combien B est plus haut que A. Il réalise un nivellement au niveau de chantier et à la mire.
Pour contrôler son travail, il ne se contente pas d'une seule détermination : il fait un cheminement aller-retour. Il détermine la dénivelée 3 fois à l'aller (de A vers B), puis 3 fois au retour (de B vers A), en réinstallant le niveau et la mire à chaque fois. Les trois valeurs du retour ont déjà été changées de signe pour être comparables à celles de l'aller.
| Détermination | 1 (aller) | 2 (aller) | 3 (aller) | 4 (retour) | 5 (retour) | 6 (retour) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Dénivelée A→B (m) | 2,346 | 2,349 | 2,349 | 2,345 | 2,348 | 2,345 |
Deux contrôles sont prévus au cahier des charges : un contrôle de la dispersion des six déterminations, et un contrôle de la fermeture, c'est-à-dire de l'écart entre ce que donne l'aller et ce que donne le retour.
| Détermination (m) | Écart à la moyenne (mm) | (écart)² (mm²) |
|---|---|---|
| 2,346 | −1 | (−1)² = 1 |
| 2,349 | +2 | (+2)² = 4 |
| 2,349 | …… | …… |
| 2,345 | …… | …… |
| 2,348 | …… | …… |
| 2,345 | …… | …… |
| Somme | …… | …… |
| Détermination (m) | Écart à la moyenne (mm) | (écart)² (mm²) |
|---|---|---|
| 2,346 | −1 | 1 |
| 2,349 | +2 | 4 |
| 2,349 | +2 | 4 |
| 2,345 | −2 | 4 |
| 2,348 | +1 | 1 |
| 2,345 | −2 | 4 |
| Somme | 0 | 18 |
La somme des écarts vaut 0 : c'est le contrôle habituel, il confirme que la moyenne 2,347 m est bien calculée.
2. Étendue :Plus forte détermination : 2,349 m | plus faible : 2,345 m.
Étendue = 2,349 − 2,345 = 0,004 m = 4 mm
3. Variance et écart-type :Variance = \(\dfrac{18}{6} = 3\) mm²
Écart-type = \(\sqrt{3} \approx \mathbf{1{,}7}\) mm
Autrement dit, les déterminations s'écartent en moyenne d'environ 1,7 mm de la valeur retenue : c'est ce que l'on attend d'un nivellement soigné sur une courte portée.
4. Contrôle de dispersion :L'étendue vaut 4 mm et la tolérance est de 8 mm. Or \(4 \lt 8\) : le premier contrôle est satisfait.
Aucune détermination ne s'écarte anormalement des autres. Si l'étendue avait dépassé 8 mm, il aurait fallu chercher l'erreur (mire mal calée, bulle non réglée, lecture inversée) et recommencer les déterminations.
5. Contrôle de fermeture :a. Aller : \(\dfrac{7{,}044}{3} = \mathbf{2{,}348}\) m | Retour : \(\dfrac{7{,}038}{3} = \mathbf{2{,}346}\) m
b. Écart de fermeture = 2,348 − 2,346 = 0,002 m = 2 mm
c. La tolérance de fermeture est de 4 mm. Or \(2 \lt 4\) : le second contrôle est satisfait.
Pourquoi faire l'aller et le retour ? Les deux contrôles ne disent pas la même chose. L'étendue mesure la dispersion : elle repère la détermination qui part de travers. Mais si le niveau est mal réglé — sa ligne de visée n'est pas rigoureusement horizontale —, l'erreur qu'il introduit va toujours du même côté tant qu'on chemine de A vers B. Les six déterminations seraient alors toutes décalées ensemble, bien groupées, et l'étendue n'y verrait rien : répéter six fois dans le même sens n'aurait jamais permis de détecter ce défaut. En repartant de B vers A, la même erreur se reporte de l'autre côté : l'écart entre la moyenne de l'aller et celle du retour la révèle, et la moyenne des six l'annule.
Ici l'écart de fermeture est petit (2 mm) : le niveau est bien réglé, et la moyenne des six déterminations peut être retenue.
Conclusion. Les deux contrôles étant satisfaits, c'est la moyenne \(\bar{x} = 2{,}347\) m qui est retenue comme dénivelée entre A et B. C'est elle, et non l'une des six lectures, qui servira ensuite à calculer l'altitude du repère B et à implanter les niveaux du chantier.
En travaux pratiques, la classe étudie un pendule : une petite masse suspendue à un fil, qu'on écarte puis qu'on lâche. Elle va et vient toujours à la même cadence.
Chronométrer un seul aller-retour serait trop court : le temps de réaction de l'élève fausserait tout. Les 10 binômes de la classe chronomètrent donc chacun, sur le même pendule, la durée de 10 allers-retours. Voici les 10 résultats, dans l'ordre des binômes (la série n'est pas triée) :
| Binôme | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Durée de 10 allers-retours (s) | 14,2 | 14,6 | 14,0 | 14,5 | 14,3 | 14,8 | 14,1 | 14,4 | 14,3 | 14,8 |
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Durée (s) | 14,0 | …… | …… | 14,3 | …… | …… | …… | …… | 14,8 | …… |
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Durée (s) | 14,0 | 14,1 | 14,2 | 14,3 | 14,3 | 14,4 | 14,5 | 14,6 | 14,8 | 14,8 |
La valeur 14,3 s apparaît deux fois (binômes 5 et 9) et la valeur 14,8 s aussi (binômes 6 et 10) : on les écrit bien toutes les deux, la série compte toujours 10 valeurs.
2. Minimum, maximum, étendue :Min = 14,0 s | Max = 14,8 s
Étendue = 14,8 − 14,0 = 0,8 s
3. Durée moyenne :\(\bar{x} = \dfrac{144{,}0}{10} = \mathbf{14{,}4\ \text{s}}\)
4. Médiane et quartiles :\(n = 10\) est pair : Me = \(\dfrac{14{,}3 + 14{,}4}{2} = \mathbf{14{,}35\ \text{s}}\) (valeurs de rang 5 et de rang 6).
Q1 = valeur de rang 3 = 14,2 s | Q3 = valeur de rang 8 = 14,6 s
IQR = 14,6 − 14,2 = 0,4 s : la moitié centrale des binômes tient dans 4 dixièmes de seconde.
La moyenne porte sur 10 allers-retours. Un seul aller-retour dure donc :
\(\dfrac{14{,}4}{10} = \mathbf{1{,}44\ \text{s}}\)
Pourquoi chronométrer 10 allers-retours et non un seul ? Chaque binôme se trompe d'environ 2 dixièmes de seconde en déclenchant et en arrêtant le chronomètre. Sur un aller-retour de 1,44 s, cette erreur représenterait déjà plus de 10 % du résultat. En chronométrant 10 allers-retours, on commet la même erreur de 2 dixièmes… mais sur 14,4 s, et on la divise ensuite par 10 en repassant à un aller-retour. C'est exactement ce que montre la série : les binômes s'écartent de 0,8 s au maximum les uns des autres (l'étendue), soit seulement 0,08 s une fois ramené à un aller-retour.
Un menuisier relève la durée (en minutes) de ses 9 dernières interventions de pose de plinthes :
35 42 28 55 38 42 31 47 42
1. Série triée : 28 ; 31 ; 35 ; 38 ; 42 ; 42 ; 42 ; 47 ; 55.
2. Étendue = 55 − 28 = 27 min.
3. Somme = 28 + 31 + 35 + 38 + 42 + 42 + 42 + 47 + 55 = 360. Moyenne = \(\dfrac{360}{9} = \mathbf{40{,}0}\) min.
4. 9 valeurs → la médiane est la 5e valeur : Me = 42 min.
5. Le mode est 42 (apparaît 3 fois).
6. \(N = 9\) → Rang de \(Q_1 = \lceil 9/4 \rceil = 3\) → \(Q_1\) = 3e valeur = 35 min.
Rang de \(Q_3 = \lceil 27/4 \rceil = 7\) → \(Q_3\) = 7e valeur = 42 min.
Écart interquartile : \(Q_3 - Q_1 = 42 - 35 = \mathbf{7}\) min.
Voici les temps de réparation (en minutes) relevés par un technicien sur 12 interventions, déjà triés :
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Durée (min) | 12 | 15 | 18 | 20 | 23 | 25 | 28 | 30 | 35 | 38 | 42 | 50 |
Guide — Calculer Q1 et Q3 pour n = 12 valeurs :
Me = moyenne des valeurs de rang 6 et 7 = \(\dfrac{25 + 28}{2} = \mathbf{26{,}5 \text{ min}}\)
2. Q1 et Q3 :Rang de Q1 = \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → Q1 = valeur au rang 3 de la série triée = 18 min
Rang de Q3 = \(\lceil 36/4 \rceil = 9\) → Q3 = valeur au rang 9 de la série triée = 35 min
3. Écart interquartile :\(\text{IQR} = Q3 - Q1 = 35 - 18 = \mathbf{17 \text{ min}}\)
L'IQR représente la plage de durée des 50 % d'interventions « du milieu » (ni les plus courtes, ni les plus longues). Il mesure la dispersion sans être perturbé par les valeurs extrêmes.
50 % des interventions durent entre 18 min et 35 min.
Deux techniciens ont réalisé chacun 8 interventions. Voici leurs durées (en minutes) :
| Technicien | Int. 1 | Int. 2 | Int. 3 | Int. 4 | Int. 5 | Int. 6 | Int. 7 | Int. 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Technicien A | 45 | 30 | 60 | 35 | 40 | 55 | 50 | 38 |
| Technicien B | 25 | 70 | 20 | 80 | 30 | 65 | 28 | 72 |
Technicien A : \(\bar{x}_A = \dfrac{45+30+60+35+40+55+50+38}{8} = \dfrac{353}{8} \approx \mathbf{44{,}1 \text{ min}}\)
Technicien B : \(\bar{x}_B = \dfrac{25+70+20+80+30+65+28+72}{8} = \dfrac{390}{8} \approx \mathbf{48{,}8 \text{ min}}\)
2. Médianes (séries triées) :A trié : 30, 35, 38, 40, 45, 50, 55, 60 → Me\(_A\) = \(\dfrac{40+45}{2} = \mathbf{42{,}5 \text{ min}}\)
B trié : 20, 25, 28, 30, 65, 70, 72, 80 → Me\(_B\) = \(\dfrac{30+65}{2} = \mathbf{47{,}5 \text{ min}}\)
3. Étendues :Étendue A = 60 − 30 = 30 min | Étendue B = 80 − 20 = 60 min
4. Régularité :Le technicien A a une étendue deux fois plus faible (30 min contre 60 min). Ses valeurs sont bien groupées autour de sa moyenne (44,1 min). Le technicien B alterne entre des interventions très courtes (20 min) et très longues (80 min) : il est beaucoup moins régulier.
→ Le technicien A est plus régulier.
Un responsable de maintenance suit le nombre de pannes par équipement sur 30 jours. Voici le tableau de relevé :
| Nombre de pannes (xi) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de jours (ni) | 6 | 8 | 7 | 5 | 3 | 1 |
| Fréquence (ni/30) | ||||||
| ni × xi |
\(6 + 8 + 7 + 5 + 3 + 1 = \mathbf{30}\) jours. ✔
2. Tableau complété :| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ni | 6 | 8 | 7 | 5 | 3 | 1 | 30 |
| Fréquence | 0,20 | 0,27 | 0,23 | 0,17 | 0,10 | 0,03 | 1,00 |
| ni × xi | 0 | 8 | 14 | 15 | 12 | 5 | 54 |
\(\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} = \dfrac{54}{30} = \mathbf{1{,}8 \text{ panne/jour}}\)
4. Interprétation :1,8 < 2 → l'objectif est atteint. En moyenne, il y a moins de 2 pannes par jour.
Un technicien relève la consommation mensuelle d'un climatiseur (en kWh) sur 6 mois :
\(\bar{x} = \dfrac{120 + 145 + 132 + 158 + 128 + 139}{6} = \dfrac{822}{6} = \mathbf{137 \text{ kWh}}\)
2. Tableau des écarts :| xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |
|---|---|---|
| 120 | −17 | 289 |
| 145 | +8 | 64 |
| 132 | −5 | 25 |
| 158 | +21 | 441 |
| 128 | −9 | 81 |
| 139 | +2 | 4 |
| Somme | 0 | 904 |
\(\sigma^2 = \dfrac{904}{6} \approx 150{,}7 \text{ kWh}^2\)
\(\sigma = \sqrt{150{,}7} \approx \mathbf{12{,}3 \text{ kWh}}\)
4. Interprétation :La consommation moyenne est de 137 kWh, avec un écart-type de 12,3 kWh (soit environ 9 % de la moyenne). La dispersion est modérée : la consommation varie entre les mois, probablement selon les saisons. On conseille de vérifier l'isolation du local et le réglage du thermostat pour lisser la consommation.
Voici les temps d'intervention (en minutes) d'un technicien sur 15 dépannages, triés par ordre croissant :
Min = 10 min | Max = 68 min
2. Médiane (n = 15) :La médiane est la valeur de rang \(\dfrac{15+1}{2} = 8\). La 8e valeur est Me = 30 min.
3. Q1 et Q3 :Rang de Q1 = \(\lceil 15/4 \rceil = 4\) → Q1 = valeur au rang 4 de la série triée = 20 min
Rang de Q3 = \(\lceil 45/4 \rceil = 12\) → Q3 = valeur au rang 12 de la série triée = 42 min
4. Les 5 indicateurs :| Min | Q1 | Me | Q3 | Max |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 20 | 30 | 42 | 68 |
Boîte à moustaches :
\(\text{IQR} = 42 - 20 = \mathbf{22 \text{ min}}\)
Seuil haut = \(Q3 + 1{,}5 \times \text{IQR} = 42 + 33 = 75 \text{ min}\)
68 < 75 → la valeur 68 n'est pas formellement aberrante selon la règle des 1,5×IQR, mais elle est nettement plus éloignée du reste du groupe. À surveiller.
