Devoir Surveillé – Chapitre 3

Indicateurs statistiques | 2^de Bac Pro

Dernière mise à jour : 11 mai 2026

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Calculer et interpréter les indicateurs de position : moyenne, médiane, quartiles
Calculer et interpréter les indicateurs de dispersion : étendue, écart-type, écart interquartile
Construire et lire un diagramme en boîte à moustaches
Comparer et interpréter plusieurs séries statistiques

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Socle

Exercice 1 – Temps d'arrêt machine 12 points

Le responsable d'un atelier d'agencement a relevé les durées d'arrêt (en minutes) d'une machine à commande numérique sur 15 jours :

12 8 15 10 22 8 14 10 18 8 12 25 10 14 12

Formules utiles :
Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{n}\) | Médiane : valeur de rang \(\dfrac{n+1}{2}\) (série triée) | Étendue : max − min

1. REA Calculer la moyenne. Le calcul est amorcé : (3 pts)

\(\bar{x} = \dfrac{12 + 8 + 15 + 10 + 22 + 8 + 14 + 10 + 18 + 8 + 12 + 25 + 10 + 14 + 12}{15} = \dfrac{……}{15} = \)……

2. APP Le mode est la valeur qui apparaît le plus souvent. Compter les occurrences : (1 pt)

8 apparaît …… fois | 10 apparaît …… fois | 12 apparaît …… fois → Le mode est : ……

3. REA La série triée est donnée ci-dessous. Trouver la médiane : (3 pts)

8 8 8 10 10 10 12 ? 12 14 14 15 18 22 25

Il y a \(n = 15\) valeurs. La médiane est la valeur de rang \(\dfrac{15+1}{2} = \)…… → Me = …… min

4. REA Trouver Q1 et Q3 en utilisant la série triée ci-dessus (méthode officielle BO) : (3 pts)

N = 15. Position de Q1 : \(\lceil 15/4 \rceil = \)…… → Q1 = valeur de rang …… de la série triée = …… min
Position de Q3 : \(\lceil 45/4 \rceil = \)…… → Q3 = valeur de rang …… = …… min
IQR = Q3 − Q1 = …… − …… = …… min

5. COM Compléter la phrase : (2 pts)

« 50 % des jours, la durée d'arrêt de la machine est comprise entre …… min et …… min. »

1. Somme = 198. \(\bar{x} = \dfrac{198}{15} = \mathbf{13{,}2}\) min.

2. 8 apparaît 3 fois, 10 apparaît 3 fois, 12 apparaît 3 fois. Trois modes : 8, 10 et 12 (série trimodale). On retient souvent le plus petit : 8 min.

3. Rang = 8. La 8^e valeur est 12. Me = 12 min.

4. Q1 = 10 min. Q3 = 15 min. IQR = 15 − 10 = 5 min.

5. « 50 % des jours, la durée d'arrêt est comprise entre 10 min et 15 min. »

Exercice 2 – Contrôle qualité 8 points

Un contrôleur qualité relève le nombre de pièces défectueuses produites chaque jour pendant 20 jours :

Nb de défauts (x_i)	0	1	2	3	4	5	Total
Nb de jours (n_i)	3	5	6	3	2	1	20
n_i × x_i	0	5	12	……	……	……	……

Formule : Moyenne pondérée = \(\dfrac{\text{somme des } n_i \times x_i}{\text{somme des } n_i}\)

1. REA Compléter le tableau (les 3 premiers produits sont faits) puis calculer la moyenne. (3 pts)

\(3 \times 3 = \)…… | \(2 \times 4 = \)…… | \(1 \times 5 = \)……
Total = 0 + 5 + 12 + …… + …… + …… = ……
Moyenne = \(\dfrac{……}{20}\) = …… défauts/jour

2. REA Étendue = valeur max − valeur min = …… − …… = …… (1 pt)

3. ANA La norme impose : moyenne < 2,5 et étendue < 6. Compléter : (2 pts)

Moyenne : …… < 2,5 ? → …… (oui/non)
Étendue : …… < 6 ? → …… (oui/non)
Conclusion : l'atelier est …… (conforme/non conforme)

4. COM Si la moyenne dépassait le seuil, proposer une action corrective : (2 pts)

1. 9 + 8 + 5 = 22. Total = 0 + 5 + 12 + 9 + 8 + 5 = 39. Moyenne = \(\dfrac{39}{20} = \mathbf{1{,}95}\) défauts/jour.