Un fabricant de mobilier mesure la longueur (en cm) de 40 tasseaux après découpe. Les résultats sont regroupés :
| Classe (cm) | [58 ; 60[ | [60 ; 62[ | [62 ; 64[ | [64 ; 66[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 5 | 18 | 12 | 5 | 40 |
\(c_1 = \dfrac{58+60}{2} = 59\) ; \(c_2 = \dfrac{60+62}{2} = 61\) ; \(c_3 = \dfrac{62+64}{2} = 63\) ; \(c_4 = \dfrac{64+66}{2} = 65\)
2. Moyenne pondérée :\(\sum n_i c_i = 5 \times 59 + 18 \times 61 + 12 \times 63 + 5 \times 65 = 295 + 1\,098 + 756 + 325 = \mathbf{2\,474}\)
\(\bar{x} = \dfrac{2\,474}{40} = \mathbf{61{,}85}\) cm
3. Classe modale :La classe [60 ; 62[ a le plus grand effectif (18). C'est la classe modale : la majorité des tasseaux mesure entre 60 et 62 cm.
4. Conformité :La moyenne (61,85 cm) est légèrement inférieure à 62 cm. Les tasseaux sont proches de la cible mais tendent à être un peu courts. Un léger ajustement du réglage de la scie est conseillé.
La tension systolique (en mmHg) de 16 patients d'un cabinet médical a été mesurée :
115, 118, 120, 122, 125, 128, 130, 132, 135, 136, 138, 140, 142, 145, 148, 155
2. Médiane (n = 16, pair) :Me = moyenne des rangs 8 et 9 = \(\dfrac{132 + 135}{2} = \mathbf{133{,}5}\) mmHg
3. Q1 et Q3 :Rang de Q1 = \(\lceil 16/4 \rceil = 4\) → Q1 = valeur au rang 4 de la série triée = 122 mmHg
Rang de Q3 = \(\lceil 48/4 \rceil = 12\) → Q3 = valeur au rang 12 de la série triée = 140 mmHg
IQR = 140 − 122 = 18 mmHg
4. Estimation de l'hypertension :L'hypertension correspond ici à une tension strictement supérieure à 140 mmHg (la valeur 140 n'est donc pas comptée). Les patients concernés sont : 142, 145, 148, 155 → 4 patients sur 16, soit 25 %. On retrouve bien l'ordre de grandeur donné par Q3 = 140 mmHg : environ un quart des patients dépasse cette valeur.
Un technicien chauffagiste compare la consommation journalière (en kWh) de deux chaudières sur 20 jours. Voici les indicateurs résumés :
| Indicateur | Chaudière A | Chaudière B |
|---|---|---|
| Minimum | 18 | 25 |
| Q1 | 22 | 30 |
| Médiane | 28 | 35 |
| Q3 | 35 | 38 |
| Maximum | 52 | 42 |
Chaudière A : Étendue = 52 − 18 = 34 kWh | IQR = 35 − 22 = 13 kWh
Chaudière B : Étendue = 42 − 25 = 17 kWh | IQR = 38 − 30 = 8 kWh
2. Consommation :La chaudière A a une médiane de 28 kWh contre 35 kWh pour B. La chaudière A consomme globalement moins.
3. Régularité :La chaudière B a un IQR de 8 kWh (contre 13) et une étendue de 17 kWh (contre 34). La chaudière B est plus régulière.
4. Valeur aberrante :Seuil haut pour A = Q3 + 1,5 × IQR = 35 + 1,5 × 13 = 35 + 19,5 = 54,5 kWh.
52 < 54,5 → la valeur 52 kWh n'est pas aberrante selon cette règle, mais elle est élevée.
Pour une consommation prévisible, la chaudière B est préférable : son IQR est plus faible (8 kWh) et son étendue est moitié moindre. Sa consommation est plus stable jour après jour, même si elle est un peu plus élevée en moyenne.
On relève le nombre de jours de pluie par mois dans une ville sur une année :
| Nb de jours de pluie | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de mois | 1 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 |
\(1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = \mathbf{12}\) mois. ✔
2. Moyenne pondérée :\(\sum n_i x_i = 1 \times 3 + 2 \times 5 + 3 \times 7 + 3 \times 9 + 2 \times 11 + 1 \times 13 = 3 + 10 + 21 + 27 + 22 + 13 = \mathbf{96}\)
\(\bar{x} = \dfrac{96}{12} = \mathbf{8}\) jours de pluie par mois.
3. Série ordonnée et médiane :3 ; 5 ; 5 ; 7 ; 7 ; 7 ; 9 ; 9 ; 9 ; 11 ; 11 ; 13
n = 12 (pair) → Me = moyenne des rangs 6 et 7 = \(\dfrac{7 + 9}{2} = \mathbf{8}\) jours.
4. Q1 et Q3 :Rang de Q1 = \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → Q1 = valeur au rang 3 de la série triée = 5 jours.
Rang de Q3 = \(\lceil 36/4 \rceil = 9\) → Q3 = valeur au rang 9 de la série triée = 9 jours.
IQR = 9 − 5 = 4 jours.
5. Interprétation :L'IQR de 4 jours est modéré par rapport à la moyenne de 8 jours. Les précipitations sont relativement régulières au fil de l'année : 50 % des mois comptent entre 5 et 9 jours de pluie.
Deux menuisiers assemblent des meubles. Voici les temps de montage (en minutes) de 5 meubles chacun :
| Meuble 1 | Meuble 2 | Meuble 3 | Meuble 4 | Meuble 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Menuisier P | 45 | 48 | 50 | 47 | 50 |
| Menuisier Q | 35 | 60 | 42 | 55 | 48 |
Menuisier P : \(\bar{x}_P = \dfrac{45+48+50+47+50}{5} = \dfrac{240}{5} = \mathbf{48}\) min
Menuisier Q : \(\bar{x}_Q = \dfrac{35+60+42+55+48}{5} = \dfrac{240}{5} = \mathbf{48}\) min
2. Écarts-types :Menuisier P :
Écarts : (−3)² + (0)² + (2)² + (−1)² + (2)² = 9 + 0 + 4 + 1 + 4 = 18
\(\sigma_P = \sqrt{\dfrac{18}{5}} = \sqrt{3{,}6} \approx \mathbf{1{,}9}\) min
Menuisier Q :
Écarts : (−13)² + (12)² + (−6)² + (7)² + (0)² = 169 + 144 + 36 + 49 + 0 = 398
\(\sigma_Q = \sqrt{\dfrac{398}{5}} = \sqrt{79{,}6} \approx \mathbf{8{,}9}\) min
Les deux menuisiers ont exactement la même moyenne (48 min), mais le menuisier P a un écart-type de 1,9 min contre 8,9 min pour Q. Le menuisier P est beaucoup plus régulier.
4. Conseil :Pour un client exigeant un délai garanti, il faut envoyer le menuisier P : ses temps de montage sont très prévisibles (entre 45 et 50 min), alors que le menuisier Q peut prendre de 35 à 60 min, ce qui rend le planning incertain.
Un technicien CVC mesure le débit d'air (en m³/h) aux 13 bouches d'extraction d'un immeuble de bureaux. Voici les relevés, dans l'ordre des bouches :
132 ; 138 ; 142 ; 145 ; 148 ; 150 ; 155 ; 158 ; 160 ; 162 ; 165 ; 170 ; 175
2. Minimum, maximum, étendue :Min = 132 m³/h | Max = 175 m³/h → Étendue = 175 − 132 = 43 m³/h
3. Médiane (N = 13, impair) :La médiane est la valeur de rang \(\dfrac{13+1}{2} = 7\). La 7e valeur est Me = 155 m³/h.
4. Quartiles et IQR :Rang de \(Q_1 = \lceil 13/4 \rceil = \lceil 3{,}25 \rceil = 4\) → \(Q_1\) = valeur au rang 4 = 145 m³/h
Rang de \(Q_3 = \lceil 39/4 \rceil = \lceil 9{,}75 \rceil = 10\) → \(Q_3\) = valeur au rang 10 = 162 m³/h
IQR = 162 − 145 = 17 m³/h : 50 % des bouches débitent entre 145 et 162 m³/h.
Pour information : la somme des 13 débits vaut 2 000, donc \(\bar{x} = \dfrac{2\,000}{13} \approx 153{,}8\) m³/h — très proche de la médiane, signe d'une série peu déformée par des valeurs extrêmes.
5. Boîte à moustaches :Les bouches non conformes sont celles dont le débit est inférieur à 140 m³/h : 132 et 138, soit 2 bouches sur 13.
\(\dfrac{2}{13} \approx 0{,}154\) → environ 15,4 % des bouches sont à régler.
Un conducteur de travaux a relevé le délai de livraison (en jours) des 60 dernières commandes de matériaux. Le diagramme en boîte ci-dessous résume cette série : aucune valeur n'est écrite, il faut les lire sur l'axe gradué.
Min = 4 jours ; \(Q_1\) = 10 jours ; Me = 14 jours ; \(Q_3\) = 20 jours ; Max = 28 jours.
2. Étendue et IQR :Étendue = 28 − 4 = 24 jours | IQR = 20 − 10 = 10 jours
3. Proportions :\(Q_1\) = 10 jours → au moins 25 % des commandes arrivent en 10 jours au plus (attention : le quartile se lit avec « au plus », pas « moins de »).
\(Q_3\) = 20 jours → au moins 75 % des commandes arrivent en 20 jours au plus, donc environ 25 % mettent plus de 20 jours.
Entre \(Q_1\) et \(Q_3\) → environ 50 % des commandes arrivent entre 10 et 20 jours.
4. Nombre de commandes :25 % de 60 = \(0{,}25 \times 60 = \mathbf{15}\) commandes environ ont mis plus de 20 jours.
5. Délai à annoncer :Annoncer 15 jours est risqué. La médiane vaut 14 jours : la moitié seulement des commandes arrive en 14 jours au plus, donc à peine plus de la moitié tient le délai de 15 jours. Surtout, \(Q_3\) = 20 jours signifie qu'un quart des commandes dépasse 20 jours, soit 5 jours de retard sur l'annonce.
Pour être fiable dans environ 3 cas sur 4, il vaut mieux annoncer un délai proche de \(Q_3\), c'est-à-dire 20 jours, quitte à livrer en avance.
Deux opérateurs d'un cabinet de géomètre mesurent chacun 6 fois la même distance entre deux bornes, au télémètre laser. La distance de référence est 24,000 m.
| Mesure 1 | Mesure 2 | Mesure 3 | Mesure 4 | Mesure 5 | Mesure 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Opérateur 1 | 23,996 | 24,002 | 23,999 | 24,001 | 24,000 | 24,002 |
| Opérateur 2 | 23,990 | 24,008 | 23,995 | 24,005 | 24,000 | 24,002 |
Opérateur 1 : somme = 23,996 + 24,002 + 23,999 + 24,001 + 24,000 + 24,002 = 144,000 → \(\bar{x}_1 = \dfrac{144{,}000}{6} = \mathbf{24{,}000}\) m
Opérateur 2 : somme = 23,990 + 24,008 + 23,995 + 24,005 + 24,000 + 24,002 = 144,000 → \(\bar{x}_2 = \dfrac{144{,}000}{6} = \mathbf{24{,}000}\) m
2. Étendues :Opérateur 1 : 24,002 − 23,996 = 0,006 m = 6 mm
Opérateur 2 : 24,008 − 23,990 = 0,018 m = 18 mm
3. Écarts-types :Opérateur 1 — écarts à la moyenne (en mm) : −4 ; +2 ; −1 ; +1 ; 0 ; +2 (leur somme vaut bien 0).
Carrés : 16 + 4 + 1 + 1 + 0 + 4 = 26
\(\sigma_1 = \sqrt{\dfrac{26}{6}} = \sqrt{4{,}33} \approx \mathbf{2{,}1}\) mm
Opérateur 2 — écarts à la moyenne (en mm) : −10 ; +8 ; −5 ; +5 ; 0 ; +2.
Carrés : 100 + 64 + 25 + 25 + 0 + 4 = 218
\(\sigma_2 = \sqrt{\dfrac{218}{6}} = \sqrt{36{,}33} \approx \mathbf{6{,}0}\) mm
Les deux opérateurs ont exactement la même moyenne (24,000 m), égale à la distance de référence : en moyenne, aucun des deux ne se trompe. Mais l'opérateur 1 a un écart-type de 2,1 mm contre 6,0 mm pour l'opérateur 2 (et une étendue trois fois plus petite). L'opérateur 1 est nettement plus fidèle : ses mesures se répètent presque à l'identique.
5. Cahier des charges :Opérateur 1 — écarts à la référence : 4 ; 2 ; 1 ; 1 ; 0 ; 2 mm. Le plus grand vaut 4 mm, donc toutes les mesures s'écartent de moins de 5 mm. Exigence respectée.
Opérateur 2 — écarts à la référence : 10 ; 8 ; 5 ; 5 ; 0 ; 2 mm. Quatre mesures ne conviennent pas :
Attention : l'exigence est une inégalité stricte (« moins de 5 mm »), donc une mesure pile à 5 mm ne convient pas non plus. Seules 2 mesures sur 6 sont acceptables. Exigence non respectée : cet opérateur doit revoir sa méthode (calage du trépied, visée de la cible).
Remarque de métier : un télémètre laser est précis à environ ± 1,5 mm. Les écarts observés ici ne viennent donc pas de l'appareil mais de l'opérateur (visée, calage, point de mesure) — c'est bien sa fidélité que l'on mesure.
Un installateur de pompes à chaleur a établi 9 devis ce mois-ci. Les montants (en euros) sont déjà triés :
Somme = 4 200 + 4 500 + 4 800 + 5 000 + 5 200 + 5 400 + 5 600 + 5 900 + 38 000 = 78 600 €
\(\bar{x} = \dfrac{78\,600}{9} \approx \mathbf{8\,733\ \text{€}}\)
2. Médiane (N = 9, impair) :Rang de la médiane = \(\dfrac{9+1}{2} = 5\) → Me = 5e valeur = 5 200 €
3. Quartiles, IQR et étendue :Rang de \(Q_1 = \lceil 9/4 \rceil = 3\) → \(Q_1\) = 4 800 €
Rang de \(Q_3 = \lceil 27/4 \rceil = 7\) → \(Q_3\) = 5 600 €
IQR = 5 600 − 4 800 = 800 € | Étendue = 38 000 − 4 200 = 33 800 €
4. Sans le devis à 38 000 € :Somme = 78 600 − 38 000 = 40 600 pour 8 devis → \(\bar{x}' = \dfrac{40\,600}{8} = \mathbf{5\,075\ \text{€}}\)
N = 8 (pair) → Me′ = moyenne des rangs 4 et 5 = \(\dfrac{5\,000 + 5\,200}{2} = \mathbf{5\,100\ \text{€}}\)
5. Quel indicateur afficher ?L'installateur doit afficher la médiane, soit environ 5 200 €. En retirant le seul devis atypique, la moyenne chute de 8 733 € à 5 075 € (plus de 3 600 € d'écart) alors que la médiane bouge à peine (5 200 € → 5 100 €).
La moyenne est donc tirée vers le haut par une seule valeur qui ne correspond pas à une maison individuelle : elle donnerait au client une idée fausse du prix. La médiane, insensible aux valeurs extrêmes, décrit bien le devis « du milieu ». L'IQR (800 €) permet en plus d'annoncer une fourchette honnête : la moitié des devis se situe entre 4 800 € et 5 600 €.
Dans le cadre d'un projet santé, 60 élèves de seconde ont noté la durée de leur nuit de sommeil un soir de semaine. Les réponses ont été regroupées par classes d'une heure.
| Durée de sommeil (h) | [5 ; 6[ | [6 ; 7[ | [7 ; 8[ | [8 ; 9[ | [9 ; 10[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'élèves \(n_i\) | 4 | 14 | 22 | 16 | 4 | 60 |
Repère de santé publique : à cet âge, une nuit de 8 à 10 heures est recommandée.
\(4 + 14 + 22 + 16 + 4 = \mathbf{60}\) élèves ✓
Le centre d'une classe \([a\,;\,b[\) est \(c_i = \dfrac{a+b}{2}\) :
| Classe | [5 ; 6[ | [6 ; 7[ | [7 ; 8[ | [8 ; 9[ | [9 ; 10[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Centre \(c_i\) | 5,5 | 6,5 | 7,5 | 8,5 | 9,5 |
| \(n_i \times c_i\) | 22 | 91 | 165 | 136 | 38 |
\(\bar{x} = \dfrac{\sum n_i \times c_i}{N} = \dfrac{22 + 91 + 165 + 136 + 38}{60} = \dfrac{452}{60} \approx \mathbf{7{,}5\,\text{h}}\)
Valeur exacte : \(\dfrac{452}{60}\,\text{h} = 7{,}5333\ldots\,\text{h}\). Partie décimale en minutes : \(0{,}5333\ldots \times 60 = 32\) min.
La durée moyenne est donc de \(\mathbf{7\,\text{h}\,32\,\text{min}}\).
3. Classe modale :C'est la classe de plus grand effectif : \([7\,;\,8[\) avec 22 élèves.
Concrètement : le créneau de sommeil le plus fréquent est « entre 7 h et 8 h », il concerne 22 élèves sur 60. Attention : les données étant regroupées, on ne peut pas donner un mode (une valeur), seulement une classe modale.
4. Élèves dormant moins de 8 heures :Ce sont exactement les trois premières classes (elles s'arrêtent à 8 h) : \(4 + 14 + 22 = 40\) élèves.
\(\dfrac{40}{60} \times 100 \approx \mathbf{66{,}7\,\%}\) — soit environ deux élèves sur trois. À l'inverse, \(\dfrac{20}{60} \times 100 \approx 33{,}3\,\%\) atteignent 8 h ou plus.
5. Ce que le regroupement fait perdre :Non. On sait seulement que l'élève qui dort le moins se situe dans la classe \([5\,;\,6[\) : sa durée est comprise entre 5 h et 6 h, sans plus de précision.
Le regroupement par classes remplace chaque valeur par la classe qui la contient : on gagne en lisibilité, mais on perd les valeurs individuelles. C'est aussi pourquoi la moyenne calculée avec les centres est une valeur approchée : on fait comme si les 4 élèves de \([5\,;\,6[\) dormaient tous exactement 5 h 30.
6. Bilan rédigé (proposition) :La durée moyenne de sommeil de la classe est de 7 h 32, et le créneau le plus fréquent est \([7\,;\,8[\) : la classe dort donc en moyenne moins que les 8 à 10 heures recommandées à cet âge. Environ 66,7 % des élèves, soit deux sur trois, dorment moins de 8 heures ; seuls 4 élèves sur 60 atteignent le créneau \([9\,;\,10[\). Le déficit reste modéré (une trentaine de minutes en moyenne sous le repère bas), mais il concerne la majorité de la classe.
Lors d'une séance du club de natation, l'entraîneur chronomètre les 12 nageurs du groupe sur un 50 m nage libre. Voici les temps relevés, en secondes, dans l'ordre des couloirs (la série n'est pas triée) :
| Couloir | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Temps (s) | 32,8 | 29,4 | 35,1 | 31,2 | 28,6 | 33,5 | 30,7 | 36,4 | 31,9 | 34,2 | 29,8 | 33,0 |
28,6 · 29,4 · 29,8 · 30,7 · 31,2 · 31,9 · 32,8 · 33,0 · 33,5 · 34,2 · 35,1 · 36,4
2. Minimum, maximum, étendue :Min = 28,6 s, Max = 36,4 s.
Étendue \(= 36{,}4 - 28{,}6 = \mathbf{7{,}8\ \text{s}}\)
3. Temps moyen :Somme des 12 temps : \(28{,}6 + 29{,}4 + 29{,}8 + 30{,}7 + 31{,}2 + 31{,}9 + 32{,}8 + 33{,}0 + 33{,}5 + 34{,}2 + 35{,}1 + 36{,}4 = 386{,}6\) s.
\(\bar{x} = \dfrac{386{,}6}{12} \approx \mathbf{32{,}2\ \text{s}}\)
4. Médiane et quartiles :\(N = 12\) est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang 6 et de rang 7, c'est-à-dire 31,9 et 32,8.
\(Me = \dfrac{31{,}9 + 32{,}8}{2} = \mathbf{32{,}35\ \text{s}}\)
Rang de \(Q_1\) : \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → \(Q_1 =\) 3e valeur \(= \mathbf{29{,}8\ \text{s}}\)
Rang de \(Q_3\) : \(\lceil 36/4 \rceil = 9\) → \(Q_3 =\) 9e valeur \(= \mathbf{33{,}5\ \text{s}}\)
IQR \(= Q_3 - Q_1 = 33{,}5 - 29{,}8 = \mathbf{3{,}7\ \text{s}}\) : la moitié centrale du groupe tient dans 3,7 s.
5. Les nageurs sélectionnés :Temps inférieurs ou égaux à \(Q_1 = 29{,}8\) s : 28,6 s · 29,4 s · 29,8 s, soit 3 nageurs.
\(\dfrac{3}{12} \times 100 = \mathbf{25\ \%}\) du groupe — ce qui est cohérent : par construction, au moins un quart de la série est inférieur ou égal à \(Q_1\). Le nageur à 29,8 s, qui vaut exactement \(Q_1\), fait donc partie du premier quart : un quartile se lit avec « au plus », pas avec « moins de ».
6. Boîte à moustaches :\(32{,}35 \lt 33{,}0 \leqslant 33{,}5\) : son temps est compris entre la médiane et \(Q_3\). Il se situe donc dans le troisième quart de la série.
Autrement dit : il est plus lent que la moitié du groupe, mais il fait partie des 75 % les plus rapides.
8. Moyenne et médiane très proches :\(\bar{x} \approx 32{,}2\) s et \(Me = 32{,}35\) s : l'écart est de 0,15 s seulement.
Cela indique une série bien équilibrée, sans valeur extrême qui tirerait la moyenne d'un côté. Les temps se répartissent régulièrement autour du centre — c'est confirmé par la boîte à moustaches, dont les deux moustaches ont des longueurs comparables.
Avant de partir relever un pavillon pour en construire la maquette numérique, un technicien d'études contrôle son matériel. Dans la cour de l'entreprise, deux repères scellés dans le sol délimitent une base de contrôle dont la longueur exacte est connue : 20,000 m (elle a été déterminée par le géomètre-expert du cabinet).
Le technicien mesure six fois cette base, d'abord au ruban de 30 m, puis au télémètre laser.
| Mesure n° | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ruban (m) | 19,994 | 20,005 | 19,997 | 20,004 | 20,002 | 19,998 |
| Télémètre laser (m) | 19,883 | 19,886 | 19,884 | 19,885 | 19,886 | 19,886 |
Cas 1 — impacts dispersés, mais centrés sur la cible :
peu fidèle, mais juste
Cas 2 — impacts groupés, mais tous décalés :
fidèle, mais faux
Le centre de la cible représente la longueur vraie ; chaque impact représente une mesure.
| Fidèle ? (écart-type petit) | Juste ? (moyenne proche de 20,000 m) | |
|---|---|---|
| Ruban | …… | …… |
| Télémètre laser | …… | …… |
Ruban : \(\bar{x}_{\text{R}} = \dfrac{120{,}000}{6} = \mathbf{20{,}000}\) m
Télémètre : \(\bar{x}_{\text{T}} = \dfrac{119{,}310}{6} = \mathbf{19{,}885}\) m
2. Écarts à la longueur connue (20,000 m) :Ruban : 20,000 − 20,000 = 0 m, soit un écart de 0 mm.
Télémètre : 19,885 − 20,000 = −0,115 m, soit un écart de −115 mm (11,5 cm trop court).
3. Écarts-types :Ruban — écarts à 20,000, en mm : −6 ; +5 ; −3 ; +4 ; +2 ; −2 (leur somme vaut bien 0).
Carrés : 36 + 25 + 9 + 16 + 4 + 4 = 94
\(\sigma_{\text{R}} = \sqrt{\dfrac{94}{6}} = \sqrt{15{,}67} \approx \mathbf{4{,}0}\) mm
Télémètre — écarts à 19,885, en mm : −2 ; +1 ; −1 ; 0 ; +1 ; +1 (somme nulle également).
Carrés : 4 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 8
\(\sigma_{\text{T}} = \sqrt{\dfrac{8}{6}} = \sqrt{1{,}33} \approx \mathbf{1{,}2}\) mm
Attention : les écarts se calculent par rapport à la moyenne de l'instrument, pas par rapport à 20,000 m. L'écart-type ne dit rien de la justesse, c'est la question 2 qui s'en charge.
4. Tableau :| Fidèle ? | Juste ? | Cas de la figure | |
|---|---|---|---|
| Ruban | Non (σ = 4,0 mm) | Oui (écart 0 mm) | Cas 1 |
| Télémètre laser | Oui (σ = 1,2 mm) | Non (écart 115 mm) | Cas 2 |
Les deux qualités sont bien indépendantes : le meilleur des deux sur la fidélité est le pire des deux sur la justesse.
5. Réponse au stagiaire :« Non, cela ne prouve rien sur la longueur. Six mesures presque identiques montrent seulement que le télémètre est fidèle : il se répète bien. Mais sa moyenne est à 115 mm de la longueur connue de la base, alors que celle du ruban tombe exactement dessus : c'est le télémètre qui est faux. Un défaut de réglage décale toutes les mesures du même côté sans les disperser — la fidélité reste excellente pendant que la valeur est fausse. Un instrument fidèle se trompe simplement de façon très régulière. »
6. Que faire de cet appareil :a. Le technicien ne doit surtout pas l'emporter tel quel : il doit le faire régler (ou le régler lui-même), puis refaire le contrôle sur la base pour vérifier que la moyenne retombe bien sur 20,000 m. Tant que ce n'est pas fait, il relève au ruban.
b. Une fois réglé, c'est le télémètre laser, et de loin : son écart-type de 1,2 mm est plus de trois fois plus petit que celui du ruban (4,0 mm).
C'est la leçon de fond : un décalage systématique se corrige (on règle l'appareil, ou on retranche le décalage), alors qu'une dispersion ne se corrige pas — elle ne peut que se réduire en soignant le geste, ou en changeant d'instrument. Un appareil fidèle mais déréglé vaut donc mieux qu'un appareil juste mais dispersé… à condition de s'en apercevoir, et c'est exactement à cela que sert la base de contrôle.
Remarque de métier : un décalage de 115 mm correspond à la longueur du boîtier d'un télémètre laser. La cause la plus fréquente est le point de référence de la mesure : l'appareil était réglé pour compter à partir de sa face avant, alors que le technicien l'appuyait par l'arrière contre le repère. Toutes les mesures sont alors trop courtes de la longueur du boîtier. Cela se corrige en une touche — encore faut-il l'avoir détecté. Sans le contrôle sur la base, les 11,5 cm d'erreur seraient partis directement dans la maquette numérique, donc dans les quantités et dans le devis.