2. Étendue = 5 − 0 = 5.

3. 1,95 < 2,5 : oui. 5 < 6 : oui. L'atelier est conforme.

4. Vérifier les réglages machines avant chaque série, former les opérateurs aux points critiques de fabrication.

Standard

Exercice 1 – Temps d'arrêt machine 12 points

Le responsable d'un atelier d'agencement a relevé les durées d'arrêt (en minutes) d'une machine à commande numérique sur 15 jours :

12 8 15 10 22 8 14 10 18 8 12 25 10 14 12

1. REA Calculer la moyenne de cette série. Arrondir au dixième. (3 pts)

2. APP Déterminer le mode de cette série. (1 pt)

3. REA Ranger les valeurs dans l'ordre croissant et déterminer la médiane. (3 pts)

4. REA Déterminer le premier quartile \(Q_1\), le troisième quartile \(Q_3\) et l'écart interquartile. (3 pts)

5. COM Interpréter l'écart interquartile en une phrase. (2 pts)

1. \(\bar{x} = \dfrac{12+8+15+10+22+8+14+10+18+8+12+25+10+14+12}{15} = \dfrac{198}{15} = \mathbf{13{,}2}\) min.

2. Trois modes : 8, 10 et 12 min (chacun apparaît 3 fois). La série est trimodale.

3. Série ordonnée : 8, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 14, 14, 15, 18, 22, 25.
15 valeurs → la médiane est la 8^e valeur : \(Me = \mathbf{12}\) min.

4. \(Q_1\) = 4^e valeur = 10 min. \(Q_3\) = 12^e valeur = 15 min.
Écart interquartile : \(Q_3 - Q_1 = 15 - 10 = \mathbf{5}\) min.

5. 50 % des jours, la durée d'arrêt est comprise entre 10 et 15 minutes. La dispersion centrale est modérée (5 min).

Exercice 2 – Contrôle qualité 8 points

Un contrôleur qualité relève le nombre de pièces défectueuses produites chaque jour pendant 20 jours :

Nb de défauts	0	1	2	3	4	5
Nb de jours	3	5	6	3	2	1

1. REA Calculer le nombre moyen de défauts par jour. (3 pts)

2. REA Calculer l'étendue de cette série. (1 pt)

3. ANA La norme qualité impose une moyenne inférieure à 2,5 défauts/jour et une étendue inférieure à 6. L'atelier est-il conforme ? (2 pts)

4. COM Proposer une action si la moyenne dépassait le seuil. (2 pts)

1. \(\bar{x} = \dfrac{0 \times 3 + 1 \times 5 + 2 \times 6 + 3 \times 3 + 4 \times 2 + 5 \times 1}{20} = \dfrac{0+5+12+9+8+5}{20} = \dfrac{39}{20} = \mathbf{1{,}95}\) défauts/jour.

2. Étendue = \(5 - 0 = \mathbf{5}\).

3. Moyenne : 1,95 < 2,5 ✓. Étendue : 5 < 6 ✓. L'atelier est conforme aux deux critères.

4. On pourrait renforcer le contrôle en amont (vérification des réglages machines avant chaque série) ou former les opérateurs aux points critiques de la fabrication.

Approfondissement

Exercice 1 – Temps d'arrêt machine 12 points

Le responsable d'un atelier d'agencement a relevé les durées d'arrêt (en minutes) d'une machine à commande numérique sur 15 jours :

12 8 15 10 22 8 14 10 18 8 12 25 10 14 12

1. REA Calculer la moyenne \(\bar{x}\) de cette série. (2 pts)

2. REA Ranger la série par ordre croissant. Déterminer la médiane, Q1, Q3 et l'écart interquartile. (3 pts)

3. REA Calculer l'écart-type \(\sigma\) de la série. Compléter un tableau \(x_i\), \((x_i - \bar{x})\), \((x_i - \bar{x})^2\). (4 pts)

4. ANA On considère que toute valeur \(x_i\) telle que \(|x_i - \bar{x}| > 2\sigma\) est une valeur suspecte. Y en a-t-il dans cette série ? Si oui, lesquelles ? (2 pts)

5. COM Le responsable hésite entre la moyenne et la médiane pour fixer un objectif d'arrêt. Lequel recommanderiez-vous et pourquoi ? (1 pt)

1. \(\bar{x} = \dfrac{198}{15} = \mathbf{13{,}2}\) min.