Deux athlètes du club, Léa et Amel, préparent le championnat départemental de saut en longueur. À l'entraînement, l'entraîneur mesure les six sauts de chacune, dans l'ordre où ils ont été réalisés.
| Essai n° | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Léa (m) | 4,72 | 4,80 | 4,76 | 4,78 | 4,74 | 4,76 |
| Amel (m) | 4,60 | 4,92 | 4,70 | 4,88 | 4,64 | 4,82 |
Léa : \(\bar{x}_{\text{L}} = \dfrac{28{,}56}{6} = \mathbf{4{,}76}\) m
Amel : \(\bar{x}_{\text{A}} = \dfrac{28{,}56}{6} = \mathbf{4{,}76}\) m
Les deux athlètes ont exactement la même moyenne. La moyenne, à elle seule, ne permet donc pas de les départager.
2. Étendues :Léa : 4,80 − 4,72 = 0,08 m = 8 cm
Amel : 4,92 − 4,60 = 0,32 m = 32 cm
L'étendue d'Amel est quatre fois plus grande.
3. Écarts-types :Léa — écarts à la moyenne 4,76 m, en cm : −4 ; +4 ; 0 ; +2 ; −2 ; 0 (leur somme vaut bien 0).
Carrés : 16 + 16 + 0 + 4 + 4 + 0 = 40
Variance = \(\dfrac{40}{6} \approx 6{,}67\) cm² → \(\sigma_{\text{L}} = \sqrt{6{,}67} \approx \mathbf{2{,}6}\) cm
Amel — écarts à la moyenne 4,76 m, en cm : −16 ; +16 ; −6 ; +12 ; −12 ; +6 (somme nulle également).
Carrés : 256 + 256 + 36 + 144 + 144 + 36 = 872
Variance = \(\dfrac{872}{6} \approx 145{,}3\) cm² → \(\sigma_{\text{A}} = \sqrt{145{,}3} \approx \mathbf{12{,}1}\) cm
Léa : 4,72 · 4,74 · 4,76 · 4,76 · 4,78 · 4,80 | Amel : 4,60 · 4,64 · 4,70 · 4,82 · 4,88 · 4,92
\(N = 6\) est pair : Me = moyenne des valeurs de rang 3 et de rang 4.
Léa : \(Me = \dfrac{4{,}76 + 4{,}76}{2} = \mathbf{4{,}76}\) m | Amel : \(Me = \dfrac{4{,}70 + 4{,}82}{2} = \mathbf{4{,}76}\) m
Rang de \(Q_1\) : \(\lceil 6/4 \rceil = 2\) → Léa : \(Q_1 = 4{,}74\) m ; Amel : \(Q_1 = 4{,}64\) m
Rang de \(Q_3\) : \(\lceil 18/4 \rceil = 5\) → Léa : \(Q_3 = 4{,}78\) m ; Amel : \(Q_3 = 4{,}88\) m
Écarts interquartiles : Léa 4 cm ; Amel 24 cm.
Les deux boîtes sont centrées au même endroit : même moyenne, même médiane. Ce qui les distingue saute aux yeux : la boîte de Léa est étroite, celle d'Amel s'étale de part et d'autre.
5. La plus régulière :C'est Léa, et deux indicateurs le montrent :
Léa saute presque toujours la même longueur ; Amel alterne les sauts courts et les sauts longs.
6. Se qualifier au meilleur saut :a. C'est Amel. Ses sauts atteignant 4,85 m sont 4,92 m et 4,88 m, soit 2 sauts sur 6. Léa, elle, n'atteint jamais 4,85 m : son meilleur saut vaut 4,80 m, c'est-à-dire 5 cm de moins que la limite.
b. Non, il n'y a aucune contradiction : les deux questions ne portent pas sur la même chose. La question 5 compare la régularité, c'est-à-dire la dispersion autour de la moyenne. La question 6 dépend d'une règle de la compétition : puisque seul le meilleur essai compte, c'est le maximum de la série qui décide, et lui seul. Or être régulier, c'est justement ne pas avoir de saut exceptionnel. Amel se qualifie parce qu'elle est irrégulière vers le haut — mais rien ne garantit que le bon saut tombera le jour du championnat.
Conseil d'entraîneur : à Léa, il manque 5 cm — elle est si régulière que si elle les gagne, elle passera la limite à tous les coups. À Amel, il ne manque rien en performance : c'est sa régularité qu'il faut travailler, pour ne plus dépendre du hasard.
7. Réponse à Amel :« Nous avons la même moyenne, ce n'est pas la même chose que sauter pareil. Une moyenne dit seulement autour de quelle valeur se répartissent les sauts, jamais à quel point ils s'en écartent. Tes sauts vont de 4,60 m à 4,92 m, les miens de 4,72 m à 4,80 m : ton écart-type est de 12,1 cm, le mien de 2,6 cm. Tu sautes plus loin que moi et plus court que moi ; en moyenne, cela se compense — mais nous ne sautons pas du tout de la même façon. »
Un technicien a réalisé 10 interventions. Le service lui communique :
On lui dit qu'une valeur aberrante (une intervention exceptionnellement longue) fausse la moyenne. Les 9 autres valeurs sont :
\(\bar{x} = 35 \text{ et } n = 10 \Rightarrow \sum x_i = 35 \times 10 = \mathbf{350 \text{ min}}\)
2. Somme des 9 valeurs connues :\(20 + 25 + 28 + 30 + 28 + 32 + 35 + 27 + 26 = \mathbf{251 \text{ min}}\)
3. Valeur manquante :\(x_{10} = 350 - 251 = \mathbf{99 \text{ min}}\)
La 10e intervention a duré 99 minutes (soit près d'1h40).
Oui : la valeur 99 min est très éloignée des autres (qui sont toutes entre 20 et 35 min). Elle « tire » la moyenne vers le haut (35 min) alors que la médiane, insensible aux extrêmes, reste à 28 min. C'est un cas typique où la médiane est plus représentative que la moyenne.
5. Moyenne sans la valeur aberrante :\(\bar{x}_{\text{sans}} = \dfrac{251}{9} \approx \mathbf{27{,}9 \text{ min}}\)
Cette valeur (~28 min) est cohérente avec la médiane et donne une image bien plus réaliste du rythme habituel de travail du technicien.
Un gestionnaire de bâtiment dispose des relevés de consommation d'énergie (en kWh) sur 12 mois :
| Mois | Jan | Fév | Mar | Avr | Mai | Jun | Jul | Aoû | Sep | Oct | Nov | Déc |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Conso. (kWh) | 820 | 790 | 650 | 520 | 410 | 380 | 350 | 360 | 430 | 590 | 710 | 980 |
\(\bar{x} = \dfrac{820+790+650+520+410+380+350+360+430+590+710+980}{12} = \dfrac{6990}{12} = \mathbf{582{,}5 \text{ kWh}}\)
2. Série triée et indicateurs de position :350, 360, 380, 410, 430, 520, 590, 650, 710, 790, 820, 980
Médiane (n=12) : moyenne des rangs 6 et 7 = \(\dfrac{520+590}{2} = \mathbf{555 \text{ kWh}}\)
Rang de Q1 = \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → Q1 = valeur au rang 3 de la série triée = 380 kWh
Rang de Q3 = \(\lceil 36/4 \rceil = 9\) → Q3 = valeur au rang 9 de la série triée = 710 kWh
3. Étendue et IQR :Étendue = 980 − 350 = 630 kWh
IQR = Q3 − Q1 = 710 − 380 = 330 kWh
4. Écart-type (calcul complet) :| Mois | xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |
|---|---|---|---|
| Jan | 820 | +237,5 | 56 406 |
| Fév | 790 | +207,5 | 43 056 |
| Mar | 650 | +67,5 | 4 556 |
| Avr | 520 | −62,5 | 3 906 |
| Mai | 410 | −172,5 | 29 756 |
| Jun | 380 | −202,5 | 41 006 |
| Jul | 350 | −232,5 | 54 056 |
| Aoû | 360 | −222,5 | 49 506 |
| Sep | 430 | −152,5 | 23 256 |
| Oct | 590 | +7,5 | 56 |
| Nov | 710 | +127,5 | 16 256 |
| Déc | 980 | +397,5 | 158 006 |
| Σ | 6990 | 0 | 479 822 |
\(\sigma^2 = \dfrac{479\,822}{12} \approx 39\,985\) → \(\sigma = \sqrt{39\,985} \approx \mathbf{200 \text{ kWh}}\)
5. Détection des mois anormaux :Seuil bas = \(Q1 - 1{,}5 \times \text{IQR} = 380 - 1{,}5 \times 330 = 380 - 495 = -115 \text{ kWh}\)
→ Pas de mois anormalement bas (toutes les consommations sont positives).
Seuil haut = \(Q3 + 1{,}5 \times \text{IQR} = 710 + 495 = \mathbf{1\,205 \text{ kWh}}\)
→ Aucune valeur ne dépasse 1 205 kWh. Pas de mois formellement aberrant selon cette règle.
Cependant, Décembre (980 kWh) est la valeur la plus éloignée de la médiane (+ 425 kWh) et nettement au-dessus de Q3. À surveiller.
6. Interprétation technique :La consommation suit une logique saisonnière nette : basse en été (350–430 kWh en juillet–août), haute en hiver (820–980 kWh en janvier et décembre). L'écart-type de ~200 kWh confirme une forte variabilité annuelle.
Actions préventives conseillées :
Un métreur compare la précision de deux scies numériques (A et B). Il mesure l'écart (en mm) entre la longueur coupée et la longueur programmée pour 15 pièces sur chaque machine. Les résultats triés sont :
| Machine A | −1,2 | −0,8 | −0,5 | −0,3 | −0,1 | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,5 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | 1,3 | 1,8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Machine B | −0,4 | −0,3 | −0,2 | −0,1 | 0,0 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 2,5 |
| Min | Q1 | Me | Q3 | Max | |
|---|---|---|---|---|---|
| Machine A | −1,2 | −0,3 | 0,2 | 0,8 | 1,8 |
| Machine B | −0,4 | −0,1 | 0,2 | 0,4 | 2,5 |
Détail : Rang de Q1 = \(\lceil 15/4 \rceil = 4\) → Q1 = 4e valeur de la série triée. Rang de Q3 = \(\lceil 45/4 \rceil = 12\) → Q3 = 12e valeur de la série triée.
2. IQR :IQR(A) = 0,8 − (−0,3) = 1,1 mm | IQR(B) = 0,4 − (−0,1) = 0,5 mm
3. Moyennes :Machine A : \(\bar{x}_A = \dfrac{-1{,}2-0{,}8-0{,}5-0{,}3-0{,}1+0+0{,}1+0{,}2+0{,}3+0{,}5+0{,}6+0{,}8+1{,}0+1{,}3+1{,}8}{15} = \dfrac{3{,}7}{15} \approx \mathbf{0{,}25}\) mm
Machine B : \(\bar{x}_B = \dfrac{-0{,}4-0{,}3-0{,}2-0{,}1+0+0{,}1+0{,}1+0{,}2+0{,}2+0{,}3+0{,}3+0{,}4+0{,}5+0{,}6+2{,}5}{15} = \dfrac{4{,}2}{15} \approx \mathbf{0{,}28}\) mm
Les deux moyennes sont proches de 0, mais la machine A (0,25 mm) est légèrement plus centrée.
4. Valeur aberrante pour B :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 0,4 + 1,5 × 0,5 = 0,4 + 0,75 = 1,15 mm.
2,5 > 1,15 → Oui, 2,5 mm est une valeur aberrante. Cette pièce a un défaut de découpe anormal.
La boîte de B est beaucoup plus étroite (IQR = 0,5 mm) que celle de A (IQR = 1,1 mm), mais la moustache droite de B est très longue : elle s'étire jusqu'à la valeur aberrante 2,5 mm.
6. Rapport :La machine B est recommandée pour les découpes de précision. En dehors de la valeur aberrante (2,5 mm, probablement un incident ponctuel), ses écarts sont concentrés dans un intervalle de seulement 0,5 mm (IQR), contre 1,1 mm pour la machine A. La machine B offre donc une meilleure reproductibilité. Il convient cependant d'identifier la cause du défaut à 2,5 mm pour l'éliminer.
Un artisan menuisier mesure le temps de séchage (en heures) de 15 panneaux en bois massif après vernissage. Les données triées sont :
Somme = 3,5+4,0+4,2+4,5+4,8+5,0+5,2+5,5+5,8+6,0+6,2+6,5+7,0+8,5+12,0 = 88,7
\(\bar{x} = \dfrac{88{,}7}{15} \approx \mathbf{5{,}91}\) h
2. Indicateurs de position (n = 15) :Mediane = 8e valeur = 5,5 h
Q1 (rang \(\lceil 15/4 \rceil = 4\)) = 4,5 h | Q3 (rang \(\lceil 45/4 \rceil = 12\)) = 6,5 h
3. IQR et etendue :IQR = 6,5 - 4,5 = 2 h | Etendue = 12,0 - 3,5 = 8,5 h
4. Comparaison moyenne/mediane :La moyenne (5,91 h) est légèrement supérieure à la médiane (5,5 h). Les valeurs élevées (8,5 h et 12 h) tirent la moyenne vers le haut.
5. Valeurs aberrantes :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 6,5 + 3 = 9,5 h. Seuil bas = Q1 - 1,5 × IQR = 4,5 - 3 = 1,5 h.
12,0 h > 9,5 h → valeur aberrante. 8,5 h < 9,5 h → pas aberrante mais elevee.
Convention utilisée ici : les moustaches vont du minimum au maximum de la série. La valeur 12 h, repérée comme aberrante à la question 5, est donc bien le bout de la moustache droite — c'est sa longueur inhabituelle qui la signale.
6. Moyenne corrigee :Sans 12,0 : somme = 76,7 pour 14 valeurs → \(\bar{x}_{\text{corr}} = \dfrac{76{,}7}{14} \approx \mathbf{5{,}48}\) h
La mediane (5,5 h) reste le meilleur indicateur : insensible aux extremes, elle represente le temps de sechage typique. Le panneau a 12 h a probablement ete verni dans des conditions particulieres (humidite, temperature basse).
Un artisan menuisier commande des planches de longueur nominale 2 500 mm aupres de deux fournisseurs. Il mesure 20 planches de chaque lot. Voici les indicateurs resumes, en millimetres :
| Indicateur (mm) | Fournisseur X | Fournisseur Y |
|---|---|---|
| Minimum | 2 496 | 2 498 |
| Q1 | 2 498 | 2 499 |
| Mediane | 2 500 | 2 501 |
| Q3 | 2 503 | 2 502 |
| Maximum | 2 508 | 2 504 |
| Moyenne | 2 500,8 | 2 500,6 |
X : IQR = 2 503 - 2 498 = 5 mm | Etendue = 2 508 - 2 496 = 12 mm
Y : IQR = 2 502 - 2 499 = 3 mm | Etendue = 2 504 - 2 498 = 6 mm
2. Regularite :Le fournisseur Y est nettement plus regulier : IQR de 3 mm (contre 5) et etendue de 6 mm (contre 12).
3. Planches hors tolerance [2 497 ; 2 503] :Fournisseur X : Min = 2 496 < 2 497 et Max = 2 508 > 2 503. De plus, Q3 = 2 503 : environ 25 % des planches mesurent 2 503 mm ou plus, donc juste a la limite de la tolerance ou au-dela. X a plus de risques de livrer des planches hors tolerance.
Fournisseur Y : Min = 2 498 ≥ 2 497 et Max = 2 504 > 2 503. Seules quelques planches (au-dela de Q3 = 2 502) depassent 2 503 mm.
4. Valeur aberrante (X) :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 2 503 + 7,5 = 2 510,5 mm. 2 508 < 2 510,5 → pas formellement aberrante, mais tres eloignee.
5. Avis :Le fournisseur Y est recommande. Ses planches sont plus regulieres (IQR = 3 mm contre 5 mm pour X), avec une etendue deux fois plus faible (6 mm contre 12 mm). Bien que sa mediane soit legerement au-dessus de la cible (2 501 contre 2 500 mm), la quasi-totalite de ses planches reste dans l'intervalle de tolerance [2 497 ; 2 503]. Le fournisseur X presente un risque plus eleve de planches hors tolerance, avec un minimum a 2 496 mm et un maximum a 2 508 mm : sur un agencement, 8 mm de trop se voient et obligent a recouper.
Un technicien chauffagiste releve la consommation journaliere (en kWh) d'une chaudiere sur 20 jours. Les données triées sont :
Me = moyenne des rangs 10 et 11 = \(\dfrac{31+32}{2} = \mathbf{31{,}5}\) kWh
Rang de Q1 = \(\lceil 20/4 \rceil = 5\) → Q1 = valeur au rang 5 de la série triée = 26 kWh
Rang de Q3 = \(\lceil 60/4 \rceil = 15\) → Q3 = valeur au rang 15 de la série triée = 36 kWh
2. IQR et seuils :IQR = 36 - 26 = 10 kWh
Seuil bas = 26 - 1,5 × 10 = 26 - 15 = 11 kWh
Seuil haut = 36 + 1,5 × 10 = 36 + 15 = 51 kWh
3. Valeurs aberrantes :55 kWh > 51 → aberrante. 72 kWh > 51 → aberrante. Il y a 2 valeurs aberrantes.
4. Moyennes :Somme totale = 677 → \(\bar{x} = \dfrac{677}{20} = \mathbf{33{,}85}\) kWh
Sans aberrantes : somme = 677 - 55 - 72 = 550 pour 18 valeurs → \(\bar{x}_{\text{corr}} = \dfrac{550}{18} \approx \mathbf{30{,}56}\) kWh
Ecart : 33,85 - 30,56 = 3,29 kWh (les 2 valeurs aberrantes augmentent la moyenne d'environ 10 %).
5. Interpretation technique :Les journees a 55 et 72 kWh sont anormales. Causes possibles : vague de froid exceptionnelle, dysfonctionnement du thermostat, porte ou fenetre restee ouverte, ou panne du systeme de regulation. Le technicien doit : verifier le thermostat, controler l'isolation du batiment, et mettre en place une alerte automatique si la consommation depasse le seuil de 51 kWh.
Un chef de chantier compare les temps de pose (en minutes) de panneaux de signaletique par trois equipes. Voici les resultats resumes :
| Equipe A | Equipe B | Equipe C | |
|---|---|---|---|
| Min | 15 | 25 | 10 |
| Q1 | 20 | 28 | 18 |
| Mediane | 25 | 32 | 30 |
| Q3 | 30 | 35 | 45 |
| Max | 38 | 40 | 62 |
| Moyenne | 25,2 | 32,0 | 31,5 |
| Effectif | 12 | 12 | 12 |
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| IQR | 10 min | 7 min | 27 min |
| Etendue | 23 min | 15 min | 52 min |
En mediane : A (25 min) est la plus rapide. En moyenne : A (25,2 min) est aussi la plus rapide.
3. Regularite :B est la plus reguliere (IQR = 7, etendue = 15). C est la moins reguliere (IQR = 27, etendue = 52) : elle alterne entre des poses tres rapides (10 min) et tres longues (62 min).
4. Valeur aberrante (C) :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 45 + 40,5 = 85,5 min. 62 < 85,5 → pas aberrante formellement, mais tres elevee.
5. Garantie < 40 min :L'equipe A est la seule dont le maximum (38 min) est inferieur a 40 min. L'equipe B a un max de 40 min (juste la limite). L'equipe C depasse largement.
6. Synthese :L'equipe A est la meilleure option. Elle est la plus rapide (mediane de 25 min, moyenne de 25,2 min), avec une regularite correcte (IQR de 10 min) et un maximum de 38 min qui respecte la garantie de 40 minutes. L'equipe B est reguliere mais plus lente en moyenne (32 min). L'equipe C est a eviter pour les chantiers a delai garanti en raison de sa forte variabilite (IQR de 27 min).
Une petite entreprise de menuiserie emploie 10 personnes. Voici les salaires mensuels nets (en euros) :
| Poste | Salaire | Effectif |
|---|---|---|
| Ouvrier | 1 500 € | 5 |
| Chef d'equipe | 1 800 € | 2 |
| Comptable | 2 200 € | 1 |
| Responsable commercial | 2 500 € | 1 |
| Dirigeant | 6 000 € | 1 |
\(\bar{x} = \dfrac{5 \times 1500 + 2 \times 1800 + 1 \times 2200 + 1 \times 2500 + 1 \times 6000}{10} = \dfrac{7500+3600+2200+2500+6000}{10} = \dfrac{21\,800}{10} = \mathbf{2\,180\,\text{€}}\)
2. Serie ordonnee et mediane :1500 ; 1500 ; 1500 ; 1500 ; 1500 ; 1800 ; 1800 ; 2200 ; 2500 ; 6000
n = 10 (pair) → Me = \(\dfrac{1500+1800}{2} = \mathbf{1\,650\,\text{€}}\)
3. Q1 et Q3 :Rang de Q1 = \(\lceil 10/4 \rceil = 3\) → Q1 = valeur au rang 3 de la série triée = 1 500 €
Rang de Q3 = \(\lceil 30/4 \rceil = 8\) → Q3 = valeur au rang 8 de la série triée = 2 200 €
IQR = 2200 - 1500 = 700 €
4. Valeur aberrante :Seuil haut = Q3 + 1,5 × IQR = 2200 + 1050 = 3 250 €. 6000 > 3250 → oui, le salaire du dirigeant est aberrant.
5. Analyse :Le syndicaliste utilise la moyenne (2 180 €, qu'il arrondit a 2 200 €). L'ouvrier utilise le mode (1 500 €, le salaire le plus frequent). Les deux ont raison mathematiquement, mais la mediane (1 650 €) est l'indicateur le plus representatif. La moyenne est tiree vers le haut par le salaire du dirigeant. La moitie des salaries — 5 sur 10 — gagne 1 500 €, donc 1 650 € au plus ; l'autre moitie gagne davantage.
6. Impact d'une baisse de salaire du dirigeant :Nouvelle moyenne : \(\dfrac{21\,800 - 6000 + 4000}{10} = \dfrac{19\,800}{10} = \mathbf{1\,980\,\text{€}}\)
La moyenne baisse de 200 € (de 2 180 a 1 980). La mediane reste inchangee a 1 650 € : elle ne depend pas des valeurs extremes. Cela illustre la robustesse de la mediane.
Un responsable de production compare le délai de fabrication (en jours) d'une commande de meubles dans deux ateliers. Il relève 11 délais dans chaque atelier. Les séries déjà triées sont :
| Atelier 1 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Atelier 2 | 4 | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 | 15 | 17 | 19 | 22 | 27 |
Atelier 1 : Me = 6e valeur = 13 jours. Rang de Q1 = \(\lceil 11/4 \rceil = 3\) → Q1 = 3e valeur = 10 jours. Rang de Q3 = \(\lceil 33/4 \rceil = 9\) → Q3 = 9e valeur = 16 jours.
Atelier 2 : Me = 6e valeur = 13 jours. Q1 = 3e valeur = 9 jours. Q3 = 9e valeur = 19 jours.
2. IQR et étendue :Atelier 1 : IQR = 16 − 10 = 6 jours | Étendue = 18 − 8 = 10 jours.
Atelier 2 : IQR = 19 − 9 = 10 jours | Étendue = 27 − 4 = 23 jours.
3. Boîtes à moustaches :Les deux ateliers ont la même médiane (13 jours) : le délai « typique » est identique. La médiane seule ne permet donc pas de les départager.
5. Régularité :L'atelier 1 a un IQR de 6 jours (contre 10) et une étendue de 10 jours (contre 23). L'atelier 1 est nettement plus régulier : ses délais sont resserrés autour de la médiane, alors que l'atelier 2 s'étale de 4 à 27 jours.
6. Avis argumenté :Le responsable doit choisir l'atelier 1. Bien que les deux ateliers livrent en 13 jours « en moyenne » (même médiane), l'atelier 1 est beaucoup plus prévisible : son IQR de 6 jours et son étendue de 10 jours sont environ deux fois plus faibles que ceux de l'atelier 2 (10 et 23 jours). Le client a ainsi la garantie d'un délai resserré, sans risque de commande livrée très en retard (jusqu'à 27 jours pour l'atelier 2).
Un technicien en énergies renouvelables compare la production journalière (en kWh) de deux installations photovoltaïques posées sur le même bâtiment : l'une orientée plein sud, l'autre en est-ouest. Les relevés portent sur 11 jours consécutifs et sont déjà triés :
| Orientation sud | 12 | 14 | 15 | 16 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 24 | 26 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Orientation est-ouest | 14 | 15 | 16 | 17 | 17 | 18 | 18 | 19 | 19 | 20 | 21 |
Sud : somme = 207 → \(\bar{x} = \dfrac{207}{11} \approx \mathbf{18{,}8}\) kWh. Médiane = valeur de rang \(\dfrac{11+1}{2} = 6\) = 19 kWh. Rang de \(Q_1 = \lceil 11/4 \rceil = 3\) → \(Q_1\) = 15 kWh. Rang de \(Q_3 = \lceil 33/4 \rceil = 9\) → \(Q_3\) = 22 kWh.
Est-ouest : somme = 194 → \(\bar{x} = \dfrac{194}{11} \approx \mathbf{17{,}6}\) kWh. Médiane = 6e valeur = 18 kWh. \(Q_1\) = 3e valeur = 16 kWh. \(Q_3\) = 9e valeur = 19 kWh.
2. Étendue et IQR :| Étendue | IQR | |
|---|---|---|
| Sud | 26 − 12 = 14 kWh | 22 − 15 = 7 kWh |
| Est-ouest | 21 − 14 = 7 kWh | 19 − 16 = 3 kWh |
L'installation sud produit davantage : sa moyenne (18,8 kWh) et sa médiane (19 kWh) sont supérieures à celles de l'est-ouest (17,6 et 18 kWh).
Mais l'installation est-ouest est bien plus régulière : son IQR vaut 3 kWh contre 7 kWh, et son étendue 7 kWh contre 14 kWh. Sa boîte est deux fois plus étroite.
5. Jours à au moins 22 kWh (installation sud) :\(Q_3 = 22\) kWh : par définition, au moins 75 % des jours sont au plus à 22 kWh, donc environ 25 % des jours atteignent ou dépassent 22 kWh.
Vérification : les valeurs ≥ 22 sont 22 ; 24 ; 26, soit 3 jours sur 11 → \(\dfrac{3}{11} \approx 27{,}3\ \%\). On trouve un peu plus de 25 % : c'est normal, car le jour à exactement 22 kWh est compté ici alors que \(Q_3\) fait partie des 75 % du bas. L'estimation par \(Q_3\) est bien confirmée.
6. Avis argumenté :Pour de l'autoconsommation, c'est l'installation est-ouest qu'il faut privilégier. Elle produit un peu moins (médiane 18 kWh contre 19 kWh, soit environ 1 kWh de moins par jour), mais sa production est beaucoup plus prévisible : la moitié centrale de ses journées tient dans 3 kWh (IQR) contre 7 kWh pour l'installation sud, et l'écart entre son meilleur et son pire jour n'est que de 7 kWh contre 14 kWh.
L'installation sud offre des pointes plus élevées (jusqu'à 26 kWh), mais ces pointes ne sont utiles que si elles sont consommées au moment où elles sont produites — sinon elles sont revendues à bas prix. Une production régulière se consomme mieux : l'est-ouest est donc le meilleur choix ici.