2. Série triée : 8, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 14, 14, 15, 18, 22, 25.
Me = 8^e valeur = 12 min. Q1 = 4^e valeur = 10 min. Q3 = 12^e valeur = 15 min. IQR = 5 min.

x_i	x_i − x̄	(x_i − x̄)²
8 (×3)	−5,2	27,04 (×3 = 81,12)
10 (×3)	−3,2	10,24 (×3 = 30,72)
12 (×3)	−1,2	1,44 (×3 = 4,32)
14 (×2)	+0,8	0,64 (×2 = 1,28)
15	+1,8	3,24
18	+4,8	23,04
22	+8,8	77,44
25	+11,8	139,24

Somme des carrés = 81,12 + 30,72 + 4,32 + 1,28 + 3,24 + 23,04 + 77,44 + 139,24 = 360,4

\(\sigma^2 = \dfrac{360{,}4}{15} \approx 24{,}03\) → \(\sigma = \sqrt{24{,}03} \approx \mathbf{4{,}9}\) min.

4. Seuil : \(2\sigma \approx 9{,}8\). On cherche \(|x_i - 13{,}2| > 9{,}8\), soit \(x_i < 3{,}4\) ou \(x_i > 23{,}0\).
→ 25 min est suspecte (25 − 13,2 = 11,8 > 9,8). Les autres valeurs sont dans la plage normale.

5. La médiane (12 min) est plus robuste que la moyenne (13,2 min) car elle n'est pas influencée par les valeurs extrêmes (22 min, 25 min). Pour fixer un objectif réaliste, la médiane est préférable : elle représente mieux le fonctionnement « typique » de la machine.

Exercice 2 – Contrôle qualité : analyse approfondie 8 points

Un contrôleur qualité relève le nombre de pièces défectueuses produites chaque jour pendant 20 jours :

Nb de défauts (x_i)	0	1	2	3	4	5
Nb de jours (n_i)	3	5	6	3	2	1

1. REA Calculer la moyenne pondérée et l'étendue. (2 pts)

2. REA Calculer l'écart-type de cette série à partir du tableau de calcul \((x_i - \bar{x})^2 \times n_i\). (3 pts)

3. ANA La norme qualité impose : moyenne < 2,5, étendue < 6, et écart-type < 1,8. L'atelier satisfait-il les trois critères ? (1,5 pts)

4. VAL Si le jour de 5 défauts est remplacé par un jour à 2 défauts, recalculer la nouvelle moyenne. Quel impact cela a-t-il sur la conformité ? (1,5 pts)

1. Moyenne = \(\dfrac{0+5+12+9+8+5}{20} = \dfrac{39}{20} = \mathbf{1{,}95}\). Étendue = 5 − 0 = 5.

x_i	n_i	(x_i − 1,95)²	n_i × (x_i − 1,95)²
0	3	3,8025	11,4075
1	5	0,9025	4,5125
2	6	0,0025	0,015
3	3	1,1025	3,3075
4	2	4,2025	8,405
5	1	9,3025	9,3025
Total			36,95

\(\sigma^2 = \dfrac{36{,}95}{20} = 1{,}8475\) → \(\sigma = \sqrt{1{,}8475} \approx \mathbf{1{,}36}\).

3. Moyenne 1,95 < 2,5 ✓. Étendue 5 < 6 ✓. Écart-type 1,36 < 1,8 ✓. L'atelier satisfait les trois critères.

4. Nouvelle somme = 39 − 5 + 2 = 36. Nouvelle moyenne = \(\dfrac{36}{20} = 1{,}8\). La moyenne baisse de 1,95 à 1,8 → l'atelier reste conforme et gagne en marge de sécurité.