Un conducteur de travaux a perdu le détail d'une série de 7 durées de tâches (en jours, toutes entières). Il ne lui reste que le résumé statistique :
| Minimum | \(Q_1\) | Médiane | \(Q_3\) | Maximum | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 5 | 8 | 11 | 15 | 8 |
Étendue = 15 − 3 = 12 jours | IQR = 11 − 5 = 6 jours
2. Les rangs pour N = 7 :Rang de \(Q_1 = \lceil 7/4 \rceil = \lceil 1{,}75 \rceil = \mathbf{2}\)
Rang de la médiane = \(\dfrac{7+1}{2} = \mathbf{4}\)
Rang de \(Q_3 = \lceil 21/4 \rceil = \lceil 5{,}25 \rceil = \mathbf{6}\)
3. Cinq valeurs connues :\(x_1 = 3\) (minimum) ; \(x_2 = 5\) (\(Q_1\)) ; \(x_4 = 8\) (médiane) ; \(x_6 = 11\) (\(Q_3\)) ; \(x_7 = 15\) (maximum).
Il reste à trouver \(x_3\) et \(x_5\).
4. Somme des durées :\(\bar{x} = 8\) et \(N = 7\) → somme totale = \(8 \times 7 = \mathbf{56}\) jours.
Somme des 5 valeurs connues = 3 + 5 + 8 + 11 + 15 = 42.
Donc \(x_3 + x_5 = 56 - 42 = \mathbf{14}\).
5. Plusieurs séries possibles :La série étant triée : \(5 \leqslant x_3 \leqslant 8\) et \(8 \leqslant x_5 \leqslant 11\), avec \(x_3\) et \(x_5\) entiers et \(x_3 + x_5 = 14\).
On teste les possibilités : \(x_3 = 5 \Rightarrow x_5 = 9\) ✔ ; \(x_3 = 6 \Rightarrow x_5 = 8\) ✔ ; \(x_3 = 7 \Rightarrow x_5 = 7 < 8\) ✘ ; \(x_3 = 8 \Rightarrow x_5 = 6 < 8\) ✘.
Il y a donc deux séries entières possibles :
Série A : 3 ; 5 ; 5 ; 8 ; 9 ; 11 ; 15 — somme 56, moyenne 8, \(x_2 = 5\), \(x_4 = 8\), \(x_6 = 11\) ✔
Série B : 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 8 ; 11 ; 15 — somme 56, moyenne 8, \(x_2 = 5\), \(x_4 = 8\), \(x_6 = 11\) ✔
Conclusion importante : les indicateurs ne suffisent pas à reconstituer une série. Ils résument l'information, mais ils en perdent une partie.
6. L'affirmation du conducteur :Non, il a tort : le maximum de la série vaut 15 jours, donc au moins une tâche a duré 15 jours, ce qui est bien supérieur à 12. Il confond sans doute le maximum avec \(Q_3\) (11 jours), qui indique seulement que 75 % des tâches durent 11 jours ou moins.
Sur un chantier, 10 éprouvettes de béton sont écrasées à 28 jours pour mesurer leur résistance à la compression (en MPa). Les résultats triés sont :
Somme = 26 + 28 + 29 + 30 + 31 + 31 + 32 + 33 + 34 + 36 = 310
\(\bar{x} = \dfrac{310}{10} = \mathbf{31{,}0}\) MPa
2. Variance et écart-type :| xi | 26 | 28 | 29 | 30 | 31 | 31 | 32 | 33 | 34 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| xi − x̄ | −5 | −3 | −2 | −1 | 0 | 0 | +1 | +2 | +3 | +5 |
| (xi − x̄)² | 25 | 9 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 25 |
Somme des carrés = 25 + 9 + 4 + 1 + 0 + 0 + 1 + 4 + 9 + 25 = 78
\(\sigma^2 = \dfrac{78}{10} = 7{,}8\) MPa² → \(\sigma = \sqrt{7{,}8} \approx \mathbf{2{,}8}\) MPa
3. Indicateurs de position et de dispersion :N = 10 (pair) → Me = moyenne des rangs 5 et 6 = \(\dfrac{31 + 31}{2} = \mathbf{31}\) MPa
Rang de \(Q_1 = \lceil 10/4 \rceil = 3\) → \(Q_1\) = 29 MPa | Rang de \(Q_3 = \lceil 30/4 \rceil = 8\) → \(Q_3\) = 33 MPa
IQR = 33 − 29 = 4 MPa | Étendue = 36 − 26 = 10 MPa
4. Critère de sécurité :\(\bar{x} - \sigma = 31{,}0 - 2{,}8 = \mathbf{28{,}2}\) MPa.
28,2 ≥ 25 → le lot est conforme, avec même une marge confortable de 3,2 MPa.
5. Éprouvettes dans l'intervalle :\([\bar{x} - \sigma \ ; \ \bar{x} + \sigma] = [28{,}2 \ ; \ 33{,}8]\).
Les valeurs comprises dans cet intervalle sont 29 ; 30 ; 31 ; 31 ; 32 ; 33 → 6 éprouvettes sur 10, soit 60 % du lot. (26 ; 28 ; 34 et 36 sont en dehors.)
6. Comparaison des deux lots :Pour le second lot : \(\bar{x} - \sigma = 31 - 5{,}4 = 25{,}6\) MPa. Le critère est tout juste respecté (25,6 ≥ 25), avec seulement 0,6 MPa de marge contre 3,2 MPa pour le premier lot.
Surtout, un écart-type presque deux fois plus grand signifie que les résistances individuelles s'éloignent beaucoup plus de 31 MPa : le risque qu'une éprouvette descende sous 25 MPa est bien plus élevé. À moyenne égale, le premier lot est nettement plus sûr : sa fabrication est mieux maîtrisée (dosage, malaxage, cure).
Le responsable d'un service de dépannage chauffage relève le temps d'intervention (en minutes) de 12 dépannages réalisés dans la semaine. La série triée est :
Somme = 28 + 30 + 32 + 35 + 36 + 38 + 40 + 42 + 45 + 48 + 52 + 74 = 500 min
\(\bar{x} = \dfrac{500}{12} \approx \mathbf{41{,}7}\) min
N = 12 (pair) → Me = moyenne des rangs 6 et 7 = \(\dfrac{38 + 40}{2} = \mathbf{39}\) min
2. Quartiles, IQR, étendue :Rang de \(Q_1 = \lceil 12/4 \rceil = 3\) → \(Q_1\) = 32 min | Rang de \(Q_3 = \lceil 36/4 \rceil = 9\) → \(Q_3\) = 45 min
IQR = 45 − 32 = 13 min | Étendue = 74 − 28 = 46 min
3. La valeur 74 min (repère au-delà du programme) :\(Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR} = 45 + 1{,}5 \times 13 = 45 + 19{,}5 = \mathbf{64{,}5}\) min.
74 > 64,5 → selon ce repère hors-programme, cette intervention est nettement hors du lot : elle mérite d'être analysée à part (pièce à commander, déplacement lointain, panne complexe…).
4. Ramener la moyenne à 40 min :Pour que \(\bar{x} \leqslant 40\) avec 12 valeurs, il faut une somme d'au plus \(40 \times 12 = 480\) min.
La somme actuelle est 500 min, il faut donc retirer au moins \(500 - 480 = \mathbf{20}\) min.
L'intervention la plus longue doit passer de 74 min à 54 min au maximum.
5. Effet sur la médiane :Non, la médiane ne change pas : elle reste à 39 min. En passant de 74 à 54 min, cette valeur reste la plus grande de la série, donc l'ordre des valeurs est inchangé. Or la médiane ne dépend que des valeurs de rang 6 et 7 (38 et 40), qui n'ont pas bougé.
C'est exactement la robustesse de la médiane : elle ignore ce qui se passe aux extrémités.
6. Abaisser la médiane à 38 min :Il faut agir sur les valeurs centrales (rangs 6 et 7), et non sur les extrêmes. Par exemple, ramener la 7e valeur de 40 min à 38 min.
Vérification : la série devient 28 ; 30 ; 32 ; 35 ; 36 ; 38 ; 38 ; 42 ; 45 ; 48 ; 52 ; 74 → Me = \(\dfrac{38 + 38}{2} = \mathbf{38}\) min. ✔
7. Recommandation :Les deux leviers ne sont pas les mêmes. Pour faire baisser la moyenne, il suffit de traiter le cas extrême (74 min) : c'est lui qui pèse le plus, et 20 minutes gagnées sur cette seule intervention suffisent à atteindre l'objectif de 40 min.
Mais pour améliorer réellement le service pour la majorité des clients, c'est la médiane qu'il faut viser : il faut alors gagner quelques minutes sur les interventions « ordinaires » (organisation du véhicule, stock de pièces courantes). Suivre uniquement la moyenne donnerait l'illusion d'un progrès alors que rien n'aurait changé pour la plupart des dépannages.
Un gestionnaire de patrimoine suit la consommation d'énergie (en kWh par m² et par an) de 40 logements, avant puis après un programme de rénovation (isolation et changement des menuiseries). Les deux séries sont résumées par les diagrammes en boîte ci-dessous, tracés sur le même axe. Aucune valeur n'est écrite : il faut les lire sur l'axe gradué.
| Min | \(Q_1\) | Me | \(Q_3\) | Max | |
|---|---|---|---|---|---|
| Avant | 100 | 150 | 175 | 200 | 250 |
| Après | 75 | 100 | 125 | 150 | 175 |
(en kWh/m²/an)
2. Étendue et IQR :Avant : Étendue = 250 − 100 = 150 | IQR = 200 − 150 = 50
Après : Étendue = 175 − 75 = 100 | IQR = 150 − 100 = 50
3. Baisse de la médiane :Baisse = 175 − 125 = 50 kWh/m²/an
En pourcentage : \(\dfrac{50}{175} \approx 0{,}2857\) → une baisse d'environ 28,6 % de la consommation médiane.
4. Logements sous 150 kWh/m²/an :Avant : \(Q_1 = 150\) → environ 25 % des logements seulement étaient sous 150 kWh/m²/an.
Après : \(Q_3 = 150\) → environ 75 % des logements sont sous 150 kWh/m²/an.
La proportion de logements atteignant l'objectif a donc été multipliée par 3 (soit environ 10 logements avant, contre 30 après, sur les 40 du parc).
5. Ce que disent IQR et étendue :L'IQR est identique (50 avant et après) : la moitié centrale du parc reste aussi dispersée qu'avant. La rénovation a donc surtout déplacé l'ensemble de la distribution vers le bas, sans homogénéiser les logements entre eux.
L'étendue, elle, passe de 150 à 100 : les cas extrêmes se sont rapprochés. Les logements les plus énergivores (250 kWh/m²/an) ont été les plus améliorés — ce sont eux qui avaient le plus à gagner.
6. Bilan pour le conseil d'administration :La rénovation est un succès mesurable. La consommation médiane du parc passe de 175 à 125 kWh/m²/an, soit une baisse d'environ 28,6 %. Surtout, la part des logements sous l'objectif de 150 kWh/m²/an passe d'environ 25 % à environ 75 % : trois logements sur quatre sont désormais conformes, contre un sur quatre auparavant. Le logement le plus énergivore est passé de 250 à 175 kWh/m²/an et l'étendue a été réduite d'un tiers.
Un point de vigilance demeure : l'écart interquartile est inchangé (50 kWh/m²/an). Le parc reste hétérogène, et un quart des logements dépasse encore 150 kWh/m²/an. Une seconde phase ciblée sur ces logements-là serait la plus rentable.
Un technicien de maintenance énergétique relève la consommation de gaz (en m³) de 8 chaudières identiques pendant une semaine. La série triée est :
Somme = 20 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 36 + 44 = 240 → \(\bar{x} = \dfrac{240}{8} = \mathbf{30}\) m³
N = 8 (pair) → Me = \(\dfrac{28 + 30}{2} = \mathbf{29}\) m³
Rang de \(Q_1 = \lceil 8/4 \rceil = 2\) → \(Q_1\) = 24 m³ | Rang de \(Q_3 = \lceil 24/4 \rceil = 6\) → \(Q_3\) = 32 m³
IQR = 32 − 24 = 8 m³ | Étendue = 44 − 20 = 24 m³
Écarts à la moyenne : −10 ; −6 ; −4 ; −2 ; 0 ; +2 ; +6 ; +14. Carrés : 100 + 36 + 16 + 4 + 0 + 4 + 36 + 196 = 392.
\(\sigma^2 = \dfrac{392}{8} = 49\) → \(\sigma = \sqrt{49} = \mathbf{7}\) m³
2. Chaque chaudière consomme 5 m³ de plus :Prévision : toute la série est décalée de +5. Les indicateurs de position (moyenne, médiane, quartiles) augmentent de 5 ; les indicateurs de dispersion (étendue, IQR, écart-type) ne changent pas, car les écarts entre les valeurs sont identiques.
Vérification : nouvelle série 25 ; 29 ; 31 ; 33 ; 35 ; 37 ; 41 ; 49.
Somme = 280 → \(\bar{x} = 35\) m³ (30 + 5 ✔) ; Me = \(\dfrac{33 + 35}{2} = 34\) m³ (29 + 5 ✔) ; \(Q_1 = 29\) (24 + 5 ✔) ; \(Q_3 = 37\) (32 + 5 ✔).
IQR = 37 − 29 = 8 m³ (inchangé ✔) ; étendue = 49 − 25 = 24 m³ (inchangée ✔).
Écarts à la nouvelle moyenne : −10 ; −6 ; −4 ; −2 ; 0 ; +2 ; +6 ; +14 — exactement les mêmes qu'avant → \(\sigma = \mathbf{7}\) m³ (inchangé ✔).
3. Toutes les consommations augmentent de 10 % :Prévision : chaque valeur est multipliée par 1,1, donc tous les indicateurs (position et dispersion) sont multipliés par 1,1.
Vérification : nouvelle série 22 ; 26,4 ; 28,6 ; 30,8 ; 33 ; 35,2 ; 39,6 ; 48,4.
Somme = 264 → \(\bar{x} = 33\) m³ (30 × 1,1 ✔) ; Me = \(\dfrac{30{,}8 + 33}{2} = 31{,}9\) m³ (29 × 1,1 ✔) ; \(Q_1 = 26{,}4\) (24 × 1,1 ✔) ; \(Q_3 = 35{,}2\) (32 × 1,1 ✔).
IQR = 35,2 − 26,4 = 8,8 m³ (8 × 1,1 ✔) ; étendue = 48,4 − 22 = 26,4 m³ (24 × 1,1 ✔).
\(\sigma^2 = 49 \times 1{,}1^2 = 49 \times 1{,}21 = 59{,}29\) → \(\sigma = \sqrt{59{,}29} = \mathbf{7{,}7}\) m³ (7 × 1,1 ✔).
4. Règle générale :Ajout d'une constante \(b\) : moyenne, médiane et quartiles augmentent de \(b\) ; étendue, IQR et écart-type ne changent pas. Ajouter la même quantité à tout le monde déplace la série sans l'étaler.
Multiplication par un nombre \(k > 0\) : tous les indicateurs sont multipliés par \(k\), aussi bien la position que la dispersion. Multiplier étale (ou resserre) la série.
5. Le parc est-il « moins régulier » ? (ouverture BTS)Avant : \(\dfrac{\sigma}{\bar{x}} = \dfrac{7}{30} \approx 0{,}233\), soit 23,3 %.
Après la hausse de 10 % : \(\dfrac{\sigma}{\bar{x}} = \dfrac{7{,}7}{33} \approx 0{,}233\), soit 23,3 % également.
Le technicien a tort. En valeur absolue l'écart-type augmente bien (7 → 7,7 m³), mais rapporté à la moyenne la dispersion est exactement la même. Le parc n'est pas devenu moins régulier : il consomme simplement plus. C'est ce rapport \(\sigma / \bar{x}\), utilisé en BTS, qui permet de comparer la dispersion de séries qui n'ont ni le même ordre de grandeur ni la même unité.
Une agence de surveillance de la qualité de l'air mesure chaque jour la concentration en particules fines PM10 (en microgrammes par mètre cube, µg/m³) dans deux communes, pendant 15 jours d'hiver. La commune A est au fond d'une vallée (l'air y stagne certains jours), la commune B est en plaine ventée. Les deux séries sont déjà triées :
Commune A (fond de vallée) :
Commune B (plaine ventée) :
Réglementation française pour les PM10 : le seuil d'information et de recommandation est fixé à 50 µg/m³ en moyenne sur 24 heures, et le seuil d'alerte à 80 µg/m³.
Commune A — Somme \(= 8+10+12+14+16+18+20+22+26+30+52+58+64+70+80 = 500\) → \(\bar{x}_A = \dfrac{500}{15} \approx \mathbf{33{,}3}\) µg/m³.
\(N = 15\) est impair : Me est la valeur de rang \(\dfrac{15+1}{2} = 8\) → \(Me_A = \mathbf{22}\) µg/m³.
Rang de \(Q_1 = \lceil 15/4 \rceil = \lceil 3{,}75 \rceil = 4\) → \(Q_{1A} = \mathbf{14}\) µg/m³. Rang de \(Q_3 = \lceil 45/4 \rceil = \lceil 11{,}25 \rceil = 12\) → \(Q_{3A} = \mathbf{58}\) µg/m³.
Commune B — Somme \(= 26+28+30+31+32+33+34+35+36+38+39+40+42+44+47 = 535\) → \(\bar{x}_B = \dfrac{535}{15} \approx \mathbf{35{,}7}\) µg/m³.
Rang 8 → \(Me_B = \mathbf{35}\) µg/m³. Rang 4 → \(Q_{1B} = \mathbf{31}\) µg/m³. Rang 12 → \(Q_{3B} = \mathbf{40}\) µg/m³.
2. Indicateurs de dispersion :| Min | \(Q_1\) | Me | \(Q_3\) | Max | Étendue | IQR | Moyenne | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Commune A | 8 | 14 | 22 | 58 | 80 | 72 | 44 | 33,3 |
| Commune B | 26 | 31 | 35 | 40 | 47 | 21 | 9 | 35,7 |
Commune A : étendue \(= 80 - 8 = 72\) µg/m³ et IQR \(= 58 - 14 = 44\) µg/m³.
Commune B : étendue \(= 47 - 26 = 21\) µg/m³ et IQR \(= 40 - 31 = 9\) µg/m³.
La commune A est près de 5 fois plus dispersée que la commune B (44 contre 9).
3. Les deux boîtes à moustaches :La lecture est immédiate : la boîte de A est très large et sa moustache droite très longue ; celle de B tient dans un mouchoir de poche.
4. Dépassements du seuil de 50 µg/m³ :Commune A : les valeurs 52, 58, 64, 70 et 80 dépassent 50 → 5 jours, soit \(\dfrac{5}{15} \times 100 \approx \mathbf{33{,}3\,\%}\) des jours.
Commune B : la valeur maximale est 47 < 50 → 0 jour, soit \(\mathbf{0\,\%}\).
De plus, la valeur maximale de A, 80 µg/m³, atteint le seuil d'alerte. Aucun seuil n'est atteint en B.
5. La déclaration du maire est-elle recevable ?Non. Les deux chiffres qu'il cite sont exacts (\(\bar{x}_A = 33{,}3 \lt \bar{x}_B = 35{,}7\) et \(Me_A = 22 \lt Me_B = 35\)), mais ils ne décrivent que le centre de la série et passent à côté de l'essentiel.
Trois arguments le contredisent :
• Dispersion : IQR de 44 contre 9, étendue de 72 contre 21. À A, un jour ne ressemble pas au suivant ; à B, l'air est stable.
• Dépassements : A dépasse le seuil de 50 µg/m³ un jour sur trois et atteint même le seuil d'alerte à 80 ; B ne le dépasse jamais.
• Enjeu sanitaire : la réglementation porte sur des pics journaliers, pas sur une moyenne. Une moyenne basse obtenue en alternant 10 jours très propres et 5 jours de pic n'expose pas moins les habitants — au contraire, ce sont ces jours de pic qui déclenchent les recommandations sanitaires.
La moyenne basse de A vient précisément de ses 10 jours à faible concentration ; c'est un cas d'école où la moyenne masque le risque.
6. Avis argumenté (proposition) :C'est la commune A qu'il faut placer en priorité sous surveillance. Sa moyenne (33,3 µg/m³) et sa médiane (22 µg/m³) sont pourtant plus basses que celles de B (35,7 et 35), mais elle a dépassé le seuil d'information de 50 µg/m³ pendant 5 jours sur 15, soit un tiers de la période, et a atteint le seuil d'alerte de 80 µg/m³, ce que B n'a jamais fait. Son écart interquartile (44 µg/m³) et son étendue (72 µg/m³) confirment une situation très instable, cohérente avec un fond de vallée où l'air stagne certains jours.
Pour que l'information publiée soit honnête, la moyenne doit être accompagnée d'au moins : le nombre de jours de dépassement des seuils, le maximum, et un indicateur de dispersion (étendue ou écart interquartile) — idéalement la boîte à moustaches, qui donne les cinq à la fois.
En classe, on mesure le temps de réaction avec le protocole de la règle qui tombe : un camarade lâche une règle sans prévenir, on la rattrape le plus vite possible, et la hauteur de chute permet de calculer le temps écoulé.
Un élève réalise 15 mesures dans deux conditions : d'abord concentré sur la règle, puis en regardant son téléphone. Les deux séries sont données déjà triées, en millisecondes (ms) :
Série 1 — sans distraction (15 mesures, en ms) :
Série 2 — en regardant son téléphone (15 mesures, en ms) :
Sans distraction — Somme \(= 3\,340\) ms, donc \(\bar{x} = \dfrac{3\,340}{15} \approx \mathbf{222{,}7\ \text{ms}}\).
\(N = 15\) est impair : la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{15+1}{2} = 8\) → \(Me = \mathbf{220\ \text{ms}}\).
Rang de \(Q_1\) : \(\lceil 15/4 \rceil = \lceil 3{,}75 \rceil = 4\) → \(Q_1 = \mathbf{200\ \text{ms}}\).
Rang de \(Q_3\) : \(\lceil 45/4 \rceil = \lceil 11{,}25 \rceil = 12\) → \(Q_3 = \mathbf{240\ \text{ms}}\).
Avec téléphone — Somme \(= 4\,800\) ms, donc \(\bar{x} = \dfrac{4\,800}{15} = \mathbf{320{,}0\ \text{ms}}\).
Rang 8 → \(Me = \mathbf{310\ \text{ms}}\) | rang 4 → \(Q_1 = \mathbf{275\ \text{ms}}\) | rang 12 → \(Q_3 = \mathbf{355\ \text{ms}}\).
2. Étendue et écart interquartile :| Série | Étendue | IQR |
|---|---|---|
| Sans distraction | \(285 - 180 = \) 105 ms | \(240 - 200 = \) 40 ms |
| Avec téléphone | \(460 - 240 = \) 220 ms | \(355 - 275 = \) 80 ms |
Série 1 : sans distraction (en bleu) · Série 2 : en regardant son téléphone (en rouge).
Les deux boîtes ne se chevauchent presque pas : le \(Q_1\) de la série « avec téléphone » (275 ms) est déjà supérieur au \(Q_3\) de la série « sans distraction » (240 ms). Autrement dit, les trois quarts des réactions avec téléphone sont plus lentes que les trois quarts des réactions sans distraction.
4. Hausse de la médiane :Hausse absolue : \(310 - 220 = \mathbf{90\ \text{ms}}\).
Taux d'évolution : \(t = \dfrac{310 - 220}{220} \times 100 = \dfrac{90}{220} \times 100 \approx \mathbf{+40{,}9\ \%}\)
5. La régularité se dégrade aussi :IQR : de 40 ms à 80 ms → il est multiplié par 2.
Étendue : de 105 ms à 220 ms → elle est elle aussi plus que doublée.
Conclusion : avec le téléphone, on ne réagit pas seulement plus lentement en moyenne ; on réagit surtout de façon imprévisible. Certaines fois presque normalement (240 ms), d'autres fois très tard (460 ms). C'est cette imprévisibilité qui est dangereuse : on ne peut plus compter sur son propre temps de réaction.
6. Application routière :220 ms \(= 0{,}220\) s → \(0{,}220 \times 13{,}9 \approx \mathbf{3{,}1\ \text{m}}\)
310 ms \(= 0{,}310\) s → \(0{,}310 \times 13{,}9 \approx \mathbf{4{,}3\ \text{m}}\)
Écart : \(4{,}3 - 3{,}1 = \mathbf{1{,}2\ \text{m}}\) — soit environ une largeur de passage piéton parcourue en plus avant même d'avoir commencé à freiner.
Remarque : avec le pire temps mesuré (460 ms), la distance devient \(0{,}460 \times 13{,}9 \approx 6{,}4\) m.
7. Conclusion pour l'affiche (proposition) :« Sans distraction, notre temps de réaction médian est de 220 ms, et la moitié centrale des mesures tient dans 40 ms. Avec le téléphone, la médiane monte à 310 ms (+ 40,9 %) et l'écart interquartile double, à 80 ms. On réagit donc plus tard et de façon beaucoup moins régulière : à 50 km/h, cela représente en moyenne 1,2 m parcourus en plus avant de freiner, et jusqu'à 6,4 m dans le pire cas mesuré. »
Un voyageur note chaque jour, pendant 20 jours, le retard de son train à l'arrivée. Un retard de 0 minute signifie que le train est arrivé à l'heure. La série est déjà triée :
On peut aussi la présenter sous forme de tableau d'effectifs, plus commode pour compter :
| Retard (min) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 | 18 | 35 | 47 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de jours | 4 | 3 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Somme des 20 retards : \(0 \times 4 + 1 \times 3 + 2 \times 3 + 3 \times 2 + 4 + 5 + 6 + 8 + 12 + 18 + 35 + 47 = 150\) min.
\(\bar{x} = \dfrac{150}{20} = \mathbf{7{,}5\ \text{min}}\)
\(N = 20\) est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang 10 et de rang 11, soit 2 et 3.
\(Me = \dfrac{2 + 3}{2} = \mathbf{2{,}5\ \text{min}}\)
2. Quartiles, IQR, étendue :Rang de \(Q_1\) : \(\lceil 20/4 \rceil = 5\) → \(Q_1 = \mathbf{1\ \text{min}}\).
Rang de \(Q_3\) : \(\lceil 60/4 \rceil = 15\) → \(Q_3 = \mathbf{6\ \text{min}}\).
IQR \(= 6 - 1 = \mathbf{5\ \text{min}}\) | Étendue \(= 47 - 0 = \mathbf{47\ \text{min}}\).
3. Boîte à moustaches :La boîte est écrasée à gauche et la moustache de droite est très longue : la série est fortement déséquilibrée. La croix ✕ marque la moyenne (7,5 min) — elle tombe à l'extérieur de la boîte, au-delà de \(Q_3\).
4. Deux affirmations, deux indicateurs :Les deux sont exactes — elles ne parlent simplement pas du même indicateur.
Le transporteur utilise la moyenne : \(\bar{x} = 7{,}5\) min. C'est vrai.
L'usager décrit ce qu'il vit habituellement, c'est-à-dire la médiane : \(Me = 2{,}5\) min. La moitié des jours, le retard est inférieur ou égal à 2,5 min ; avec \(Q_3 = 6\) min, on peut même dire que 75 % des jours le retard ne dépasse pas 6 minutes.
5. Pourquoi la moyenne est trois fois la médiane :Les deux jours de très gros retard (35 min et 47 min) totalisent à eux seuls \(35 + 47 = 82\) min, soit plus de la moitié des 150 minutes de retard cumulé — pour seulement 2 jours sur 20.
La moyenne répartit ces 82 minutes sur les 20 jours, ce qui gonfle le résultat. La médiane, elle, ne dépend que du rang des valeurs : déplacer 47 min à 200 min ne la changerait pas. La médiane est donc un indicateur robuste, la moyenne non.
6. Jours à au moins 5 minutes de retard :Valeurs supérieures ou égales à 5 : 5 · 6 · 8 · 12 · 18 · 35 · 47, soit 7 jours.
\(\dfrac{7}{20} \times 100 = \mathbf{35\ \%}\) des jours.
7. L'engagement des 90 % :Retards de 15 min ou plus : 18 · 35 · 47, soit 3 jours. Il reste donc \(20 - 3 = 17\) jours avec moins de 15 min de retard.
\(\dfrac{17}{20} \times 100 = \mathbf{85\ \%}\).
\(85\ \% \lt 90\ \%\) : l'engagement n'est pas tenu sur cette période. Il aurait fallu au moins \(0{,}90 \times 20 = 18\) jours conformes, soit un jour de plus.
8. Ce qu'il faudrait publier (proposition) :« Sur 20 jours, le retard médian est de 2,5 minutes et 75 % des trains arrivent avec 6 minutes de retard au plus (\(Q_3\)). Mais 2 jours sur 20 ont connu des retards de 35 et 47 minutes, ce qui porte la moyenne à 7,5 minutes et fait chuter le taux de trains à l'heure à 15 minutes près à 85 %, en dessous de l'engagement de 90 %. »
Publier la médiane et \(Q_3\) décrit le trajet ordinaire ; publier le pourcentage de trains sous un seuil et l'étendue rend compte des mauvais jours. Un seul chiffre — quel qu'il soit — ne peut pas dire les deux.
Sur un site d'avis, chaque client attribue une note entière de 1 à 5 étoiles. Deux restaurants d'un même quartier ont reçu chacun 80 avis. Voici la répartition des notes :
| Note \(x_i\) (étoiles) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Restaurant A — nombre d'avis | 2 | 6 | 16 | 38 | 18 | 80 |
| Restaurant B — nombre d'avis | 20 | 2 | 2 | 6 | 50 | 80 |
Les deux fiches affichent la même chose : « 3,8 / 5 — 80 avis ».
On additionne les effectifs de gauche à droite : l'effectif cumulé d'une note, c'est le nombre d'avis qui ont cette note ou une note plus basse (le dernier cumul vaut donc \(N = 80\), c'est le contrôle des additions). Il donne directement les rangs occupés par chaque note dans la série triée — on trouve alors la médiane et les quartiles sans écrire les 80 valeurs, comme dans l'exercice 1-13.
Exemple sur 10 avis — effectifs 3 ; 2 ; 5 → cumuls 3 ; 5 ; 10 → la 1re note occupe les rangs 1 à 3, la 2e les rangs 4 à 5, la 3e les rangs 6 à 10. Il reste à chercher dans quelle plage tombe le rang de la médiane, de \(Q_1\) ou de \(Q_3\).
Restaurant A : \(2 + 6 + 16 + 38 + 18 = 80\) ✓ | Restaurant B : \(20 + 2 + 2 + 6 + 50 = 80\) ✓
A : \(\bar{x} = \dfrac{2 \times 1 + 6 \times 2 + 16 \times 3 + 38 \times 4 + 18 \times 5}{80} = \dfrac{2 + 12 + 48 + 152 + 90}{80} = \dfrac{304}{80} = \mathbf{3{,}8}\)
B : \(\bar{x} = \dfrac{20 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + 6 \times 4 + 50 \times 5}{80} = \dfrac{20 + 4 + 6 + 24 + 250}{80} = \dfrac{304}{80} = \mathbf{3{,}8}\)
Les deux moyennes sont rigoureusement égales. Le site ne ment pas.
2. Modes :A : l'effectif le plus grand est 38, pour la note 4 → mode \(= \mathbf{4}\) étoiles.
B : l'effectif le plus grand est 50, pour la note 5 → mode \(= \mathbf{5}\) étoiles.
Le mode est la note la plus souvent donnée : chez A c'est « bien », chez B c'est « excellent ».
3. Effectifs cumulés et rangs occupés :| Note | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| A — effectif cumulé | 2 | 8 | 24 | 62 | 80 |
| A — rangs occupés | 1 à 2 | 3 à 8 | 9 à 24 | 25 à 62 | 63 à 80 |
| B — effectif cumulé | 20 | 22 | 24 | 30 | 80 |
| B — rangs occupés | 1 à 20 | 21 à 22 | 23 à 24 | 25 à 30 | 31 à 80 |
\(N = 80\) est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang 40 et de rang 41.
A : les rangs 40 et 41 sont dans la plage « 25 à 62 », occupée par la note 4 → \(Me = \mathbf{4}\).
B : les rangs 40 et 41 sont dans la plage « 31 à 80 », occupée par la note 5 → \(Me = \mathbf{5}\).
5. Quartiles et écart interquartile :Rang de \(Q_1\) : \(\lceil 80/4 \rceil = 20\) | rang de \(Q_3\) : \(\lceil 240/4 \rceil = 60\).
A : le rang 20 est dans « 9 à 24 » → \(Q_1 = \mathbf{3}\) ; le rang 60 est dans « 25 à 62 » → \(Q_3 = \mathbf{4}\). IQR \(= 4 - 3 = \mathbf{1}\).
B : le rang 20 est dans « 1 à 20 » → \(Q_1 = \mathbf{1}\) ; le rang 60 est dans « 31 à 80 » → \(Q_3 = \mathbf{5}\). IQR \(= 5 - 1 = \mathbf{4}\).
Voilà la différence : chez A, la moitié centrale des avis tient entre 3 et 4 étoiles (IQR = 1) ; chez B, elle s'étale de 1 à 5 étoiles (IQR = 4), c'est-à-dire sur toute l'échelle.
6. Étendues :A : \(5 - 1 = \mathbf{4}\) | B : \(5 - 1 = \mathbf{4}\).
Les deux étendues sont identiques : l'étendue ne distingue pas les deux restaurants. C'est sa limite bien connue — elle ne regarde que les deux valeurs extrêmes, et il suffit d'un seul avis à 1 étoile pour l'atteindre. L'écart interquartile, lui, regarde la moitié centrale : c'est lui qui sépare A de B.
7. Pourcentages d'avis extrêmes :| Restaurant | 1 ou 2 étoiles | 4 ou 5 étoiles |
|---|---|---|
| A | \(\dfrac{2+6}{80} \times 100 = \) 10 % | \(\dfrac{38+18}{80} \times 100 = \) 70 % |
| B | \(\dfrac{20+2}{80} \times 100 = \) 27,5 % | \(\dfrac{6+50}{80} \times 100 = \) 70 % |
Fait remarquable : les deux restaurants ont exactement 70 % d'avis positifs. Même ce pourcentage-là ne les distingue pas. En revanche, un client sur quatre environ met 1 ou 2 étoiles chez B (27,5 %), contre un sur dix chez A (10 %).
8. Ce que la note unique cache (proposition) :« Les deux restaurants affichent 3,8/5, ont la même étendue et le même taux d'avis positifs (70 %). Pourtant ils ne se ressemblent pas. Chez A, les avis sont groupés : la moitié centrale se situe entre 3 et 4 étoiles (IQR = 1) et seulement 10 % des clients sont mécontents ; l'expérience est prévisible. Chez B, les avis sont polarisés : la médiane vaut 5 mais \(Q_1\) vaut 1, l'IQR atteint 4, et 27,5 % des clients mettent 1 ou 2 étoiles ; on adore ou on déteste. »
Le site devrait donc afficher, en plus de la moyenne : la répartition des notes (les cinq effectifs), la médiane et le pourcentage d'avis à 1 ou 2 étoiles. Une moyenne seule résume 80 avis en un nombre — et un nombre unique ne peut pas dire à la fois où sont les avis et à quel point ils sont dispersés.
Dans le cadre d'un projet « bouger plus », l'infirmière du lycée prête un podomètre aux élèves de deux classes pendant une semaine. Pour chaque élève, on retient son nombre moyen de pas par jour, arrondi à la centaine. Les deux classes comptent 11 élèves. Les séries sont données rangées par ordre croissant.
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Classe A | 5 200 | 6 100 | 6 800 | 7 300 | 7 600 | 7 900 | 8 200 | 8 600 | 9 100 | 9 800 | 11 400 |
| Classe B | 5 300 | 5 500 | 5 800 | 6 000 | 6 200 | 6 400 | 6 800 | 7 200 | 12 100 | 12 900 | 13 800 |
Après avoir saisi les données, l'infirmière écrit dans son compte rendu : « Les deux classes bougent autant : elles ont la même moyenne. »
Classe A : somme = 5 200 + 6 100 + 6 800 + 7 300 + 7 600 + 7 900 + 8 200 + 8 600 + 9 100 + 9 800 + 11 400 = 88 000 pas.
\(\bar{x}_{\text{A}} = \dfrac{88\,000}{11} = \mathbf{8\,000}\) pas par jour.
Classe B : somme = 5 300 + 5 500 + 5 800 + 6 000 + 6 200 + 6 400 + 6 800 + 7 200 + 12 100 + 12 900 + 13 800 = 88 000 pas.
\(\bar{x}_{\text{B}} = \dfrac{88\,000}{11} = \mathbf{8\,000}\) pas par jour.
L'infirmière a raison sur un point : les moyennes sont bien identiques. Toute la question est de savoir ce que cela prouve.
2. Médiane, quartiles, dispersion :\(N = 11\) est impair : la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{11+1}{2} = 6\).
Rang de \(Q_1\) : \(\lceil 11/4 \rceil = \lceil 2{,}75 \rceil = 3\) | rang de \(Q_3\) : \(\lceil 33/4 \rceil = \lceil 8{,}25 \rceil = 9\).
| Minimum | \(Q_1\) | Médiane | \(Q_3\) | Maximum | IQR | Étendue | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Classe A | 5 200 | 6 800 | 7 900 | 9 100 | 11 400 | 2 300 | 6 200 |
| Classe B | 5 300 | 5 800 | 6 400 | 12 100 | 13 800 | 6 300 | 8 500 |
Les deux boîtes ne se ressemblent pas du tout. Celle de A est étroite et sa médiane est presque au milieu. Celle de B est très large, et sa médiane est collée au bord gauche : la moitié centrale des élèves de B s'étale de 5 800 à 12 100 pas, mais l'essentiel de l'effectif est massé en bas.
3. Quelle classe a le plus grand écart-type ?C'est la classe B, sans avoir besoin de le calculer. Trois arguments concordent :
Vérification à la calculatrice : \(\sigma_{\text{A}} \approx 1\,650\) pas et \(\sigma_{\text{B}} \approx 3\,085\) pas — presque le double, comme annoncé.
4. Élèves atteignant 8 000 pas :Classe A : 8 200 ; 8 600 ; 9 100 ; 9 800 ; 11 400 → 5 élèves sur 11, soit \(\dfrac{5}{11} \times 100 \approx \mathbf{45\ \%}\).
Classe B : 12 100 ; 12 900 ; 13 800 → 3 élèves sur 11, soit \(\dfrac{3}{11} \times 100 \approx \mathbf{27\ \%}\).
Avec la même moyenne de 8 000 pas, la classe A compte donc presque deux fois plus d'élèves qui atteignent réellement ce niveau. Et en B, aucun élève ne se situe entre 7 200 et 12 100 pas : la moyenne de 8 000 pas ne décrit aucun élève de cette classe.
5. Médiane comparée à la moyenne :Classe A : Me = 7 900 et \(\bar{x} = 8\,000\), soit 100 pas d'écart seulement. La série est équilibrée : les élèves se répartissent régulièrement autour du centre, la moyenne est un bon résumé de la classe.
Classe B : Me = 6 400 et \(\bar{x} = 8\,000\), soit 1 600 pas d'écart. La moyenne est très supérieure à la médiane : c'est la signature d'une série tirée vers le haut par quelques valeurs élevées. Ici, trois élèves très actifs (12 100 à 13 800 pas — sans doute une pratique sportive quotidienne) suffisent à relever la moyenne de toute la classe. Huit élèves sur onze, soit 73 %, sont en dessous de cette moyenne.
6. Argumentaire (proposition) :« Les deux classes ont bien la même moyenne, 8 000 pas par jour, mais cette moyenne ne dit pas la même chose dans les deux cas — et c'est justement pour cela qu'elle ne suffit pas à conclure que les deux classes bougent autant.
En classe A, la médiane (7 900 pas) est presque égale à la moyenne et l'écart interquartile ne vaut que 2 300 pas : les élèves sont groupés autour de 8 000 pas, et 45 % d'entre eux atteignent ce niveau.
En classe B, la médiane tombe à 6 400 pas, soit 1 600 pas sous la moyenne, et l'écart interquartile atteint 6 300 pas. Trois élèves marchent plus de 12 000 pas par jour et tirent à eux seuls la moyenne vers le haut : 8 élèves sur 11 restent sous 7 200 pas, et seuls 27 % atteignent 8 000 pas. La moyenne de la classe B ne décrit en réalité aucun de ses élèves.
C'est donc la classe B qu'il faut retenir pour l'atelier : elle concentre le plus grand nombre d'élèves peu actifs, alors même que sa moyenne la fait passer pour aussi active que l'autre. »
Remarque de santé : le fameux objectif des « 10 000 pas » n'a rien d'un seuil médical — il vient du nom commercial d'un podomètre japonais lancé en 1965. Les travaux récents montrent que l'essentiel du bénéfice pour la santé est déjà obtenu autour de 7 000 à 8 000 pas par jour. Pour les adolescents, le repère officiel n'est d'ailleurs pas un nombre de pas mais une durée : au moins 60 minutes d'activité physique modérée à soutenue par jour. Le podomètre reste un bon outil de sensibilisation — à condition, comme ici, de regarder la répartition et pas seulement la moyenne.